2013中考数学压轴题菱形问题精选解析(一)1829.pdf

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1、 1 2013 中考数学压轴题菱形问题精选解析(一)例 1 如图，菱形ABCD的边长为12cm，B30，E为AB上一点，且AE4cm动点P从B点出发，以1cm/s 的速度沿BC边向点C运动，PE交射线DA于点M，设运动时间为t（s）（1）当t为何值时，MAE的面积为3cm2？（2）在点P出发的同时，动点Q从点D出发，以1cm/s 的速度沿DC边向点C运动，连接MQ、PQ，试求MPQ的面积S（cm2）与t（s）之间的函数关系式，并求出当t为何值时，MPQ的面积最大，最大值为多少？（3）连接EQ，则在运动中，是否存在这样的t，使得PQE的外心恰好在它的一边上？若存在，请直接写出满足条件的t的个数，

2、并选择其一求出相应的t的值；若不存在，请说明理由 解析：（1）四边形ABCD为菱形，ADBC，EAMEBP.AE4cm，BE8cm，BPt cm，AM 1 2 t cm 由SEAM 3cm2、MAE30、AE4cm，得 1 2 1 2 t23，解得t6 当t为 6s 时，MAE的面积为3cm2（2）ADBC，S梯形PCDM 1 2(12t12 1 2 t)672 3 2 t SMQD 1 2(12 1 2 t)1 2 t 1 8 t 23t，SPCQ 1 2(12t)(12t)1 2 t 224t144 4 SS梯形PCDM SMQD SPCQ 3 8 t 2 3 2 t36 S 3 8 t

3、2 3 2 t36 3 8(t2)2 75 2 当t2 时，MPQ的面积最大，最大值为 75 2 （3）存在，t的值有两个 PQE的外心恰好在它的一边上，PQE为直角三角形 PQECQE 90，只能EPQ90或PEQ90 选择求EPQ90时的t值（若求PEQ90时的t值，则计算相当复杂）BPDQ，BCDC，PQBD PEBD ACBD，PEAC 又BABC，BPBP8cm 当t8s时，EPQ90 A B D Q C P E M A B D Q C P E M A B D C E 备用图 2 例 2 如图所示，在菱形ABCD中，AB4，BAD120，AEF为正三角形，点E、F分 别在菱形的边BC

4、、CD上滑动，且E、F不与B、C、D重合（1）证明不论E、F在BC、CD上如何滑动，总有BECF；（2）当点E、F在BC、CD上滑动时，分别探讨四边形AECF和CEF的 面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值 解析：（1）证明：连接AC 菱形ABCD中，BAD120 BAC60，B60 ABC是正三角形，ABAC 又AEF为正三角形，EAF60，AEAF 而BAC60，BAECAF ABEACF，BECF（2）当E、F在BC、CD上滑动时，四边形AECF的面积不发生变化，其值为4 3 由（1）知，SABE SACF S四边形AECF SABC 3 4 4 24 3 而CEF的面积发生变化，其最大值为 3 SCEF S四边形AECF SAEF 4 3 3 4 AE 2 当AEBC时，AE的长最小，最小值为ABsin60，即AE4 3 2 2 3 SCEF的最大值为4 3 3 4(2 3)2 3 A C B F E D A C B F E D