2018年全国高等院校统一招生考试江苏数学试卷(精品详解)17046.pdf

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1、 绝密启用前 2018 年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1本试卷共 4 页，均为非选择题(第 1 题第 20 题，共 20 题)。本卷满分为 160 分，考试时间为 120 分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一片交回。2答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。3请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。4作答试题，必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。5如需作图，须用 2B 铅笔绘、写

2、清楚，线条、符号等须加黑、加粗。学科网 参考公式：锥体的体积13VSh，其中S是锥体的底面积，h是锥体的高 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分请把答案填写在答题卡相应位置上 1已知集合0,1,2,8A，1,1,6,8B ，那么AB 2若复数z满足i12iz，其中 i 是虚数单位，则z的实部为 3已知 5 位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这 5 位裁判打出的分数的平均数为 4一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的 S 的值为 5函数2()log1f xx的定义域为 6某兴趣小组有 2 名男生和 3 名女生，现从中任选 2 名学生去参加活动，

3、则恰好选中 2 名女生的概率为 7已知函数sin(2)()22yx的图象关于直线3x对称，则的值是 8在平面直角坐标系xOy中，若双曲线22221(0,0)xyabab的右焦点(,0)F c到一条渐近线的距离为32c，则其离心率的值是 9函数()f x满足(4)()()f xf x xR，且在区间(2,2上，cos,02,2()1|,20,2xxf xxx-则(15)f f的值为 10如图所示，正方体的棱长为 2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为 11若函数32()21()f xxaxaR在(0,)内有且只有一个零点，则()f x在 1,1上的最大值与最小值的和为 12在平面直角坐标系x

4、Oy中，A 为直线:2l yx上在第一象限内的点，(5,0)B，以 AB 为直径的圆 C 与直线l 交于另一点 D若0AB CD，则点 A 的横坐标为 13在ABC中，角,A B C所对的边分别为,a b c，120ABC，ABC的平分线交AC于点 D，且1BD，则4ac的最小值为 14已知集合*|21,Ax xnnN，*|2,nBx xnN将AB的所有元素从小到大依次排列构成一个数列na记nS为数列na的前 n 项和，则使得112nnSa成立的 n 的最小值为 二、解答题：本大题共6小题，共计90分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15（本小题满分 14 分

5、）在平行六面体1111ABCDABC D中，1111,AAAB ABBC 求证：（1）11ABABC平面；（2）111ABB AABC平面平面 16（本小题满分 14 分）已知,为锐角，4tan3，5cos()5 （1）求cos2的值；（2）求tan()的值 17（本小题满分 14 分）某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆 O 的一段圆弧MPN（P 为此圆弧的中点）和线段 MN 构成 已知圆 O 的半径为 40 米，点 P 到 MN 的距离为 50 米现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚内的地块形状为矩形 ABCD，大棚内的地块形状为CDP，要求,A B均在线段MN上，,C D均在圆弧上

6、 设OC 与 MN 所成的角为（1）用分别表示矩形ABCD和CDP的面积，并确定sin的取值范围；（2）若大棚内种植甲种蔬菜，大棚内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4:3求当为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大 18（本小题满分 16 分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆 C 过点1(3,)2，焦点12(3,0),(3,0)FF，圆O 的直径为12F F（1）求椭圆 C 及圆 O 的方程；（2）设直线 l 与圆 O 相切于第一象限内的点 P 若直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点，求点 P 的坐标；直线 l 与椭圆 C 交于,A B两点若OAB的面积为2 67

7、，求直线 l 的方程 19（本小题满分 16 分）记(),()fx g x分别为函数(),()f x g x的导函数 若存在0 x R，满足00()()f xg x且00()()fxg x，则称0 x为函数()f x与()g x的一个“S 点”（1）证明：函数()f xx与2()22g xxx不存在“S 点”；（2）若函数2()1f xax与()lng xx存在“S 点”，求实数 a 的值；（3）已知函数2()f xxa，e()xbg xx对任意0a，判断是否存在0b，使函数()f x与()g x在区间(0,)内存在“S 点”，并说明理由 20（本小题满分 16 分）设na是首项为1a，公差为

8、 d 的等差数列，nb是首项为1b，公比为 q 的等比数列（1）设110,1,2abq，若1|nnabb对1,2,3,4n 均成立，求 d 的取值范围；（2）若*110,(1,2mabmqN，证明：存在d R，使得1|nnabb对2,3,1nm均成立，并求d的取值范围（用1,b m q表示）数学试题参考答案 一、填空题：本题考查基础知识、基本运算和基本思想方法每小题 5 分，共计 70 分 11，8 22 390 48 52，+）6310 76 82 922 1043 113 123 139 1427 二、解答题 15本小题主要考查直线与直线、直线与平面以及平面与平面的位置关系，考查空间想象能

9、力和推理论证能力满分 14 分 证明：（1）在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1中，ABA1B1 因为 AB平面 A1B1C，A1B1平面 A1B1C，所以 AB平面 A1B1C（2）在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1中，四边形 ABB1A1为平行四边形 又因为 AA1=AB，所以四边形 ABB1A1为菱形，因此 AB1A1B 又因为 AB1B1C1，BCB1C1，所以 AB1BC 又因为 A1BBC=B，A1B平面 A1BC，BC平面 A1BC，所以 AB1平面 A1BC 因为 AB1平面 ABB1A1，所以平面 ABB1A1平面 A1BC 16本小题主要考查同角三角函数关系、两角

10、和（差）及二倍角的三角函数，考查运算求解能力满分 14 分 解：（1）因为4tan3，sintancos，所以4sincos3 因为22sincos1，所以29cos25，因此，27cos22cos125 （2）因为,为锐角，所以(0,)又因为5cos()5，所以22 5sin()1cos()5，因此tan()2 因为4tan3，所以22tan24tan21tan7，因此，tan2tan()2tan()tan2()1+tan2tan()11 17本小题主要考查三角函数的应用、用导数求最值等基础知识，考查直观想象和数学建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力满分 14 分 解：（1）连结 PO

11、 并延长交 MN 于 H，则 PHMN，所以 OH=10 过 O 作 OEBC 于 E，则 OEMN，所以COE=，故 OE=40cos，EC=40sin，则矩形 ABCD 的面积为 240cos（40sin+10）=800（4sincos+cos），CDP 的面积为12240cos（4040sin）=1600（cossincos）过 N 作 GNMN，分别交圆弧和 OE 的延长线于 G 和 K，则 GK=KN=10 令GOK=0，则 sin0=14，0（0，6）当 0，2）时，才能作出满足条件的矩形 ABCD，所以 sin 的取值范围是14，1）答：矩形 ABCD 的面积为 800（4sin

12、cos+cos）平方米，CDP 的面积为 1600（cossincos），sin 的取值范围是14，1）（2）因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为 43，设甲的单位面积的年产值为 4k，乙的单位面积的年产值为 3k（k0），则年总产值为 4k800（4sincos+cos）+3k1600（cossincos）=8000k（sincos+cos），0，2）设 f（）=sincos+cos，0，2），则222()cossinsin(2sinsin1)(2sin1)(sin1)f 令()=0f，得=6，当（0，6）时，()0f，所以 f（）为增函数；当（6，2）时，()0，设32()3h xxx

13、axa 因为(0)0(1)1320hahaa ，且 h（x）的图象是不间断的，所以存在0 x（0，1），使得0()0h x，令03002e(1)xxbx，则 b0 函数2e()()xbf xxag xx，则2e(1)()2()xbxfxxg xx，由 f（x）与 g（x）且 f（x）与 g（x），得 22ee(1)2xxbxaxbxxx，即00320030202ee(1)2e(1)2e(1)xxxxxxaxxxxxxx（*）此时，0 x满足方程组（*），即0 x是函数 f（x）与 g（x）在区间（0，1）内的一个“S 点”因此，对任意 a0，存在 b0，使函数 f（x）与 g（x）在区间（0，

14、+）内存在“S 点”20本小题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力满分 16 分 解：（1）由条件知：112(,)nnnand b 因为1|nnabb对 n=1，2，3，4 均成立，即1 12|()1|nnd对 n=1，2，3，4 均成立，即 11，1d3，32d5，73d9，得7532d 因此，d 的取值范围为7 5,3 2（2）由条件知：111(1),nnnabnd bbq 若存在 d，使得1|nnabb（n=2，3，m+1）成立，即1111|1|2,3,(1()nbndbqb nm，即当2,3,1nm时，d

15、 满足1111211nnqqbdbnn 因为(1,2mq，则112nmqq，从而11201nqbn，1101nqbn，对2,3,1nm均成立 因此，取 d=0 时，1|nnabb对2,3,1nm均成立 下面讨论数列121nqn的最大值和数列11nqn的最小值（2,3,1nm）当2nm时，111 2222111()()()nnnnnnnnqqnqqnqn qqqnnn nn n，当112mq时，有2nmqq，从而1()20nnnn qqq 因此，当21nm时，数列121nqn单调递增，故数列121nqn的最大值为2mqm 设()()2 1xf xx，当 x0 时，ln21(0(n)l 2 2)x

16、fxx，所以()f x单调递减，从而()f xf（0）=1 当2nm时，111112 111()()()nnnqq nnfqnnnn，因此，当21nm时，数列11nqn单调递减，故数列11nqn的最小值为mqm 因此，d 的取值范围为11(2),mmb qbqmm 数学(附加题)21【选做题】本题包括 A、B、C、D 四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答若多做，则按作答的前两小题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 A选修 41：几何证明选讲(本小题满分 10 分)如图，圆 O 的半径为 2，AB 为圆 O 的直径，P 为 AB 延长线上一点，过 P 作圆 O 的切线，切

17、点为 C若2 3PC，求 BC 的长 B选修 42：矩阵与变换(本小题满分 10 分)已知矩阵2312A（1）求A的逆矩阵1A；（2）若点 P 在矩阵A对应的变换作用下得到点(3,1)P，求点 P 的坐标 C选修 44：坐标系与参数方程(本小题满分 10 分)在极坐标系中，直线 l 的方程为sin()26，曲线 C 的方程为4cos，求直线 l 被曲线 C 截得的弦长 D选修 45：不等式选讲(本小题满分 10 分)若 x，y，z 为实数，且 x+2y+2z=6，求222xyz的最小值【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字

18、说明、证明过程或演算步骤学科#网 22（本小题满分 10 分）如图，在正三棱柱 ABC-A1B1C1中，AB=AA1=2，点 P，Q 分别为 A1B1，BC 的中点（1）求异面直线 BP 与 AC1所成角的余弦值；（2）求直线 CC1与平面 AQC1所成角的正弦值 23(本小题满分 10 分)设*nN，对 1，2，n 的一个排列1 2niii，如果当 st 时，有stii，则称(,)sti i是排列1 2niii的一个逆序，排列1 2niii的所有逆序的总个数称为其逆序数例如：对 1，2，3的一个排列 231，只有两个逆序(2，1)，(3，1)，则排列 231 的逆序数为 2记()nfk为 1

19、，2，n 的所有排列中逆序数为 k 的全部排列的个数 （1）求34(2),(2)ff的值；（2）求(2)(5)nfn 的表达式(用 n 表示)数学(附加题)参考答案 21【选做题】A选修 41：几何证明选讲 本小题主要考查圆与三角形等基础知识，考查推理论证能力满分 10 分 证明：连结 OC因为 PC 与圆 O 相切，所以 OCPC 又因为 PC=2 3，OC=2，所以 OP=22PCOC=4 又因为 OB=2，从而 B 为 RtOCP 斜边的中点，所以 BC=2 B选修 42：矩阵与变换 本小题主要考查矩阵的运算、线性变换等基础知识，考查运算求解能力满分 10 分 解：（1）因为2312A，

20、det()221 310 A，所以 A 可逆，从而1A2312（2）设 P(x，y)，则233121xy ，所以13311xy A，因此，点 P 的坐标为(3，1)C选修 44：坐标系与参数方程 本小题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力满分 10 分 解：因为曲线 C 的极坐标方程为=4cos，所以曲线 C 的圆心为（2，0），直径为 4 的圆 因为直线 l 的极坐标方程为sin()26，则直线 l 过 A（4，0），倾斜角为6，所以 A 为直线 l 与圆 C 的一个交点 设另一个交点为 B，则OAB=6 连结 OB，因为 OA 为直径，从而OBA=2，所以4cos2 36A

21、B 因此，直线 l 被曲线 C 截得的弦长为2 3 D选修 45：不等式选讲 本小题主要考查柯西不等式等基础知识，考查推理论证能力满分 10 分 证明：由柯西不等式，得2222222()(122)(22)xyzxyz 因为22=6xyz，所以2224xyz，当且仅当122xyz时，不等式取等号，此时244333xyz，所以222xyz的最小值为 4 22【必做题】本小题主要考查空间向量、异面直线所成角和线面角等基础知识，考查运用空间向量解决问题的能力满分 10 分学科%网 解：如图，在正三棱柱 ABCA1B1C1中，设 AC，A1C1的中点分别为 O，O1，则 OBOC，OO1OC，OO1OB

22、，以1,OB OC OO为基底，建立空间直角坐标系 Oxyz 因为 AB=AA1=2，所以1110,1,0,3,0,0,0,1,0,0,1,()()()()(2,3,0,2,0,1,2)()ABCABC （1）因为 P 为 A1B1的中点，所以31(,2)22P，从而131(,2)(0,2,222),BPAC，故111|14|3 10|cos,|20|52 2BP ACBP ACBPAC 因此，异面直线 BP 与 AC1所成角的余弦值为3 1020（2）因为 Q 为 BC 的中点，所以3 1(,0)22Q，因此3 3(,0)22AQ，11(0,2,2),(0,0,2)ACCC 设 n=（x，y

23、，z）为平面 AQC1的一个法向量，则10,0,AQACnn即330,22220.xyyz 不妨取(3,1,1)n，设直线 CC1与平面 AQC1所成角为，则111|25sin|cos|,|552CCCCCC|nnn，所以直线 CC1与平面 AQC1所成角的正弦值为55 23【必做题】本小题主要考查计数原理、排列等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力满分 10 分 解：（1）记()abc为排列 abc 的逆序数，对 1，2，3 的所有排列，有(123)=0(132)=1(213)=1(231)=2(312)=2(321)=3，所以333(0)1(1)(2)2fff，对 1，2，3，4 的排

24、列，利用已有的 1，2，3 的排列，将数字 4 添加进去，4 在新排列中的位置只能是最后三个位置 因此，4333(2)(2)(1)(0)5ffff（2）对一般的 n（n4）的情形，逆序数为 0 的排列只有一个：12n，所以(0)1nf 逆序数为 1 的排列只能是将排列 12n 中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列，所以(1)1nfn 为计算1(2)nf，当 1，2，n 的排列及其逆序数确定后，将 n+1 添加进原排列，n+1 在新排列中的位置只能是最后三个位置 因此，1(2)(2)(1)(0)(2)nnnnnfffffn 当 n5 时，112544(2)(2)(2)(2)(2)(2)(2)(2)nnnnnffffffff 242(1)(2)4(2)2nnnnf，因此，n5 时，(2)nf222nn