江西省南昌市第二中学中考数学必考几何模型：角平分线四大模型16896.pdf

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1、角平分线四大模型模型 1 角平分线的点向两边作垂线 如图，P 是MON 的平分线上一点，过点 P 作 PAOM 于点 A，PBON 于点 B，则 PBPA模型分析利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，构造模型，为边相等、角相等、三角形全等创造更多的条件，进而可以快速找到解题的突破口模型实例（1）如图，在ABC 中，C90，AD 平分CAB，BC6,BD4,那么点 D 到直线 AB 的距离是 解答：如图，过点 D 作 DEAB 于点 E，AD 平分CAB,CDDE.CB6,BD4,DECD2，即点 D 到直线 AB 的距离是 2.（2）如图，12，34，求证：AP 平分BAC证明

2、：如图，过点 P 作 PDAB 于点 D，PEBC 于点 E，PFAC 于点 F，12，PDPE,34,PEPF，PDPF又PDAB，PFAC，AP 平分BAC（角平分线的判定）练习1、如图，在四边形 ABCD 中，BCAB，ADDC,BD 平分ABC，求证：BADBCD180 证明：作 DEBC 于 E，作 DFBA 的延长线于 F，FDEC90,BD 平分ABC,DFDE，又ADDC，DFADEC,FADCFADBAD180，BADBCD1802.如图，ABC 的外角ACD的平分线 CP 与内角ABC 的平分线 BP 相交于点 P，若BPC40，则CAP .解答：如图所示，作 PNBD 于

3、 N，作 PFBA，交 BA 延长线于 F，作 PMAC 于 MBP、CP 分别是CBA 和DCA 的角平分线，ABPCBP,DCPACP，PFPNPM，BACACDABC，BPCPCDPBC(外角性质)BAC2PCD2PBC2(PCDPBC)2BPC80CAF180BAC100，PFPMAP 是FAC 的角平分线，CAPPAF50模型 2 截取构造对称全等如图，P 是MON 的平分线上的一点，点 A 是射线 OM 上任意一点，在 ON 上截取 OBOA,连接PB，则OPBOPA模型分析利用角平分线图形的对称性，在铁的两边构造对称全等三角形，可以得到对应边，对应角相等，利用对称 性把一些线段或

4、角进行转移，这是经常使用的一种解题技巧模型实例（1）如图所示，在ABC 中，AD 是BAC 的外角平分线，P 是 AD 上异于点 A 的任意一点，试比较 PBPC 与 ABAC 的大小，并说明理由解题：PB+PCAB+AC证明：在 BA 的延长线上取点 E,使 AEAB,连接 PE，AD 平分CAECADEAD，在AEP 与ACP 中，AEAB，CADEAD,APAP，AEPACP（SAS），PEPC在PBE 中：PB+PEBE,BEAB+AEAB+AC，PB+PCAB+AC（2）如图所示，AD 是ABC 的内角平分线，其它条件不变，试比较 PCPB 与 ACAB 的大小，并说明理由解答：AC

5、-ABPC-PB证明:在ABC 中,在 AC 上取一点 E,使 AE=AB，AC-AE=AB-AC=BE AD 平分BAC，EAP=BAP，在AEP 和ACP 中 AEPABP(SAS)，PE=PB，在CPE 中 CECP-PE，AC-ABPC-PB练习1.已知，在ABC 中，A2B,CD 是ACB 的平分线，AC16,AD8,求线段 BC 的长解：如图在 BC 边上截取 CEAC，连结 DE，在ACD 和ECD 中CDCDECDACDECACACDECD(SAS)ADDE，A1，A2B，12B，1BEDB ，BEDB，EBBED，EBDA8，BCECBEACDA168242.在ABC 中，A

6、BAC,A108,BD 平分ABC，求证：BCABCD 证明：在 BC 上截取 BEBA，连结 DE，BD 平分ABC,BEAB,BDBDABDEBD(SAS)，DEBA108，DEC18010872ABAC，CABC(180108)36，EDC72，12DECEDC，CECD，BECEABCD，BCABCD3.如图所示，在ABC 中，A100,ABC40,BD 是ABC 的平分线，延长 BD 至 E，使DEAD，求证：BCABCE证明：在 CB 上取点 F，使得 BFAB,连结 DF，BD 平分ABC，BDBDABDFBD，DFADDE,ADBFDB，BD 平分ABCABD20,则ADB18

7、02010060CDECDF180ADBFDB60，CDFCDE，在CDE 和CDF 中CDCDCDECDFDFDECDECDF，CECF，BCBFFCABCE模型 3 角平分线+垂线构造等腰三角形如图，P 是MON 的平分线上一点，AP 丄 OP 于 P 点，延长 AP 交 ON 于点.B,则AOB 是等腰三角形.模型分析构造此模型可以利用等腰三角形的三线合一”，也可以得到两个全等的直角三角形.进而得到对应边.对应角相等.这个模型巧妙地把角平分线和三线合一联系了起来.模型实例如图.己知等腰直角三角形 ABC 中，A=90,AB=AC,BD 平分ABC,C丄 BD.垂足为 E.求证：BD=2C

8、.解答：如图，延长 CE、BA 交于点 F,CE 丄 BD 于 E,BAC=90，BAD=CED.ABD=ACF.又AB=AC,BAD=CAF=90,ABDACF.BD=CF.BD 平分ABC,CBE=FBE.又 BE=BE,BCEBFE.CE=EF.BD=2CE.练习1.如图.在ABC 中.BE 是角平分线.AD 丄 BE.垂足为 D.求证：2=1+C.证明：延长 AD 交 BC 于 F,ADBE,ADB=BDF=90,ABD=FBD,2=BFD.BFD=1+C,2=1+C.2.如图.在ABC 中.ABC=3C,AD 是BAC 的平分线,BE 丄 AD 于点 E.求证:.1()2BEACAB

9、 (2)证明:延长 BE 交 AC 于点 F.AD 为BAC 的角平分线,BAD=CAD.AE=AE,BAE=FAE,则AEBAEF，AB=AF,BE=EF,2=3.AC-AB=AC-AF=FC.ABC=3C,2+1=3+1=1+C+1=3C.21=2C即1=C BF=FO=2BE.1122BEFCACAB模型 4 角平分线+平行线模型分析有角平分线时.常过角平分线上一点作角的一边的平行线.构造等腰三角形.为证明结论提供更多的条件.体现了用平分线与等腰三角形之间的密切关系.模型实例解答下列问题：(1)如图.ABC 中，EFBC,点 D 在 EF 上,BD、CD 分别平分ABC、ACB.写出线段

10、 EF 与BE、CF 有什么数量关系？(2)如图，BD 平分ABC,CD 平分外角ACG.DE/BC 交 AB 于点 E,交 AC 于点 F，线段 EF 与BE、CF 有什么数量关系？并说明理由.(3)如图，BD、CD 为外角CBM、BCN 的平分线，DE/BC 交 AB 延长线于点 E.交 AC 延长线于点 F,直接写出线段 EF 与 BE、CF 有什么数关系？解答：(1)EF/BC,EDB=DBC.BD 平分EBC，EBD=DBC=EDB.EB=ED.同理：DF=FC.EF=ED+DF=BE+CF.(2)图中有 EF=BE=CF，BD 平分BAC,ABD=DBC.又 DE/BC、EDB=D

11、BC.DE=EB.同理可证：CF=DF EF=DE-DF=BE-CF.(3)EF=BE+CF.练习1.如图.在ABC 中,ABC 和ACB 的平分线交于点 E.过点 E 作 MNBC 交 AB 于 M 点.交 AC于 N 点.若 BM+CN=9，则线段 MN 的长为 .解答：ABC、ACB 的平分线相交于点 E,MBE=EBC，ECN=ECB.MN/BC,EBC=MEB,NEC=ECB.MBE-MEB,NEO=ECN.BM=ME,EN=CN.MN=ME+EN,即 MN=BM+CN.BM+CN=9,MN=9.2.如图.在ABC 中,AD 平分BAC.点 E、F 分別在 BD，AD 上,EFAB.且 DE=CD,求证：EF=AC.证明：如图，过点 C 作 CMAB 交 AD 的延长线于点 M,ABEF,CMEF.3=4.DE=CD,5=6,DEFDCM.EF=CM.AB/CM,2=4.1=2,1=4.CM=AC.EF=AC3.如图.梯形 ABCD 中,ADBC,点 E 在 CD 上,且 AE 平分BAD.BE 平分ABC.求证：AD=AB-BC.证明：延长 AD、BE 交于点 F.ADBC,2=F.1=2,1=F.AB=AF.AE 平分BADBE=EF.DEF=CEB,DEFCEB.DF=BC.AD=AF-DF=AB-BC.