2018全国高中数学联赛模拟试题2及参考答案16961.pdf

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1、 2 高中联赛模拟试题 2 一试部分 考试时间：80 分钟 满分：120 分 一、填空题（每小题 8 分，共 64 分）sin 2 1.已知 3，且 ，n n,k，则 tan sin 2 2 tan 2.在等差数列an 中，若 a11 a10 1，且前 n 项和 Sn 有最大值，则当 Sn 取得最小正值时，n 3.若 a+b c 1a,b,c，4a 1 4b 1 4c 1 m，则 m 的最大值为 4.已知 ABC 满足 AC BC 1，AB 2x x 0则 ABC 的内切圆半径 r 的最大值为 5.在正方体 ABCD A1B1C1D1 中，G 为底面 A1B1C1D1 的中心则 BG 与 AD

2、 所成角的余弦值为_ _ 6.函数 f x在 上有定义，且满足 f x为偶函数，f x 1为奇函数则 f 2019 7.将一色子先后抛掷三次，观察面向上的点数，三数之和为 5 的倍数的概率为 8.已知复数 z1,z2 满足 z1 i z2 i 1 若 z1 ，则 z2 的取值范围是 二、解答题（第 9 小题 16 分，第 10、11 小题 20 分，共 56 分）x 2 y 2 9.设 P 为双曲线 1 上的任意一点，过点 P 分别作两条渐近线的平行线，与两条渐近线交于 A,B a2 b2 两点求ABCD 的面积 10.求方程 x5 x3 x2 1 y2 的整数解的个数 11.对于 n 6，已

3、知 1 1 1 求出满足 3n 4n n 2n n 3n 的所有正整数 n n 3 2 n 高中联赛模拟试题 2 加试部分 考试时间：150 分钟 满分：180 分 一、（本题满分 40 分）设 ABC 为等腰三角形，AB AC,D 为边 AB 上一点设 BCD 的外接圆 在点 D 处的切线与 AC 交 于点 E，F 为过点 E 作圆 的另外一条切线的切点设 BF 与 CD 交于点 G，AG 与 BC 交于点 H 证明：BH 2HC A 二、（本题满分 40 分）约定：n 维向量 x x1,x2,xn xi 0,i 1,2,n的 p 范数记为：x x1 x2 xn p p p p p p 现有

4、两个向量 A a,b,c,B d,e若：A B A B 证明：A B 2 2 4 4 3 3 E D G F B H C 三、（本题满分 50 分）设整数 n 4，a1,a2,an 为区间 0,2n 内两两不同的整数证明：集合 A a1,a2,a n 存在所有元 素之和能被 2n 整除的子集 四、（本题满分 50 分）设有 17 支球队参加足球比赛，采用单循环赛制，比赛中偶尔会出现一个循环的三元集（即集合a,b,c，其中 a 队击败 b 队，b 队击败 c 队，c 队击败 a 队），若没有平局，则比赛结束问：最多有多少个这 样的循环三元集？5 5 5 2 1 高中联赛模拟试题 2 解答 一试部

5、分 考试时间：80 分钟 满分：120 分 一、填空题（每小题 8 分，共 64 分）1.2 sin 21 解析：tan sin cos sin 2sin sin 2 tan cossin sin 2sinsin 21 sin2.19 解析：由 Sn 有最大值可知 a1 0,d 0，由 a11 a10 1，则 a10 a11 0,a11 0 a10，20a1 a20 S 10a a 0,S 19a1 a19 19a 0，20 2 10 11 19 2 10 再由 S19 S1 a2 a3 a19 9a10 a11 0，知 Sn 取最小正值时，n 19 3.2 解析：a 1b 11 a b a

6、1 b 1 2 1 a b 2 a b 2 1 a b 2 2 a 1 b 11 1 a b a 1 b 1 1 反复利用上式，得：4a 1 4b 1 4c 1 1 4 a b1 4c 1 1 1 2 5；另一方面，当 a 1,b 0,c 0 时，不等式左边趋于 2 因此 2 为最大的下界 4.5 5 11 2 解析：转化为求函数 f xx 1 x在 0,1内的最大值 1 a b 1 4 a b c 1 2 2 x 5.6 6 解析：BG CG 1 1 2 2 BC 6 BC cosGBC BC 6 又 AD/BC ，则 BG 与 AD 所成角的余弦值为 6 6 2 2BG 6 2 1 1 2

7、 2 1 x 6.0 解析：由已知得 f x关于 x 轴及点 1,0对称从而 4 为 f x的一个周期，且 f 1 0 故 f 2019 f 1 0 7.43 216 解析：和为 5 的形如 3、1、1 与 2、2、1，共 6 种 和为 10 的形如 6、3、1 的有 6 种，形如 6、2、2 的有 3 种，形如 5、4、1 的有 6 种，形如 5、3、2 的有 6 种，形如 4、3、3 的有 3 种，形如 4、4、2 的有 3 种合计 27 种 和为 15 的形如 4、5、6 的有 6 种，形如 5、5、5 的有 1 种，形如 6、6、3 的有 3 种，合计 10 种 8.2 2,2 2 解

8、析：设 z2 x yi x,y 则 z1 z z2i z i 1 y xi x y 1i x2 y 22 2 由 z2 的几何 意义，知其范围为 2 2,2 2 二、解答题（第 9 小题 16 分，第 10、11 小题 20 分，共 56 分）9.双曲线的两条渐近线方程分别为 y b x,y b x a a 设 Ax,b a x,B x,b a x,P x,y b 由 OAPB 知，x x1 x2,y a a2 x1 x 2 代入双曲方程化简得 x1 x2 4 于是，OAPB 的面积为 x b a 2 b x1 x2 a x1 x2 1 ab 2 10.原方程可化为 x3 1x2 1 y2 x

9、 12 x 1x2 x 1 y2 -（1）当 x 0 时，y2 1 y 1；当 x 1 时，y 0 2 2b a x 1 设 x,y 为方程的整数解，且 x 1,0 由（1）式，x 12|y2 x 1|y x 1x2 x 1 y 又因为 y 为整数，则 x 1 x 1x2 x 1为完全平方数而 x2 x 1 x x 1 1 x 1,x2 x 1 1，2 n n 4 5 n 3 x 1,x2 x 1 均为完全平方数 x 1 0 x 0,1 x 2 x2 x2 x 1 x 12，显然，x2 x 1 不为完全平方数 综上，原方程只能有 4 组解：x,y 0,1,0,1,1,0,1,0 11.当 n

10、6 时，由 1 1 1 n 2 1 n 3n n+2n n 2n n 3 2 n 3 2 n n n 而 3 4 n 2 1，故：2 4n 3n 3n,5n 4n 4n,n 3n n 2n n 2n.累加后 3n 4n n 2n n 3n 3n n 3n，此时无解 直接检验 n 1,2,3,4,5，知当 n 2,3 时等式成立 ,a4 4 4 4 4 一、（本题满分 40 分）加试部分 考试时间：150 分钟 满分：180 分 在 ABG,ACG 中，由正弦定理得 BG AG CG AG sin BAH sin ABF sin CAH sin ACD 故 BH sin BAH BG sin A

11、BF BG sin FCD sin DCB sin FCD FD CI CH sin CAH CG sin ACD CG sin DBI sin CBF sin DBI DI CF 设 AC 与圆 的另一个交点为 I 则四边形 CFID 为调和四边形 于是，FI CD CF ID 由托勒密定理得 FD CI FI CD CF ID 2ID CF 从而，BH 2HC 二、（本题满分 40 分）等价于证明：设 a,b,c,d,e 为非负数，且满足 a2 b2 c2 d 2 e2 b c d e，证明：a3 b3 c3 d 3 e3-（1）注意到 2a2b2 b2c2 c2a2 a2 b2 c2 2

12、 a4 b4 c4 d 2 e2 2 d 4 e4 2d 2e2 则 a2b2 b2c2 c2a2 d 2e2 又 a6 b6 c6 3a2b2c2 a2 b2 c2 a4 b4 c4 a2b2 b2c2 a2c2 d 2 e2 d 4 e4 d 2e2 d 6 e6（1）式两边平方得 a6 b6 c6 2a3b3 b3c3 c3a3 d 6 e6 2d 3e3 3 2a3b3 b3c3 c3a3 3a2b2c2 2d 3e3 2a3b3 b3c3 c3a3 3a2b2c2 2a2b2 b2c2 c2a2 2 -（2）3 设 x ab,y bc,z ca 则（2）2x3 y3 z3 3xyz

13、2x2 y2 z2 2 由柯西不等式，知 2 x3 y3 z3 2 3xyzx 2x2 yz y 2 y2 zx 2 z 2z2 xy x2 y2 z2 2x2 yz 2 2 y2 zx2 2z2 xy2 x2 y2 z2 4x4 y4 z4 8 y2 z2 z2 x2 x2 y2 4x2 y2 z2 3 从而，结论成立 Cb Ca 2 Ca 三、（本题满分 50 分）若 n a1,a2,an ，则 2n 个整数 a1,a2,an,2n a1,2n a2,2n an 0,2n 由抽屉原理，知其中 必有两个数相等 不妨设 ai 2n aj 因为 n a1,a2,an，所以 i j 故ai,aj

14、满足题意，命题成立 若 n a1,a2,an，不妨设 an n 考虑 n 1 n 1 3个整数 a1,a2,an1，在其中任取三个数 ai aj ak 若 ak aj,aj ai 均能被 n 整除，则 ak ai 2n，与 ak 0,2n矛盾 因此，a1,a2,an1 中至少存在两个数，其差不能被 n 整除 不妨设 a1,a2 之差不能被 n 整除考察 n 个数：a1,a2,a1 a2,a1 a2 a3,a1 a2 an1 （1）若这 n 个数关于模 n 的余数互不相同，则其中必有一个数能被 n 整除令这个数为 kn 当 k 为偶数时，结论成立；当 k 为奇数时，加上 an 即构成所需要的子集

15、（2）若这 n 个数中有两个数关于模 n 同余，则其差能被 n 整除因为 a1,a2 不同余，所以这两个数之差 必为原集合 A 中若干数之和由此归结为（1）中讨论 综上，命题得证 四、（本题满分 50 分）一个三元集a,b,c不是循环的 有一支球队赢了另外两队 有一支球队输给了另外两队 用 A1,A2,A17 代表这 17 支球队 假 设 球 队 Ai 赢了 ai 支球队，但输给了 bi 支球队 显然，ai bi 1 6i 1,2,1 17 17 1 17 17 于是，不循环的三元集的个数为 2 i i 1 2 i i 1 2 i 1 i i 1 Cb i 2 17 a a 1b b 11 a b 2 对于每一个 i，C2 C2 i i i i i i a b 56 ai bi 2 2 2 2 i i 则不循环的三元集的个数至少为 1 17 56 476 2 故循环三元集最多有 C3 476 204 个 当且仅当 ai bi 8i 1,2,17时，循环三元集的个数最多为 204