学分析I、II(96+96)教学大纲9660.pdf

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1、数学分析 I、IO(96+96)教学大纲 数学与信息科学学院 函数论教研室一、教学目的和要求 数学分析是数学专业的一门重要基础课，学习本课程，使学生获得：1、极限论：其中包括函数、极限、无穷小、无穷大、连续等基本概念。2、一元函数的微积分：其中包括导数、微分、中值定理、泰勒公式、不定积分、定积分。3、多元函数的微积分：其中包括多元函数的极限、连续、偏导数、方 向导数、全微分、隐函数存在定理、多重积分、曲线积分、曲面积分、含 参变量的积分。4、级数论：其中包括数项级数、函数项级数、辕级数、三角级数、广 义积分、含参数的广义积分等方面的系统知识。为以后学习后续课程，如：微分方程、复变函数、普通物理

2、、数值分析、概率论及有关选修课，提供 所需要的知识和进一步获得数学知识奠定必要的数学基础。二、教学中应注意的问题 在各个教学环节中要注意培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力和 自学能力。从而使学生学到数学分析方法和运用这些方法解决几何，数学 建模、力学、物理等实际问题的初步训练，培养学生的独立工作能力。三、教学内容第一章函数和极限 1.1 从自然数到复数实数 复数及其运算函数 重点：函数的概念。几个常用的函数：整数函数：y=x小数函数：y=x 符号函数：y=sgnx 狄利克莱函数：y=D(x)几种特殊的函数 有界函数包括无界函数又单调函数、奇偶函数、周期函数。复合函数与反函数 复合函数、反函数

3、、数学分析研究的主要对象一一初等函数。1.2 数列极限 数列极限的定义，既是重点也是难点。收敛数列收敛数列的三个性质(唯一性、有界性、保号性)；收敛数列的四则运算；三个数列收敛的判断法(两边夹、单调有界数列收敛的连续性原理,柯西收敛准则)。1.3 函数极限 函数极限的定义，用量词符号表示分别为：lim f(x)=a。VeOJA O,V|A A=|/(x)-a|0,mA 0,X/x A n|f(x)-4v lim f(x)=a /f(x)-a (),(),Vx:()上一|/(x)-|0,0,Vx:v x|/(x)-a 0,0,X/x:%-S x%=f(x)一 1.4 函数极限定理 1.5 函数极

4、限性质 函数极限的三个性质(唯一性、局部有界性、保号性)和四则运算及 海涅极限定理。函数极限存在的两边夹法则与柯西收敛准则，两个重要的极限。1.6 函数极限与数列极限关系无穷小与无穷大 无穷小与无穷大的定义。同一变化过程的两个无穷小的比较，符号0,。及的使用。本章的重点与难点：几个常用的函数、有界函数 sinx、cosx、(1+x)等的泰勒级数.第九章傅立叶级数1以2n为周期的函数傅立叶级数 三角函数系正交性、函数的傅立叶级数展开.7.7 正弦级数和余弦级数一般周期函数的傅立叶级数 奇偶函数的副立叶级数。以2为周期的函数的副立叶级数。本章的重点与难点：函数级数的收敛域及和函数、柯西一致收敛准则

5、、暴 级数收敛半径的求法、几个常用初等函数/、ln(l+x)、sinx、cosx、(l+x)”等的傅立叶级数。第十章多元函数微分学1多元函数的基本概念 二维空间Rz中的一些特殊点和点集。二维空间片连续性两个定理，闭 区间套定理和有限覆盖定理，由R子集到R的n元函数概念及二元函数的 图象。7.8 二元函数的极限与累次极限 二元函数的极限、二重极限、累次极限。7.9 二元函数的连续性 二元连续函数概念、有界闭区域上二元连续函数性质。7.10 偏导数 偏导数的定义，高阶偏导数.7.11 全微分 定义，可微条件.7.12 多元复合函数偏导数的法则求多元复合函数偏导数的法则，全微分形式的不变性。本章的重

6、点与难点：元函数的极限、二重极限、累次极限。二元函数的连 续、一致连续、偏导数的定义、多元复合函数偏导数的法则.第十一章隐函数隐函数的存在性 除函数的概念。隐函数存在定理。7.13 偏导数的几何应用 空间曲线的切线和法平面公式。空间曲线的切平面和法线公式。8.3二元函数的极值与最值 无条件极值，条件极值，二元函数的最值.本章的重点与难点：隐函数存在定理、条件极值，多元函数的微分法、二 元函数的极值与最值。第十二章重积分1二重积分 曲顶柱体的体积、二重积分的概念，二重积分的性质。8.4 二重积分的计算。8.5 二重积分的变量替换。8.6 三重积分 三重积分的概念。三重积分的计算。三重积分的柱面坐

7、标替换。三重 积分的球面坐标替换。8.7 5重积分的应用 曲面面积.本章的重点与难点：二重积分的性质、二重积分的计算、三重积分的概念、三重积分的计算。第十四章曲线积分与曲面积分1第一类曲线积分 第一类面积分的概念，性质，计算方法。1.1 第二类曲线积分 第一类面积分的概念，性质，计算方法，两类曲线积分的关系。1.2 格林公式及其应用 格林公式，积分与路径无关条件，全微分原函数.14.4第一类面枳分的概念，性质，计算方法。14.5 第二类曲面积分 第二类面积分的概念，性质，计算方法，两类曲面积分的关系。14.6 高斯公式与斯托克斯公式。本章的重点与难点：第一型曲线积分、第二型曲线积分、两类曲线积

8、分的 关系、格林公式、第一型面积分、第二型面积分、高斯公式、斯托克斯公 式。四、教学课时分配表 章节名称 课时分配（学时）合计 讲授 习题课 第一章 6 4 10 第二章 12 6 18 第三章 10 4 14 第四章 12 6 18 第五章 10 4 14 第六章 14 8 22 第七章 8 2 10 第八章 12 4 16 第九章 8 2 10 第十章 16 4 20 第十一章 4 2 6 第十二章 12 2 14 第十四章 16 4 20 机动学时 总学时 140 52 192 五、参考书目1、数学分析讲义刘玉琏.傅沛仁编.高等教育出版社.1985年第2版 2、数学分析复旦大学数学系编.高等教育出版社.1983年第2版3、数学分析华东师范大学数学系编.人民教育出版社.1980年 4、数学分析武汉大学数学系编.人民教育出版社.