专题9.4直线与圆、圆与圆的位置关系(练)(解析版)43090.pdf

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1、 专题 9.4 直线与圆、圆与圆的位置关系 1（浙江省宁波一中 2019 届期中）若圆 x2y216 和圆(xa)2y21 相切，则 a 的值为()A3 B5 C3 或5 D3 或 5【答案】C 【解析】两圆圆心距 d|a|，因为两个圆相切，所以|a|3 或|a|5，所以 a3 或5.2（湖北省武汉二中 2019 届质检）圆(x2)2y24 与圆(x2)2(y1)29 的位置关系为()A内切 B相交 C外切 D相离【答案】B 【解析】两圆的圆心分别为(2,0)，(2,1)，半径分别为 r2，R3，两圆的圆心距为222012 17，则 Rr 17Rr，所以两圆相交故选 B.3（黑龙江省鸡西一中

2、2019 届期中）已知直线 l：ykx2(kR)，圆 M：(x1)2y26，圆 N：x2(y1)29，则直线 l()A必与圆 M 相切，不可能与圆 N 相交 B必与圆 M 相交，不可能与圆 N 相切 C必与圆 M 相切，不可能与圆 N 相切 D必与圆 M 相交，不可能与圆 N 相离【答案】D 【解析】直线 l：ykx2(kR)过定点(0,2)，代入圆 M：(x1)2y26，得(01)22256，即点(0,2)在圆 M 的内部，故直线 l 必与圆 M 相交，而点(0,2)到圆 N 的圆心 N(0，1)的距离等于圆 N 的半径 3，故点(0,2)在圆 N 上，即直线 l 不可能与圆 N 相离故选

3、D.4（吉林省吉林一中 2019 届期末）已知圆 C 与直线 yx 及 xy40 都相切，圆心在直线 yx 上，则圆 C 的方程为()A(x1)2(y1)22 B(x1)2(y1)22 C(x1)2(y1)22 D(x1)2(y1)22 【答案】D 【解析】由题意知 xy0 和 xy40 之间的距离为|4|22 2，所以 r 2.又因为 yx 与 xy0，xy40 均垂直，所以由 yx 和 xy0 联立得交点坐标为(0,0)，由 yx 和 xy40 联立得交点坐标为(2，2)，所以圆心坐标为(1，1)，所以圆 C 的标准方程为(x1)2(y1)22.5（湖北省随州一中 2019 届期中）若直线

4、 l：ykx1 被圆 C：x2y22x30 截得的弦最短，则直线 l 的方程是()Ax0 By1 Cxy10 Dxy10【答案】D 【解析】依题意，直线 l：ykx1 过定点 P(0,1)圆 C：x2y22x30 化为标准方程为(x1)2y24，故圆心为 C(1,0)，半径为 r2.易知定点 P(0,1)在圆内，由圆的性质可知当 PCl 时，直线 l：ykx1 被圆 C：x2y22x30 截得的弦最短因为 kPC10011，所以直线 l 的斜率 k1，即直线 l 的方程是 xy10.6（河南省周口一中 2019 届期末）圆 C1：(x2)2(y3)21，圆 C2：(x3)2(y4)29，M，N

5、 分别是圆 C1，C2上的动点，P 为 x 轴上的动点，则|PM|PN|的最小值为()A5 24 B.171 C62 2 D.17【答案】A 【解析】设点 P 的坐标为(x,0)，圆心 C1(2,3)关于 x 轴的对称点为 C1(2，3)，则|PC1|PC2|PC1|PC2|C1C2|2323425 2.而|PM|PC1|1，|PN|PC2|3，所以|PM|PN|PC1|PC2|45 24.7（山西省忻州一中 2019 届期中）若直线 ykx 与圆 x2y24x30 相切，则 k 的值是_【答案】33【解析】因为直线 ykx 与圆 x2y24x30 相切，所以圆心(2,0)到直线的距离 d|2

6、k|k21r1，解得 k33.8（河北省石家庄二中 2019 届期末）已知圆 C1：x2y22mx4ym250 与圆 C2：x2y22x2mym230，若圆 C1与圆 C2相外切，则实数 m_.【答案】2 或5【解析】圆 C1：(xm)2(y2)29，圆 C2：(x1)2(ym)24，则 C1(m，2)，r13，C2(1，m)，r22.当圆 C1与圆 C2相外切时，显然有|C1C2|r1r2，即m12m225，整理得 m23m100，解得 m5 或 m2.9（湖南省湘潭一中 2019 届期中）直线 xy20 分别与 x 轴，y 轴交于 A，B 两点，点 P 在圆(x2)2y22 上，则ABP

7、面积的取值范围是_【答案】2,6【解析】圆(x2)2y22 的圆心为 C(2,0)，半径为 r 2，点 P 到直线 xy20 的距离为 d，且圆心 C 到直线 xy20 的距离为 2 2，可得 dmax2 2r3 2，dmin2 2r 2.由已知条件可得 AB2 2，所以ABP 面积的最大值为12ABdmax6，ABP 面积的最小值为12ABdmin2.综上，ABP 面积的取值范围是2,6 10（湖南省郴州一中 2019 届期末）已知圆 C：(x1)2(y2)210，分别求满足下列条件的圆的切线方程(1)与直线 l1：xy40 平行；(2)与直线 l2：x2y40 垂直；(3)过切点 A(4，

8、1)【解析】(1)设切线方程为 xyb0(b4)，则|12b|2 10，所以 b12 5，所以切线方程为 xy12 50.(2)设切线方程为 2xym0，则|22m|5 10，所以 m5 2，所以切线方程为 2xy5 20.(3)因为 kAC211413，所以过切点 A(4，1)的切线斜率为3，所以过切点 A(4，1)的切线方程为 y13(x4)，即 3xy110.11（江苏省南通一中 2019 届模拟）圆 x2y22x4y0 与直线 2txy22t0(tR)的位置关系为()A相离 B相切 C相交 D以上都有可能 【答案】C 【解析】直线 2txy22t0 恒过点(1，2)，12(2)2214

9、(2)50，点(1，2)在圆 x2y22x4y0 内部，直线 2txy22t0 与圆 x2y22x4y0 相交 12（河南八市2019届质检）过点(3,1)作圆(x1)2y2r2的切线有且只有一条，则该切线的方程为()A2xy50 B.2xy70 Cx2y50 Dx2y70【答案】B 【解析】由题意，过点(3,1)作圆(x1)2y2r2的切线有且只有一条，则点(3,1)在圆上，代入可得 r25，圆的方程为(x1)2y25，则过点(3,1)的切线方程为(x1)(31)y(10)5，即 2xy70.13（浙江省衢州一中 2019 届模拟）已知过原点的直线 l 与圆 C：x2y26x50 相交于不同

10、的两点 A，B，且线段 AB 的中点坐标为 D(2，2)，则弦长为()A2 B.3 C4 D5【答案】A 【解析】将圆 C：x2y26x50，整理，得其标准方程为(x3)2y24，圆 C 的圆心坐标为(3,0)，半径为 2.线段 AB 的中点坐标为 D(2，2)，|CD|12 3，|AB|2 432.故选 A.14（安徽省合肥一中 2019 届模拟）已知圆 O1的方程为 x2(y1)26，圆 O2的圆心坐标为(2,1)若两圆相交于 A，B 两点，且|AB|4，则圆 O2的方程为()A(x2)2(y1)26 B(x2)2(y1)222 C(x2)2(y1)26 或(x2)2(y1)222 D(x

11、2)2(y1)236 或(x2)2(y1)232【答案】C 【解析】设圆 O2的方程为(x2)2(y1)2r2(r0)因为圆 O1的方程为 x2(y1)26，所以直线AB 的方程为 4x4yr2100.圆心 O1到直线 AB 的距离 d|r214|4 2，由 d2226，得r2142322，所以 r2148，r26 或 22.故圆 O2的方程为(x2)2(y1)26 或(x2)2(y1)222.15（福建省三明一中 2019 届模拟）已知圆 C：(x3)2(y4)21 和两点 A(m,0)，B(m,0)(m0)若 圆 C 上存在点 P，使得APB90，则 m 的最大值为()A7 B6 C5 D

12、4【答案】B 【解析】根据题意，画出示意图，如图所示，则圆心 C 的坐标为(3,4)，半径 r1，且|AB|2m，因为APB90，连接 OP，易知|OP|12|AB|m.要求 m 的最大值，即求圆 C 上的点 P 到原点 O 的最大距离 因为|OC|32425，所以|OP|max|OC|r6，即 m 的最大值为 6.16（广东省韶关一中 2019 届模拟）设圆 C1，C2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离|C1C2|等于()A4 B.4 2 C8 D8 2【答案】C 【解析】因为圆 C1，C2和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，所以两圆都在第一象限内，设圆心坐标为(a，a)，

13、则|a|a42a12，解得 a52 2或 a52 2，可取 C1(52 2，52 2)，C2(52 2，52 2)，故|C1C2|4 224 228，故选 C.17（广东省惠州一中 2019 届模拟）已知圆 C：(x 3)2(y1)21 和两点 A(t,0)，B(t,0)(t0)，若圆 C 上存在点 P，使得APB90，则实数 t 的最小值为()A4 B.3 C2 D1 【答案】D 【解析】由APB90得，点 P 在圆 x2y2t2上，因此由两圆有交点得|t1|OC|t1|t1|2t11t3，即 t 的最小值为 1.18（山东省菏泽一中 2019 届模拟）已知ABC 的三个顶点的坐标分别为 A

14、(2,3)，B(2，1)，C(6，1)，以原点为圆心的圆与此三角形有唯一的公共点，则圆的方程为()Ax2y21 B.x2y24 Cx2y2165 Dx2y21 或 x2y237【答案】D 【解析】如图所示，A(2,3)，B(2，1)，C(6，1)过 A，C 的直线方程为y131x626，化为一般式为 x2y40.点 O 到直线 x2y40 的距离 d|4|54 551，又|OA|2232 13，|OB|2212 5，|OC|6212 37.以原点为圆心的圆若与ABC 有唯一的公共点，则公共点为(0，1)或(6，1)，圆的半径分别为1 或 37，则圆的方程为 x2y21 或 x2y237.19（

15、广东省揭阳一中 2019 届模拟）已知圆 H 被直线 xy10，xy30 分成面积相等的四部分，且截 x 轴所得线段的长为 2.(1)求圆 H 的方程；(2)若存在过点 P(a,0)的直线与圆 H 相交于 M，N 两点，且|PM|MN|，求实数 a 的取值范围 解：(1)设圆 H 的方程为(xm)2(yn)2r2(r0)，因为圆 H 被直线 xy10，xy30 分成面积相等的四部分，所以圆心 H(m，n)一定是两互相垂直的直线 xy10，xy30 的交点，易得交点坐标为(2,1)，所以 m2，n1.又圆 H 截 x 轴所得线段的长为 2，所以 r212n22.所以圆 H 的方程为(x2)2(y

16、1)22.(2)设 N(x0，y0)，由题意易知点 M 是 PN 的中点，所以 Mx0a2，y02.因为 M，N 两点均在圆 H 上，所以(x02)2(y01)22，x0a222y02122，即(x0a4)2(y02)28，设圆 I：(xa4)2(y2)28，由知圆 H 与圆 I 有公共点，从而 2 2 2|HI|2 2 2，即 2a221223 2，整理可得 2a24a518，解得 2 17a1 或 3a2 17，所以实数 a 的取值范围是2 17，13,2 17 20（四川省遂宁一中 2019 届模拟）已知圆 C 经过点 A74，174，B318，338，直线 x0 平分圆 C，直线 l

17、与圆 C 相切，与圆 C1：x2y21 相交于 P，Q 两点，且满足 OPOQ.(1)求圆 C 的方程；(2)求直线 l 的方程 解：(1)依题意知圆心 C 在 y 轴上，可设圆心 C 的坐标为(0，b)，圆 C 的方程为 x2(yb)2r2(r0)因为圆 C 经过 A，B 两点，所以742174b23182338b2，即71628916172bb231641 08964334bb2，解得 b4.则 r27421744212，所以圆 C 的方程为 x2(y4)212.(2)当直线 l 的斜率不存在时，由 l 与 C 相切得 l 的方程为 x22，此时直线 l 与 C1交于 P，Q 两点，不妨设

18、 P 点在 Q 点的上方，则 P22，22，Q22，22或 P22，22，Q22，22，则OP OQ0，所以 OPOQ，满足题意 当直线 l 的斜率存在时，易知其斜率不为 0，设直线 l 的方程为 ykxm(k0，m0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，将直线 l 的方程与圆 C1的方程联立，得 ykxm，x2y21，消去 y，整理得(1k2)x22kmxm210，则 4k2m24(1k2)(m21)4(k2m21)0，即 1k2m2，则 x1x22km1k2，x1x2m211k2，所以 y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2km(x1x2)m2k2m211k22k2m21k2m2m

19、2k21k2，又 OPOQ，所以 OP OQ0，即 x1x2y1y2m211k2m2k21k20，故 2m21k2，满足 0，符合题意 因为直线 l：ykxm 与圆 C：x2(y4)212相切，所以圆心 C(0,4)到直线 l 的距离 d|m4|1k222，即 m28m161k22，故 m28m16m2，得 m2，故 1k28，得 k 7.故直线 l 的方程为 y 7x2.综上，直线 l 的方程为 x22或 y 7x2.1.(2018全国卷)直线 xy20 分别与 x 轴，y 轴交于 A，B 两点，点 P 在圆(x2)2y22 上，则ABP 面积的取值范围是()A2,6 B4,8 C 2,3

20、2 D2 2，3 2【答案】A 【解析】圆心(2,0)到直线的距离 d|202|22 2，所以点 P 到直线的距离 d1 2，3 2根据直线的方程可知 A，B 两点的坐标分别为 A(2,0)，B(0，2)，所以 AB2 2，所以ABP 的面积 S12|AB|d1 2d1.因为 d1 2，3 2，所以 S2,6，即ABP 面积的取值范围是2,6 2(2018全国卷)直线 xy20 分别与 x 轴，y 轴交于 A，B 两点，点 P 在圆(x2)2y22 上，则ABP 面积的取值范围是()A2,6 B.4,8 C 2，3 2 D2 2，3 2【答案】A 【解析】设圆(x2)2y22 的圆心为 C，半

21、径为 r，点 P 到直线 xy20 的距离为 d，则圆心C(2,0)，r 2，所以圆心 C 到直线 xy20 的距离为|22|22 2，可得 dmax2 2r3 2，dmin2 2r 2.由已知条件可得|AB|2 2，所以ABP 面积的最大值为12|AB|dmax6，ABP 面积的最小值为12|AB|dmin2.综上，ABP 面积的取值范围是2,6 3(2018北京卷)在平面直角坐标系中，记 d 为点 P(cos，sin)到直线 xmy20 的距离当，m变化时，d 的最大值为()A1 B2 C3 D4【答案】C【解析】解法一：由点到直线的距离公式得 d|cosmsin2|1m2，cosmsin

22、 1m211m2cosm1m2sin，令 sin11m2，cosm1m2，cosmsin 1m2sin()，d|1m22|1m21m221m2121m2，当 m0 时，dmax3，故选 C 解法二：cos2sin21，P 点的轨迹是以原点为圆心的单位圆，又 xmy20 表示过点(2,0)且斜率不为 0 的直线，如图，可得点(1,0)到直线 x2 的距离即为 d 的最大值故选 C 4(2017全国卷)若双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)的一条渐近线被圆(x2)2y24 所截得的弦长为 2，则 C 的离心率为()A2 B 3 C 2 D2 33【答案】A【解析】由题意可知圆的圆心为(2,

23、0)，半径为 2.因为双曲线x2a2y2b21 的渐近线方程为 ybax，即 bxay0，且双曲线的一条渐近线与圆相交所得的弦长为 2，所以|2b|b2a2 2212，所以ba 3.故离心率 e 1b2a2 132.故选 A 5.(2016山东卷)已知圆 M：x2y22ay0(a0)截直线 xy0 所得线段的长度是 2 2，则圆 M 与圆N：(x1)2(y1)21 的位置关系是()A内切 B相交 C外切 D相离【答案】B【解析】法一：由 x2y22ay0，xy0，得两交点为(0,0)，(a，a)圆 M 截直线所得线段长度为 2 2，a2a22 2.又 a0，a2.圆 M 的方程为 x2y24y

24、0，即 x2(y2)24，圆心 M(0,2)，半径 r12.又圆 N：(x1)2(y1)21，圆心 N(1,1)，半径 r21，|MN|012212 2.r1r21，r1r23,1|MN|3，两圆相交 法二：由题知圆 M：x2(ya)2a2(a0)，圆心(0，a)到直线 xy0 的距离 da2，所以 2a2a222 2，解得 a2，圆 M，圆 N 的圆心距|MN|2，两圆半径之差为 1，故两圆相交 6.(2018全国卷)直线 yx1 与圆 x2y22y30 交于 A，B 两点，则|AB|_.【答案】2 2【解析】由 x2y22y30 得 x2(y1)24.所以圆心 C(0，1)，半径 r2.圆

25、心 C(0，1)到直线 xy10 的距离 d|11|2 2，所以|AB|2 r2d22 422 2.7.(2017全国卷)在直角坐标系 xOy 中，曲线 yx2mx2 与 x 轴交于 A，B 两点，点 C 的坐标为(0,1)，当 m 变化时，解答下列问题：(1)能否出现 ACBC 的情况？说明理由；(2)证明过 A，B，C 三点的圆在 y 轴上截得的弦长为定值【解析】(1)不能出现 ACBC 的情况，理由如下：设 A(x1,0)，B(x2,0)，则 x1，x2满足 x2mx20，所以 x1x22.又 C 的坐标为(0,1)，故 AC 的斜率与 BC 的斜率之积为1x11x212，所以不能出现

26、ACBC 的情况 (2)证明：BC 的中点坐标为x22，12，可得 BC 的中垂线方程为 y12x2xx22.由(1)可得 x1x2m，所以 AB 的中垂线方程为 xm2.联立 xm2，y12x2xx22，又 x22mx220，可得 xm2，y12.所以过 A，B，C 三点的圆的圆心坐标为m2，12，半径 rm292.故过 A，B，C 三点的圆在 y 轴上截得的弦长为 2r2m223，即过 A，B，C 三点的圆在 y 轴上截得的弦长为定值 8(2016全国卷)已知直线 l：mxy3m 30 与圆 x2y212 交于 A，B 两点，过 A，B 分别作l 的垂线与 x 轴交于 C，D 两点若|AB|2 3，则|CD|4_.【解析】由题意可知直线 l 过定点(3,3)，该定点在圆 x2y212 上，不妨设点 A(3,3)，由于|AB|2 3，r2 3，所以圆心到直线 AB 的距离为 d 2 32323，又由点到直线的距离公式可得 d|3m 3|m213，解得 m33，所以直线 l 的斜率 km33，即直线 l 的倾斜角为 30.如图，过点 C 作 CHBD，垂足为点 H，所以|CH|2 3.在 RtCHD 中，HCD30，所以|CD|2 3cos304.