2012年福建省三明市中考数学试卷1104.pdf

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1、2012 年福建省三明市中考数学试卷一、选择题（共 10 小题，每小题 4 分，满分40 分.每小题只有一个正确选项，请在答题卡的相应位置填涂）1（4 分）（2012 三明）在2，0，2 四个数中，最大的数是（）A 2B C 0D 22（4 分）（2012 三明）据2011年三明市国民经济和社会发展统计公报数据显示，截止2011年末三明市常住人口约为2 510 000 人，2 510 000 用科学记数法表示为（）A 251 104B 25.1 105C 2.51 106D 0.251 1073 （4 分）（2012 三明）如图，AB CD，CDE=140，则A的度数为（）A 140B 60

2、C 50 D 404（4 分）（2012 三明）分式方程的解是（）A x=2B x=1C D x=25 （4 分）（2012 三明）如图是一个由相同小正方体搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置上的小正方体的个数，则这个几何体的左视图是（）A B C D 6 （4 分）（2011 宁波）一个多边形的内角和是720 ，这个多边形的边数是（）A 4B 5C 6D 77 （4 分）（2012 三明）下列计算错误的是（）A B C D 8 （4 分）（2012 三明）如图，AB 是O的切线，切点为 A，OA=1，AOB=60，则图中阴影部分的面积是（）A BCD 9（4 分）（2012三明

3、）在一个不透明的盒子里有3 个分别标有数字5，6，7 的小球，它们除数字外其他均相同充分摇匀后，先摸出1 个球不放回，再摸出1 个球，那么这两个球上的数字之和为奇数的概率为（）A BCD 10（4 分）（2012三明）如图，在平面直角坐标系中，点A 在第一象限，点P 在 x 轴上，若以P，O，A 为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P 共有（）A 2 个B 3 个C 4 个D 5 个二、填空题（共6 小题，每小题4 分，满分24 分请将答案填在答题卡的相应位置）11（4 分）（2007泉州）分解因式：x2+xy=_12（4 分）（2003泉州）如图，在ABC中，D，E 分别是边AB，AC

4、 的中点，若BC=6，则DE=_13（4 分）（2012三明）某校九（1）班6 位同学参加跳绳测试，他们的成绩（单位：次/分钟）分别为：173，160，168，166，175，168这组数据的众数是_14（4 分）（2012三明）如图，在ABC中，D 是 BC 边上的中点，BDE=CDF，请你添加一个条件，使 DE=DF成立你添加的条件是_（不再添加辅助线和字母）15（4 分）（2012三明）如图，点A 在双曲线上，点B 在双曲线上，且AB y 轴，点 P 是 y 轴上的任意一点，则PAB 的面积为_16（4 分）（2012三明）填在下列各图形中的三个数之间都有相同的规律，根据此规律，a 的值

5、是_三、解答题（共7 题，满分86 分请将解答过程写在答题卡的相应位置）17（14 分）（2012三明）（1）计算：；（2）化简：18（16 分）（2012三明）（1）解不等式组并把解集在数轴上图1 表示出来；（2）如图2 已知ABC三个顶点的坐标分别为A（2，1），B（3，3），C（1，3）画出ABC关于x 轴对称的A1B1C1，并写出点A1的坐标；画出ABC关于原点O 对称的A2B2C2，并写出点A2的坐标19（10 分）（2012三明）为了解某县2012 年初中毕业生数学质量检测成绩等级的分布情况，随机抽取了该县若干名初中毕业生的数学质量检测成绩，按A，B，C，D 四个等级进行统计分析，

6、并绘制了如下尚不完整的统计图：请根据以上统计图提供的信息，解答下列问题：（1）本次抽取的学生有_名；（2）补全条形统计图 1；（3）在抽取的学生中 C级人数所占的百分比是_；（4）根据抽样调查结果，请你估计 2012年该县 1430名初中毕业生数学质量检测成绩为 A级的人数20（10 分）（2012 三明）某商店销售 A，B两种商品，已知销售一件 A种商品可获利润 10 元，销售一件 B种商品可获利润 15 元（1）该商店销售 A，B两种商品共 100件，获利润 1350元，则 A，B两种商品各销售多少件？（2）根据市场需求，该商店准备购进 A，B两种商品共 200件，其中 B种商品的件数不多

7、于 A种商品件数的 3 倍为了获得最大利润，应购进 A，B两种商品各多少件？可获得最大利润为多少元？21（10 分）（2012 三明）如图，在ABC 中，点 O在 AB 上，以 O为圆心的圆经过 A，C两点，交 AB 于点 D，已知A=，B=，且 2 +=90（1）求证：BC 是O的切线；（2）若 OA=6，sin=，求 BC 的长22（12 分）（2012 三明）已知直线 y=2x5 与 x 轴和 y 轴分别交于点 A和点 B，抛物线 y=x2+bx+c的顶点 M在直线 AB 上，且抛物线与直线 AB 的另一个交点为 N（1）如图，当点 M与点 A重合时，求：抛物线的解析式；点 N的坐标和线

8、段 MN的长；（2）抛物线 y=x2+bx+c在直线 AB 上平移，是否存在点M，使得 OMN 与AOB 相似？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由23（14 分）（2012 三明）在正方形 ABCD中，对角线 AC，BD 交于点 O，点 P在线段 BC 上（不含点 B），BPE=ACB，PE 交 BO 于点 E，过点 B作 BF PE，垂足为F，交 AC 于点 G（1）当点 P与点 C重合时（如图 1）求证：BOGPOE；（2）通过观察、测量、猜想：=_，并结合图2 证明你的猜想；（3）把正方形 ABCD改为菱形，其他条件不变（如图 3），若ACB=，求的值（用含 的式子表示）2

9、012 年福建省三明市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共 10 小题，每小题 4 分，满分 40 分.每小题只有一个正确选项，请在答题卡的相应位置填涂）1（4 分）（2012 三明）在2，0，2 四个数中，最大的数是（）A 2B C 0D 2考点：有理数大小比较。分析：根据有理数的大小比较法得出 2 02，即可得出答案解答：解：2 02，最大的数是 2，故选 D 点评：有理数的大小比较法则是：正数都大于 0，负数都小于 0，正数大于一切负数，两个负数比较大小，其绝对值大的反而小2（4 分）（2012 三明）据2011 年三明市国民经济和社会发展统计公报数据显示，截止 2011 年末三

10、明市常住人口约为 2 510 000 人，2 510 000 用科学记数法表示为（）A 251 104B 25.1 105C 2.51 106D 0.251 107考点：科学记数法表示较大的数。分析：科学记数法的表示形式为a 10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值是易错点，由于 2 510 000有 7 位，所以可以确定n=71=6解答：解：2 510 000=2.51 106故选 C 点评：此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a 与 n 值是关键3 （4 分）（2012 三明）如图，AB CD，CDE=140，则A的度数为（）A 140B 60 C 50 D 4

11、0考点：平行线的性质。分析：先求出CDE 的邻补角，再根据两直线平行，内错角相等解答解答：解：CDE=140，ADC=180 140=40 ，AB CD，A=ADC=40 故选 D 点评：本题考查了两直线平行，内错角相等的性质，熟记性质是解题的关键4 （4 分）（2012 三明）分式方程的解是（）A x=2B x=1C D x=2考点：解分式方程。专题：计算题。分析：先把方程两边同乘以x（x+3）得到 5x=2（x+3），解得 x=2，然后进行检验确定原方程的解解答：解：去分母得，5x=2（x+3），解得 x=2，检验：当 x=2时，x（x+3）0，所以原方程的解为x=2故选 A 点评：本题考

12、查了解分式方程：先去分母，把分式方程转化为整式方程，再解整式方程，然后把整式方程的解代入原方程进行检验，最后确定分式方程的解5 （4 分）（2012 三明）如图是一个由相同小正方体搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置上的小正方体的个数，则这个几何体的左视图是（）A B C D 考点：由三视图判断几何体；简单组合体的三视图。分析：找到从左面看所得到的图形即可，注意每列正方形的个数应为这列正方体最多的个数解答：解：从左面看从左往右2 列正方形的个数依次为：2，1 故选 B 点评：本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图，同时考查了学生的思考能力和对几何体三种视图的空间

13、想象能力6 （4 分）（2011 宁波）一个多边形的内角和是720，这个多边形的边数是（）A 4B 5C 6D 7考点：多边形内角与外角。分析：根据内角和定理180（n 2）即可求得解答：解：多边形的内角和公式为（n 2）180，（n 2）180=720，解得 n=6，这个多边形的边数是6 故选 C 点评：本题主要考查了多边形的内角和定理即180（n 2），难度适中7 （4 分）（2012 三明）下列计算错误的是（）A B C D 考点：二次根式的混合运算。专题：计算题。分析：根据二次根式的乘法对 A、B进行判断；根据二次根式的除法对 C进行判断；根据二次根式的性质对 D进行判断解答：解：A、

14、=，所以 A选项的计算正确；B、与不是同类二次根式，不能合并，所以 B选项的计算错误；C、=2，所以C选项的计算正确；D、=2，所以D选项的计算正确故选 B 点评：本题考查了二次根式的混合运算：先进行二次根式的乘除运算，再把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的加减运算8 （4 分）（2012 三明）如图，AB 是O的切线，切点为 A，OA=1，AOB=60，则图中阴影部分的面积是（）A B C D 考点：扇形面积的计算；切线的性质。专题：数形结合。分析：在 RT OAB 中，得出 AB 的长度，求出OAB 的面积，然后求出扇形 OAC 的面积，再由阴影部分的面积=三角形 OAB 的面积

15、扇形 OAC 的面积即可得出答案解答：解：AB 是O的切线，切点为 A，OA AB，在 RT OAB 中，AB=OAtanAOB=，故 SOAB=OA AB=，S扇形OAC=，故可得：S阴影=SOABS扇形OAC=故选 C 点评：此题考查了扇形面积计算及切线的性质，属于基础题，解答本题的关键是判断出 OAB 是直角三角形，难度一般9 （4 分）（2012 三明）在一个不透明的盒子里有 3 个分别标有数字 5，6，7 的小球，它们除数字外其他均相同充分摇匀后，先摸出 1 个球不放回，再摸出1 个球，那么这两个球上的数字之和为奇数的概率为（）A B C D 考点：列表法与树状图法。分析：首先根据题

16、意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与这两个球上的数字之和为奇数的情况，再利用概率公式求解即可求得答案解答：解：画树状图得：共有6 种等可能的结果，这两个球上的数字之和为奇数的有4 种情况，这两个球上的数字之和为奇数的概率为：=故选A 点评：此题考查的是用列表法或树状图法求概率注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；概率=所求情况数与总情况数之比10（4 分）（2012三明）如图，在平面直角坐标系中，点A 在第一象限，点P 在 x 轴上，若以P，O，A 为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P 共

17、有（）A 2 个B 3 个C 4 个D 5 个考点：等腰三角形的判定；坐标与图形性质。分析：分为三种情况：OA=OP，AP=OP，OA=OA，分别画出即可解答：解：以O 为圆心，以OA 为比较画弧交x 轴于点P 和 P，此时三角形是等腰三角形，即2 个；以 A 为圆心，以OA 为比较画弧交x 轴于点P（O 除外），此时三角形是等腰三角形，即1 个；作 OA 的垂直平分线交x 轴于一点P1，此时三角形是等腰三角形，即1 个；2+1+1=4，故选C 点评：本题考查了等腰三角形的判定和坐标于图形性质，主要考查学生的动手操作能力和理解能力，注意不要漏解啊二、填空题（共6 小题，每小题4 分，满分24

18、分请将答案填在答题卡的相应位置）11（4 分）（2007泉州）分解因式：x2+xy=x（x+y）考点：因式分解-提公因式法。分析：直接提取公因式x 即可解答：解：x2+xy=x（x+y）点评：本题考查因式分解因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式一般来说，如果可以提取公因式的要先提取公因式，再看剩下的因式是否还能分解12（4 分）（2003 泉州）如图，在ABC 中，D，E分别是边 AB，AC 的中点，若 BC=6，则 DE=3 考点：三角形中位线定理。分析：由 D、E分别是 AB、AC 的中点可知，DE 是ABC 的中位线，利用三角形中位线定理可求出DE 解答：解：D、E是 AB、AC 中点

19、，DE 为ABC 的中位线，ED=BC=3故答案为 3 点评：本题用到的知识点为：三角形的中位线等于三角形第三边的一半13（4 分）（2012 三明）某校九（1）班 6 位同学参加跳绳测试，他们的成绩（单位：次/分钟）分别为：173，160，168，166，175，168这组数据的众数是168 考点：众数。分析：众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个依此即可求解解答：解：在这一组数据中 168出现 2 次，出现次数最多的，故众数是 168故答案为：168点评：本题为统计题，考查众数的意义众数不易受数据中极端值的影响众数也是数据的一种代表数，反映了一组数据的集中程度，众数可作为

20、描述一组数据集中趋势的量14（4 分）（2012 三明）如图，在ABC 中，D是 BC 边上的中点，BDE=CDF，请你添加一个条件，使 DE=DF成立你添加的条件是答案不唯一，如AB=AC或B=C或BED=CFD 或AED=AFD（不再添加辅助线和字母）考点：全等三角形的判定与性质。专题：开放型。分析：答案不唯一根据AB=AC，推出B=C，根据 ASA 证出BED 和CFD 全等即可；添加BED=CDF，根据 AAS 即可推出BED 和CFD 全等；根据AED=AFD 推出B=C，根据 ASA 证BEDCFD即可解答：解：答案不唯一，如AB=AC或B=C或BED=CFD，或AED=AFD 等

21、；理由是：AB=AC，B=C，根据 ASA 证出BEDCFD，即可得出 DE=DF；由B=C，BDE=CDF，BD=DC，根据 ASA 证出BEDCFD，即可得出 DE=DF；由BED=CFD，BDE=CDF，BD=DC，根据 AAS 证出BEDCFD，即可得出 DE=DF；AED=AFD，AED=B+BDE，AFD=C+CDF，又BDE=CDF，B=C，即由B=C，BDE=CDF，BD=DC，根据 ASA 证出BEDCFD，即可得出 DE=DF；故答案为：答案不唯一，如 AB=AC或B=C或BED=CFD或AED=AFD点评：本题考查了全等三角形的判定，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题

22、目15（4 分）（2012 三明）如图，点 A在双曲线上，点 B在双曲线上，且 AB y 轴，点 P是 y 轴上的任意一点，则PAB 的面积为1 考点：反比例函数系数 k 的几何意义。专题：探究型。分析：设 A（x，），则 B（x，），再根据三角形的面积公式求解解答：解：设 A（x，），AB y 轴，B（x，），SABC=AB x=（）x=1故答案为：1 点评：本题考查的是反比例函数系数k 的几何意义，先根据题意设出A点坐标，再由 AB y 轴得出 B点坐标是解答此题的关键16（4 分）（2012 三明）填在下列各图形中的三个数之间都有相同的规律，根据此规律，a 的值是900 考点：规律型：图

23、形的变化类；规律型：数字的变化类。分析：根据已知数据即可得出，最下面一行数字变化规律，进而得出答案解答：解：根据下面一行数字变化规律为：1 4=4，4 9=36，9 16=144，16 25=400，25 36=a=900，故答案为：900点评：此题主要考查了数字变化规律，这类题型在中考中经常出现对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的三、解答题（共7 题，满分86 分请将解答过程写在答题卡的相应位置）17（14 分）（2012三明）（1）计算：；（2）化简：考点：分式的混合运算；实数的运算；零指数幂；负整数指数幂。专题：计算题。分析：（1）先根据0 指数幂、负整数指

24、数幂及绝对值的性质计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算；（2）根据分式混合运算的法则先算括号里面的，再算除法即可解答：解：（1）原式=1+=1；（2）解法一：原式=（+）=+=x解法二：原式=x点评：本题考查的是分式的混合运算、实数的运算、0 指数幂及负整数指数幂的计算法则，在解答此类题目时要注意各种运算律的灵活运用18（16 分）（2012三明）（1）解不等式组并把解集在数轴上图1 表示出来；（2）如图2 已知ABC三个顶点的坐标分别为A（2，1），B（3，3），C（1，3）画出ABC关于x 轴对称的A1B1C1，并写出点A1的坐标；画出ABC关于原点O 对称的A2B2C2，并写出点

25、A2的坐标考点：作图-旋转变换；在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组；作图-轴对称变换。专题：作图题。分析：（1）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可；（2）根据关于 x 轴对称的点的坐标特点画出ABC 关于 x 轴对称的A1B1C1，并写出点 A1的坐标；根据关于原点对称的点的坐标特点画出 A2B2C2，并写出点 A2的坐标解答：解：（1）解不等式，得 x 2，解不等式，得 x 2，故此不等式的解集为：2 x 2，在数轴上表示为：（2）如图所示，A1（2，1）；如图所示，A2（2，1）点评：本题考查的是作图旋转变换及轴对称变换，解一元一次不等式组及在数轴上

26、表示不等式的解集，熟知图形旋转不变性的性质是解答此题的关键19（10 分）（2012 三明）为了解某县 2012年初中毕业生数学质量检测成绩等级的分布情况，随机抽取了该县若干名初中毕业生的数学质量检测成绩，按 A，B，C，D四个等级进行统计分析，并绘制了如下尚不完整的统计图：请根据以上统计图提供的信息，解答下列问题：（1）本次抽取的学生有100 名；（2）补全条形统计图 1；（3）在抽取的学生中 C级人数所占的百分比是30%；（4）根据抽样调查结果，请你估计 2012年该县 1430名初中毕业生数学质量检测成绩为 A级的人数考点：条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图。专题：图表型。分析：（1

27、）根据 A级的人数与所占的百分比列式计算即可得解；（2）求出 B级的人数，然后补全统计图即可；（3）利用 C级的人数除以抽取的总人数，进行计算即可得解；（4）利用全县总人数乘以 A级学生所占的百分比，进行计算即可得解解答：解：（1）20 20%=100（名）；（2）B级人数为：100 25%=25（名），补全统计图如图所示；（3）100%=30%；（4）1430 20%=286（人）答：成绩为A级的学生人数约为 286人故答案为：（1）100，（3）30%点评：本题考查的是条形统计图与扇形统计图的综合运用读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据

28、20（10 分）（2012 三明）某商店销售 A，B两种商品，已知销售一件A种商品可获利润10 元，销售一件B种商品可获利润15 元（1）该商店销售A，B两种商品共 100件，获利润 1350元，则 A，B两种商品各销售多少件？（2）根据市场需求，该商店准备购进 A，B两种商品共 200件，其中 B种商品的件数不多于 A种商品件数的 3 倍为了获得最大利润，应购进 A，B两种商品各多少件？可获得最大利润为多少元？考点：一次函数的应用；一元一次方程的应用；二元一次方程组的应用；一元一次不等式组的应用。专题：应用题。分析：（1）设 A种商品销售 x件，B种商品销售 y 件，根据“销售 A，B两种商

29、品共 100件，获利润 1350元”列出二元一次方程组求解即可；（2）设 A种商品购进 x件，则 B种商品购进（200 x）件，根据“B种商品的件数不多于 A种商品件数的3 倍”列出不等式即可求得结果解答：解：（1）解法一：设 A种商品销售 x件，则 B种商品销售（100 x）件依题意，得 10 x+15（100 x）=1350解得 x=30100 x=70答：A种商品销售 30 件，B种商品销售 70 件解法二：设 A种商品销售 x件，B种商品销售 y 件依题意，得解得答：A种商品销售 30 件，B种商品销售 70 件（2）设 A种商品购进 x件，则 B种商品购进（200 x）件依题意，得

30、0 200 x 3x解得 50 x 200设所获利润为 w元，则有w=10 x+15（200 x）=5x+30005 0，w随 x 的增大而减小当 x=50时，所获利润最大W最大=5 50+3000=2750元200 x=150答：应购进 A种商品 50 件，B种商品 150件，可获得最大利润为 2750元点评：本题考查了一次函数的应用、一元一次方程的应用、二元一次方程组的应用及一元一次不等式的应用，考查的知识点比较多，难度较大21（10 分）（2012 三明）如图，在ABC 中，点 O在 AB 上，以 O为圆心的圆经过 A，C两点，交 AB 于点 D，已知A=，B=，且 2 +=90（1）求

31、证：BC 是O的切线；（2）若 OA=6，sin=，求 BC 的长考点：圆的综合题。专题：综合题。分析：（1）连接 OC，则可得出A=ACO，从而利用外角的知识可得BOC=2，再由 2 +=90 可判断出OCB=90，继而可判断出 BC 是O的切线（2）由（1）可得 OC=OA=6，OC BC，利用 sin=可求出 OB 的长度，在 RT OBC 中利用勾股定理可得出 BC 的长度解答：（1）证明：连接 OC，OA=OC，ACO=A=，BOC=A+ACO=2，BOC+B=2+=90，BCO=90，即 OC BC，BC 是的O切线（2）解：由（1）可得，OC=OA=6，OC BC，在 RtBOC

32、 中，sin=，sin=，=，OB=10，BC=8点评：此题属于圆的综合题目，本题的第一问解法不止一种，同学们可以发散思维，多思考几种证明方法，在第二问的解答中，关键是利用 sin 的值求出 OB 的长度，有一定难度22（12 分）（2012 三明）已知直线 y=2x5 与 x 轴和 y 轴分别交于点 A和点 B，抛物线 y=x2+bx+c的顶点 M在直线 AB 上，且抛物线与直线 AB 的另一个交点为 N（1）如图，当点 M与点 A重合时，求：抛物线的解析式；点 N的坐标和线段 MN的长；（2）抛物线 y=x2+bx+c在直线 AB 上平移，是否存在点M，使得 OMN 与AOB 相似？若存在

33、，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由考点：二次函数综合题。分析：（1）首先求得直线与 x 轴，y 轴的交点坐标，利用二次函数的对称轴的公式即可求解；N在直线上同时在二次函数上，因而设N的横坐标是 a，则在两个函数上对应的点的纵坐标相同，据此即可求得 a 的值，即 N的坐标，过 N作 NC x 轴，垂足为 C，利用勾股定理即可求得 MN的长；（2）AOB 的三边长可以求得 OB=2OA，AB 边上的高可以求得是，抛物线 y=x2+bx+c在直线 AB上平移，则 MN的长度不变，根据（1）的结果是 2，MN是 AB 边上的高的二倍，当 OM AB 或 ON AB时，两个三角形相似，据此即可求

34、得 M的坐标解答：解：（1）直线 y=2x5 与 x 轴和 y 轴交于点 A和点 B，B（0，5）解法一：当顶点M与点 A重合时，抛物线的解析式是：即解法二：当顶点M与点 A重合时，b=5又，抛物线的解析式是：N在直线 y=2x5 上，设 N（a，2a5），又 N在抛物线上，解得，（舍去）过 N作 NC x 轴，垂足为 C，NC=4（2），B（0，5）OA=，OB=5，直线 AB 的解析式是：y=2x5，则 OB=2OA，AB=2，当 OM AB 时，直线 AB 的解析式是：y=x，解方程组：，解得：，则 M的坐标是（2，1）；当 ON AB 时，N的坐标是（2，1），设 M的坐标是（m，2m

35、 5）则 m 2，MN=2，（m 2）2+（2m 5+1）2=（2）2解得：m=4，则 M的坐标是 M（4，3）故 M的坐标是：（2，1）或（4，3）点评：本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式，注意到 MN是 AB 边上的高的二倍，当 OM AB 或 ON AB时，两个三角形相似是解题的关键23（14 分）（2012 三明）在正方形 ABCD中，对角线 AC，BD 交于点 O，点 P在线段 BC 上（不含点 B），BPE=ACB，PE 交 BO 于点 E，过点 B作 BF PE，垂足为F，交 AC 于点 G（1）当点 P与点 C重合时（如图 1）求证：BOGPOE；（2）通过观察、测量、猜

36、想：=，并结合图2 证明你的猜想；（3）把正方形ABCD改为菱形，其他条件不变（如图 3），若ACB=，求的值（用含 的式子表示）考点：相似形综合题。分析：（1）由四边形 ABCD是正方形，P 与 C重合，易证得 OB=OP，BOC=BOG=90，由同角的余角相等，证得GBO=EPO，则可利用 ASA 证得：BOGPOE；（2）首先过 P 作 PM AC 交 BG 于 M，交 BO 于 N，易证得BMN PEN（ASA），BPFMPF（ASA），即可得 BM=PE，BF=BM 则可求得的值；（3）首先过 P 作 PM AC 交 BG 于点 M，交 BO 于点 N，由（2）同理可得：BF=BM，

37、MBN=EPN，继而可证得：BMN PEN，然后由相似三角形的对应边成比例，求得的值解答：（1）证明：四边形 ABCD是正方形，P 与 C重合，OB=OP，BOC=BOG=90，PFBG，PFB=90，GBO=90 BGO，EPO=90 BGO，GBO=EPO，在BOG 和POE中，BOGPOE（ASA）；（2）解：猜想证明：如图2，过 P 作 PM AC 交 BG 于 M，交 BO 于 N，PNE=BOC=90，BPN=OCBOBC=OCB=45，NBP=NPBNB=NPMBN=90 BMN，NPE=90 BMN，MBN=NPE，在BMN 和PEN中，BMN PEN（ASA），BM=PEBP

38、E=ACB，BPN=ACB，BPF=MPFPFBM，BFP=MFP=90 在BPF和MPF 中，BPFMPF（ASA）BF=MF即 BF=BM BF=PE即；（3）解法一：如图3，过 P 作 PM AC 交 BG 于点 M，交 BO 于点 N，BPN=ACB=，PNE=BOC=90，由（2）同理可得：BF=BM，MBN=EPN，BNM=PNE=90，BMN PEN在 RtBNP中，tan=，=tan 即=tan=tan 解法二：如图 3，过 P 作 PM AC 交 BG 于点 M，交 BO 于点 N，BO PM，BPN=ACB=，BPE=ACB=，PFBM，EPN=MBN=EPN=BPE=设

39、BF=x，PE=y，EF=m，在 RtPFB中，tan=，PF=PE+EF=y+m，x=（y+m）tan，在 RtBFE中，tan=，m=x tan，x=（y+xtan）tan，x=y tan+x tan2，（1 tan2）x=y tan，即解法三：如图 3，过 P 作 PM AC 交 BG 于点 M，交 BO 于点 N，BNP=BOC=90 EPN+NEP=90 又BF PE，FBE+BEF=90 BEF=NEP，FBE=EPN，PN AC，BPN=BCA=又BPE=ACB=，NPE=BPE=FBE=BPE=EPN=sinFPB=，BP=，）cosEPN=，PN=PE cos，cosNPB=，PN=BP cos，EP cos=BP cos，EP cos=cos，点评：此题考查了正方形的性质、菱形的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及三角函数的定义等知识此题综合性很强，难度较大，注意准确作出辅助线是解此题的关键，注意数形结合思想的应用参与本试卷答题和审题的老师有：HLing；zcx；CJX；ZJX；wdxwwzy；星期八；gsls；zhxl；sd2011；冯延鹏；王岑；lanchong；zjx111；sjzx；caicl（排名不分先后）菁优网2012 年 9 月 18 日