2020届高三文理科数学一轮复习《平面向量的数量积与平面向量应用举例》专题汇编(教师版)43237.pdf

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1、 1/15 平面向量的数量积与平面向量应用举例专题 一、相关知识点 1.向量的夹角(1)定义：已知两个非零向量 a 和 b，作 OAa，OBb，则AOB 就是向量 a 与 b 的夹角(2)范围：设 是向量 a 与 b 的夹角，则 0180.(3)共线与垂直：若 0，则 a 与 b 同向；若 180，则 a 与 b 反向；若 90，则 a 与 b 垂直 2平面向量的数量积(1)射影的定义 设 是 a 与 b 的夹角，则|b|cos 叫作向量 b 在 a 方向上的射影，|a|cos 叫作向量 a 在 b 方向上的射影 (2)平面向量的数量积 定义 设两个非零向量 a，b 的夹角为，则数量|a|b|

2、cos 叫作 a 与 b 的数量积，记作 ab 投影|a|cos 叫作向量 a 在 b 方向上的投影，|b|cos 叫作向量 b 在 a 方向上的投影 几何 意义 数量积 ab 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cos 的乘积 注意：(1)数量积 ab 也等于 b 的长度|b|与 a 在 b 方向上的投影|a|cos 的乘积，这两个投影是不同的(2)a 在 b 方向上的投影也可以写成ab|b|，投影是一个数量，可正可负也可为 0，它的符号取决于 角的范围 3向量数量积的性质 设 a，b 是两个非零向量，e 是单位向量，是 a 与 e 的夹角，于是我们就有下列数量积的性质

3、：(1)eaae|a|e|cos|a|cos.(2)abab0.(3)a，b 同向ab|a|b|；a，b 反向ab|a|b|.特别地 aa|a|2a2或|a|aa.(4)若 为 a，b 的夹角，则 cos ab|a|b|.(5)|ab|a|b|.(6)(ab)2|ab|2|a|22ab|b|2a22abb2；4平面向量数量积的运算律(1)abba(交换律)(2)ab(ab)a(b)(结合律)(3)(ab)cacbc(分配律)5平面向量数量积的性质及其坐标表示 2/15 设非零向量 a(x1，y1)，b(x2，y2)，a，b 结论 几何表示 坐标表示 模|a|aa|a|x21y21 数量积 ab

4、|a|b|cos abx1x2y1y2 夹角 cos ab|a|b|cos x1x2y1y2x21y21x22y22 ab ab0 x1x2y1y20|ab|与|a|b|的关系|ab|a|b|x1x2y1y2|x21y21x22y22 常用结论 1两个向量 a，b 的夹角为锐角ab0 且 a，b 不共线；2两个向量 a，b 的夹角为钝角ab0 且 a，b 不共线 题型一 平面向量数量积的运算 类型一：利用数量积定义进行运算 1已知向量 a 和向量 b 的夹角为 30，|a|2，|b|3，则向量 a 和向量 b 的数量积 ab_.解析：ab|a|b|cos 302 3323.2在边长为 1 的等

5、边ABC 中，设BCa，CAb，ABc，则 abbcca_.解析：依题意有 abbcca12121232.3已知向量 a，b 是互相垂直的单位向量，且 cacb1，则(3ab5c)b 解析：因为向量 a，b 是互相垂直的单位向量，且 cacb1，所以(3ab5c)b0b25cb15(1)6.4已知向量 a，b 满足|a|1，ab1，则 a(2ab)解析：因为|a|1，ab1，所以 a(2ab)2|a|2ab212(1)3 5已知锐角三角形 ABC 中，|AB|4，|AC|1，ABC 的面积为 3，则ABAC_.解析：由 SABC12|AB|AC|sin A 3得 sin A32，又 A0，2，

6、则 A3，故ABAC|AB|AC|cos A41122.类型二：平面图形中数量积的运算 1已知矩形 ABCD 中，AB 2，BC1，则ACCB_.解析：设ABa，ADb，则 ab0，|a|2，|b|1，ACCB(ab)(b)abb21.3/15 2在ABCD 中，|AB|8，|AD|6，N 为 DC 的中点，BM2MC，则AMNM 解析 AMNM(ABBM)(NCCM)AB23AD12AB13AD12AB229AD21282296224.3在ABC 中，AB4，BC6，ABC2，D 是 AC 的中点，E 在 BC 上，且 AEBD，则AEBC等于 解析：以 B 为原点，BA，BC 所在直线分别

7、为 x，y 轴建立平面直角坐标系(图略)，A(4,0)，B(0,0)，C(0,6)，D(2,3)，设 E(0，t)，BDAE(2,3)(4，t)83t0，t83，即 E0，83，AEBC4，83(0,6)16.4已知ABC 是边长为 1 的等边三角形，点 D 在边 BC 上，且 BD2DC，则ABAD的值为 解析：ABC 是边长为 1 的等边三角形，且 BD2DC，BD23BC，ABADAB(ABBD)AB223ABBC123111223.5已知点 O 为ABC 的外心，且|AC|4，|AB|2，则AOBC_.解析：因为点 O 为ABC 的外心，且|AC|4，|AB|2，所以AOBCAO(AC

8、AB)AOACAOAB|AO|AC|cosAO，AC|AO|AB|cosAO，AB|AC|AC|12|AB|AB|126.6已知ABC 是边长为 1 的等边三角形，则(AB2BC)(3BC4CA)解析：(AB2BC)(3BC4CA)3ABBC6BC24ABCA8BCCA 3|AB|BC|cos 1206|BC|24|AB|CA|cos 1208|BC|CA|cos 120 31112612411128111232624112.7在边长为 2 3的等边三角形 ABC 中，点 O 为ABC 外接圆的圆心，则OA(OBOC)_.解析：如图，O 是正三角形 ABC 外接圆的圆心(半径为 2)，则 O

9、也是正三角形 ABC 的重心 设 AO 的延长线交 BC 于点 D，则OBOC2ODOA，OA(OBOC)OA24.8 已知 D 是ABC 所在平面内一点，且满足(BCCA)(BDAD)0，则ABC 是()A等腰三角形 B直角三角形 C等边三角形 D等腰直角三角形 解析：A，(BCCA)(BDAD)(BCCA)BA0，所以BCBACABA，设 BCa，ACb，所以 acos Bbcos A，利用余弦定理化简得 a2b2，即 ab，所以ABC 是等腰三角形 4/15 9已知ABC 是边长为 1 的等边三角形，点 D，E 分别是边 AB，BC 的中点，连接 DE 并延长到点 F，使得 DE2EF，

10、则AFBC的值为 解析：如图所示，AFADDF.又 D，E 分别为 AB，BC 的中点，且 DE2EF，所以AD12AB，DF12AC14AC34AC，所以AF12AB34AC.又BCACAB，则AFBC12AB34AC(ACAB)12ABAC12AB234AC234ACAB 34AC212AB214ACAB.又|AB|AC|1，BAC60，故AFBC341214111218.题型二 平面向量数量积的应用 类型一 求向量的模 1已知 ab12 2，|a|4，a 和 b 的夹角为 135，则|b|的值为 解析：因为 ab|a|b|cos135 12 2，所以|b|12 24226.2已知向量 a

11、，b 的夹角为 60，|a|2，|b|1，则|a2b|_.解析：法一：|a2b|a2b2 a24ab4b222421cos 60412 122 3.法二：(数形结合法)由|a|2b|2，知以 a 与 2b 为邻边可作出边长为 2 的菱形OACB，如图，则|a2b|OC|.又AOB60，所以|a2b|2 3.3已知不共线的两个向量 a，b 满足|ab|2 且 a(a2b)，则|b|解析：由 a(a2b)得 a(a2b)|a|22ab0.又|ab|2，|ab|2|a|22ab|b|24，则|b|24，|b|2 4已知平面向量 a，b 满足 b(ab)3，且|a|1，|b|2，则|ab|解析：因为|

12、a|1，|b|2，b(ab)3，所以 ab3b21，所以|ab|2a22abb21243，所以|ab|3.5已知非零向量 a，b 的夹角为 60，且|b|1，|2ab|1，则|a|解析：非零向量 a，b 的夹角为 60，且|b|1，ab|a|112|a|2.|2ab|1，5/15|2ab|24a24abb24|a|22|a|11，4|a|22|a|0，|a|12或|a|0(舍).6已知非零向量 a，b 满足 ab0，|a|3，且 a 与 ab 的夹角为4，则|b|解析：因为 a(ab)a2ab|a|ab|cos 4，所以|ab|3 2，将|ab|3 2两边平方可得，a22abb218，解得|b

13、|3.7已知向量 a，b 的夹角为 60，|a|2，|a2b|2，则|b|等于 解析：由|a2b|2，得(a2b)2|a|24ab4|b|24，即|a|24|a|b|cos 604|b|24，即|b|2|b|0，解得|b|0(舍去)或|b|1 8设向量 a，b 满足|ab|10，|ab|6，则 ab 解析：|ab|2(ab)2a22abb210，|ab|2(ab)2a22abb26，ab=1 9已知平面向量 a，b 的夹角为6，且|a|3，|b|2，在ABC 中，AB2a2b，AC2a6b，D 为 BC中点，则|AD|等于 解析：因为AD12(ABAC)12(2a2b2a6b)2a2b，所以|

14、AD|24(ab)24(a22bab2)4322 3cos64 4，则|AD|2.10已知向量 a，b 满足|a|1，(ab)(a2b)0，则|b|的取值范围为()A1，2 B2，4 C14，12 D12，1 解析：由题意知 b0，设向量 a，b 的夹角为，因为(ab)(a2b)a2ab2b20，又|a|1，所以 1|b|cos 2|b|20，所以|b|cos 12|b|2，因为1cos 1，所以|b|12|b|2|b|，所以12|b|1，所以|b|的取值范围是12，1 类型二 求向量的夹角 1已知向量 a，b 满足|a|b|2 且 ab2，则向量 a 与 b 的夹角为_ 解析：23 2已知平

15、面向量 a，b 的夹角为3，且|a|1，|b|12，则 a2b 与 b 的夹角是 6/15 解析：因为|a2b|2|a|24|b|24ab114112cos33，所以|a2b|3.又(a2b)bab2|b|2112cos3214141234，所以 cosa2b,ba2bb|a2b|b|3431232，所以 a2b 与 b 的夹角为6.3已知两个单位向量 a，b 满足|a2b|3，则 a，b 的夹角为_ 解析：因为|a2b|3，所以|a2b|2a24ab4b2(3)2.又 a，b 是两个单位向量，所以|a|1，|b|1，所以 ab12.因为 ab|a|b|cosa，b，所以cosa，b12，则

16、a，b 的夹角为23.4已知向量 a，b 满足(a2b)(5a4b)0，且|a|b|1，则 a 与 b 的夹角 为 解析：(a2b)(5a4b)0，5a26ab8b20.又|a|b|1，ab12，cos ab|a|b|12.又 0，3 5已知非零向量 a，b 满足|b|4|a|，且 a(2ab)，则 a 与 b 的夹角为 解析：a(2ab)，a(2ab)0，2|a|2ab0，即 2|a|2|a|b|cosa，b0.|b|4|a|，2|a|24|a|2cosa，b0，cosa，b12，0a，b.a，b23.6向量 a，b 满足|ab|2 3|a|，且(ab)a0，则 a，b 的夹角的余弦值为 解

17、析：(ab)a0a2ba，|ab|2 3|a|b29a2，则 cosa，bba|b|a|a23|a|a|13.7已知 e1，e2是互相垂直的单位向量若 3e1e2与 e1e2的夹角为 60，则实数 的值是_ 解析：由题意知|e1|e2|1，e1e20，|3e1e2|3e1e223e212 3e1e2e22 3012.同理|e1e2|12.所以 cos 603e1e2e1e2|3e1e2|e1e2|3e2131e1e2e222 1232 1212，解得 33.8已知|a|4，|b|3，(2a3b)(2ab)61.(1)求 a 与 b 的夹角；(2)求|ab|；(3)若ABa，BCb，求ABC 的

18、面积 解析：(1)因为(2a3b)(2ab)61，所以 4|a|24ab3|b|261.又因为|a|4，|b|3，所以 644ab2761，所以 ab6.7/15 所以 cos ab|a|b|64312.又因为 0，所以 23.(2)|ab|2(ab)2|a|22ab|b|2422(6)3213，所以|ab|13.(3)因为AB与BC的夹角 23，所以ABC233.又因为|AB|a|4，|BC|b|3，所以 SABC12|AB|BC|sinABC1243323 3.类型三 平面向量的垂直问题 1已知向量 a 与 b 的夹角是3，且|a|1，|b|4，若(3a b)a，则实数 的值为 解析：由已

19、知，(3a b)a0，即 3a2 ba0，所以 320，即 32.2已知|a|1，|b|2，且 a(ab)，则向量 a 与向量 b 的夹角为 解析 a(ab)，a(ab)a2ab1 2cosa，b0，cosa，b22，a，b4.3设 a(1，2)，b(1，1)，cakb.若 bc，则实数 k 的值等于 解析：cakb(1，2)k(1，1)(1k，2k)，因为 bc，所以 bc0，bc(1，1)(1k，2k)1k2k32k0，所以 k32.4 已知向量AB与AC的夹角为120，且|AB|3，|AC|2.若APABAC，且APBC，则实数的值为_ 解析：由APBC得APBC0，即(ABAC)(AC

20、AB)0，(1)ABACAB2AC20，即3(1)940.解得 712.类型四 考察向量的投影 1已知|a|5，|b|4，a 与 b 的夹角 120，则向量 b 在向量 a 方向上的投影为_ 解析：2 2在等腰ABC 中，ABAC2，ABC30，D 为 BC 的中点，则CD在BA方向上的投影为_ 解析：32 3已知AB(2,1)，点 C(1,0)，D(4,5)，则向量AB在CD方向上的投影为 解析：因为点 C(1,0)，D(4,5)，所以 CD(5,5)，又AB(2,1)，所以向量AB在CD方向上的投影为|AB|cosAB，CDABCD|CD|155 23 22 8/15 4已知向量 a(1，

21、3)，b(3，m)，且 b 在 a 上的投影为3，则向量 a 与 b 的夹角为_ 解析：因为 b 在 a 上的投影为3，所以|b|cosa，b3，又|a|12（3）22，所以 ab|a|b|cosa，b6，又 ab13 3m，所以 3 3m6，解得 m3 3，则 b(3，3 3)，所以|b|32（3 3）26，所以 cosa，bab|a|b|62612，因为 0a，b，所以 a 与 b 的夹角为23.题型三 平面向量数量积的坐标表示 类型一 平面向量数量积的坐标运算 1已知向量 a(2，1)，b(1，2)，则(2ab)a 解析：向量 a(2，1)，b(1,2)，2ab(3,0)，则(2ab)a

22、6.2设向量 a(1,2)，b(m,1)，如果向量 a2b 与 2ab 平行，那么 a 与 b 的数量积等于_.解析：a2b(12m,4)，2ab(2m,3)，由题意得 3(12m)4(2m)0，则 m12，所以 ab1122152.3已知向量 a(2,1)，b(1，k)，a(2ab)0，则 k_.解析：12 4 在直角三角形 ABC 中，ACB90，ACBC2，点 P 是斜边 AB 上的中点，则CPCBCPCA_.解析：由题意可建立如图所示的坐标系可得 A(2,0)，B(0,2)，P(1,1)，C(0,0)，则CPCBCPCA(1,1)(0,2)(1,1)(2,0)224.类型二 利用坐标求

23、向量的模 9/15 1设平面向量 a(3,5)，b(2,1)，则|a2b|_.解析：|a2b|2(1)27250，|a2b|5 2.2已知 acos6，sin6，bcos56，sin56，则|ab|_.解析：由题意知|a|b|1，abcos6cos56sin6sin56cos656 cos2312.所以|ab|2a22ab|b|222123，即|ab|3.3设向量 a(m,1)，b(1,2)，且|ab|2|a|2|b|2，则 m_.解析：|ab|2|a|2|b|22ab|a|2|b|2，ab0.又a(m,1)，b(1,2)，m20，m2.类型三 利用坐标求向量的夹角 1a，b 为平面向量，已知

24、 a(4,3)，2ab(3,18)，则 a，b 夹角的余弦值等于_ 解析：设 b(x，y)，则 2ab(8x,6y)(3,18)，所以 8x3，6y18，解得 x5，y12，故 b(5,12)，所以 a，b 夹角的余弦值ab|a|b|1665.2.已知向量 a(2,7)，b(x，3)，且 a 与 b 的夹角为钝角，则实数 x 的取值范围为_ 解析：由 ab2x210，得 x212，当 a 与 b 共线时，2x73，则 x67，故 x 的取值范围为 x11，则 m 的取值范围为_ 解析：由向量AB(m,1)，BC(2m，4)，得ACABBC(2，3)又因为ABAC11，所以 2m311，解得 m

25、7.4若向量 a(k,3)，b(1,4)，c(2,1)，已知 2a3b 与 c 的夹角为钝角，则 k 的取值范围是_ 解析：因为 2a3b 与 c 的夹角为钝角，所以(2a3b)c0，即(2k3，6)(2,1)0，所以 4k660，所以 k3.又若(2a3b)c，则 2k312，即 k92.当 k92时，2a3b(12，6)6c，即 2a3b 与 c 反向综上，k 的取值范围为，9292，3.5已知平面向量 a(1,2)，b(4,2)，cmab(mR)，且 c 与 a 的夹角等于 c 与 b 的夹角，则 m 解析：a(1,2)，b(4,2)，cmab(m4,2m2)，|a|5，|b|2 5，a

26、c5m8，bc8m20.c 与 a 的夹角等于 c 与 b 的夹角，ca|c|a|cb|c|b|，5m858m202 5，解得 m2.类型四 平面向量的垂直问题 10/15 1设向量 a(x，x1)，b(1,2)，且 ab，则 x_.解析：ab，ab0，即 x2(x1)0，x23.2已知向量 a(1，1)，b(6，4)若 a(tab)，则实数 t 的值为_ 解析：a(1，1)，b(6，4)，tab(t6，t4)又 a(tab)，则 a(tab)0，即 t6t40，解得 t5.3向量 a(1,2)，b(1,1)，若 kab 与 b 互相垂直，则实数 k 的值为_ 解析：kab(k1,2k1)，b

27、(1,1)，(kab)b(k1)(1)2k1k20，k2.4设向量 a(1,0)，b(1，m)若 a(mab)，则 m_.解析：因为 a(1,0)，b(1，m)，所以 mab(m1，m)由 a(mab)，得 a(mab)0，即 m10，所以 m1.5已知向量 a(3，1)，b(0,1)，c(k，3)，若 a2b 与 c 垂直，则 k 解析：因为 a2b 与 c 垂直，所以(a2b)c0，即 ac2bc0，所以 3k 32 30，解得 k3.类型五 平面向量的投影问题 1向量 a(3,4)在向量 b(1，1)方向上的投影为_ 解析：a 在 b 上的投影为ab|b|1222.2已知向量 a(2，m

28、)，b(1,2)，若向量 a 在向量 b 方向上的投影为 2，则实数 m 解析：由题意可得 ab22m，且|b|1222 5，则向量 a 在向量 b 方向上的投影为ab|b|22m52，解得 m 51.3已知点 A(0,1)，B(2,3)，C(1，2)，D(1,5)，则向量AC在BD方向上的投影为 解析：AC(1,1)，BD(3,2)，AC在BD方向上的投影为|AC|cosAC，BDACBD|BD|131232221131313.4已知 a(1，)，b(2,1)，若向量 2ab 与 c(8,6)共线，则 a 在 b 方向上的投影为_ 解析：2ab(4,21)，2ab 与 c(8,6)共线，21

29、3，即 1.ab23，a 在 b 方向上的投影为|a|cosa，bab|b|353 55 5已知向量 a(1,2)，b(2，2)(1)设 c4ab，求(bc)a；(2)若 ab 与 a 垂直，求 的值；(3)求向量 a 在 b 方向上的投影 解析：(1)a(1,2)，b(2，2)，c4ab(4,8)(2，2)(6,6)bc26260，(bc)a0a0.11/15 (2)ab(1,2)(2，2)(21,22)，由于 ab 与 a 垂直，212(22)0，52.的值为52.(3)设向量 a 与 b 的夹角为，向量 a 在 b 方向上的投影为|a|cos.|a|cos ab|b|1222222222

30、 222.题型四 平面向量数量积的应用问题 类型一 平面向量模的最值或范围问题 1已知向量 a，b，c 满足|a|b|ab2，(ac)(b2c)0，则|bc|的最小值为()A.7 32 B.312 C.32 D72 解析：由|a|b|ab2，知 a，b 的夹角为3，可设 a(2,0)，b(1，3)，c(x，y)，(ac)(b2c)0，(2x，y)(12x，32y)0，即 2x22y25x 3y20.方程 2x22y25x 3y20 表示圆心为54，34，半径为32的圆，|bc|x12y 32表示圆 2x22y25x 3y20 上的点到点(1，3)的距离，所以|bc|的最小值为 541234 3

31、2327 32.2已知 a，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量 c 满足(ac)(bc)0，则|c|的最大值是()A1 B.2 C.2 D22 解析：因为|a|b|1，ab0，(ac)(bc)c(ab)|c|2|c|ab|cos|c|20，其中 为 c 与 ab 的夹角，所以|c|ab|cos 2cos 2，所以|c|的最大值是 2.类型二 数量积的最值或范围问题 1如图，在直角梯形 ABCD 中，DAAB1，BC2，点 P 在阴影区域(含边界)中运动，则PABD的取值范围是()A.12，1 B.1，12 C1,1 D1,0 解析：在直角梯形 ABCD 中，DAAB1，BC2，BD 2

32、.如图所示，过点 A 作 AOBD，垂足为 O，则PAPOOA，OABD0，12/15 PABD(POOA)BDPOBD.当点 P 与点 B 重合时，PABD取得最大值，即PABDPOBD12 2 21；当点 P 与点 D 重合时，PABD取得最小值，即PABD12 2 21.PABD的取值范围是1,1 2在等腰直角ABC 中，ABC90，ABBC2，M，N(不与 A，C 重合)为 AC 边上的两个动点，且满足|MN|2，则BMBN的取值范围为()A.32，2 B.32，2 C.32，2 D32，解析：以等腰直角三角形的直角边 BC 所在直线为 x 轴，BA 所在直线为 y 轴，建立平面直角坐

33、标系如图所示，则 B(0,0)，直线 AC 的方程为 xy2.设 M(a,2a)，则 0a1，N(a1,1a)，BM(a,2a)，BN(a1,1a)，BMBNa(a1)(2a)(1a)2a22a2，0a1，当 a12时，BMBN取得最小值32，又BMBN2，故BMBN的取值范围为32，2.类型三 平面向量与其他知识的综合问题 考法 1 平面向量与几何的综合问题 1在四边形 ABCD 中，点 E，F 分别是边 AD，BC 的中点，设ADBCm，ACBDn.若 AB 2，EF1，CD 3，则()A2mn1 B.2m2n1 Cm2n1 D2n2m1 13/15 解析：由题可得，ACBD(ABBC)(

34、BAAD)AB2ABADABBCADBCAB2AB(ADBC)mAB2AB(ABBCCDBC)mABCDm.又因为点 E，F 分别是边 AD，BC 的中点，所以EFEAABBF，EFEDDCCF.两式相加得 2EFABDC，两边同时平方得 4232ABDC，所以ABDC12.则ABCD12，所以ACBD12m，所以 n12m，即 2n2m1，故选 D.考法 2 平面向量与三角函数的综合问题 1在ABC 中，设 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，向量 m(cos A，sin A)，n(2sin A，cos A)，且|mn|2.(1)求角 A 的大小；(2)若 b4 2，c 2a，求ABC 的

35、面积 解析：(1)mn(2cos Asin A，cos Asin A)，|mn|2cos Asin A2cos Asin A2 44sinA4.|mn|2，sinA40，又 0A，4A434，A40，即 A4.(2)c 2a，A4，casin Csin A 2，sin C1，又 0C，C2.ABC 为等腰直角三角形，SABC12(4 2)216.2已知向量 a(cos x，sin x)，b(3，3)，x0，(1)若 ab，求 x 的值；(2)记 f(x)ab，求 f(x)的最大值和最小值以及对应的 x 的值 解析：(1)因为 a(cos x，sin x)，b(3，3)，ab，所以 3cos x

36、3sin x.若 cos x0，则 sin x0，与 sin2 xcos2 x1 矛盾，故 cos x0.于是 tan x33.又 x0，所以 x56.(2)f(x)ab(cos x，sin x)(3，3)3cos x 3sin x2 3cosx6.因为 x0，所以 x66，76，从而1cosx632.于是，当 x66，即 x0 时，f(x)取到最大值 3；当 x6，即 x56时，f(x)取到最小值2 3.3在平面直角坐标系 xOy 中，已知向量 m22，22，n(sin x，cos x)，x0，2.(1)若 mn，求 tan x 的值；(2)若 m 与 n 的夹角为3，求 x 的值 14/1

37、5 解析：(1)因为 m22，22，n(sin x，cos x)，mn.所以 mn0，即22sin x22cos x0，所以 sin xcos x，所以 tan x1.(2)因为|m|n|1，所以 mncos312，即22sin x22cos x12，所以 sinx412，因为 0 x2，所以4x44，所以 x46，即 x512.4已知在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c 且 a，b，c 成等比数列，cos B34.(1)求1tan A1tan C的值；(2)设BABC32，求 ac 的值 解析：(1)由 cos B34，0B 得 sin B134274，a，b，c 成等比

38、数列，b2ac，由正弦定理，可得 sin2Bsin Asin C，于是1tan A1tan Ccos Asin Acos Csin Csin Ccos Acos Csin Asin Asin CsinACsin2Bsin Bsin2B1sin B4 77.(2)由BABC32得 cacos B32，而 cos B34，b2ac2，由余弦定理，得 b2a2c22accos B，a2c25，(ac)252ac9，ac3.5已知如图，ABC 中，AD 是 BC 边的中线，BAC120，且ABAC152.(1)求ABC 的面积；(2)若 AB5，求 AD 的长 解析：(1)|AB|AC|152，|AB

39、|AC|cosBAC12|AB|AC|152，即|AB|AC|15，SABC12|AB|AC|sin BAC12153215 34.15/15 (2)法一：由 AB5 得 AC3，延长 AD 到 E，使 ADDE，连接 BE.BDDC,四边形 ABEC 为平行四边形，ABE60，且 BEAC3.设 ADx，则 AE2x，在ABE 中，由余弦定理得：(2x)2AB2BE22ABBEcos ABE2591519，解得 x192，即 AD 的长为192.法二：由 AB5 得 AC3，在ABC 中，由余弦定理得 BC2AB2AC22ABAC cosBAC2591549，得 BC7.由正弦定理得BCsinBACABsin ACD，得 sin ACDABsinBACBC53275 314.0ACD90cosACD1sin2ACD1114.在ADC 中，AD2AC2CD22ACCDcosACD949423721114194，解得 AD192.法三：由 AB5 得 AC3，在ABC 中，由余弦定理得 BC2AB2AC22ABACcosBAC 2591549,得 BC7.在ABC 中，cosACBAC2BC2AB22ACBC949252371114.在ADC 中，由 AD2AC2CD22ACCDcos ACD949423721114194.解得 AD192.