2013中考数学压轴题菱形问题精选解析(三)1658.pdf

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1、 1 2013 中考数学压轴题菱形问题精选解析(三)例 5 已知菱形ABCD中，BD为对角线，P、Q两点分别在AB、BD上，且满足PCQABD （1）如图1，当BAD90 时，求证：2DQBPCD；（2）如图2，当BAD120 时，试探究线段DQ、BP、CD之间的数量关系，并证明你的结论；（3）如图3，在（2）的条件下，延长CQ交AD边于点E，交BA延长线于点M，作DCE的平分线交AD边于点F若 CQ PM 5 7 ，EF 35 24 ，求线段BP的长 解析：（1）证明：连接AC 在菱形ABCD中，BAD90 四边形ABCD为正方形，PACQDC45 PCQABD，PCQ45 ACP45ACQ

2、，又DCQ45ACQ ACPDCQ，APCDQC AP DQ AC DC 2，AP 2DQ APBPABCD，2DQBPCD（2）3DQBP2CD 证明：连接AC，在DQ上取一点M，连接CM，使MCDMDC30 则 QMCPAC60 过点M作MGCD于G，则CG 1 2 CD，CG 3 2 CM CD 3CM 3DM ACPACBBCP60BCP MCQMCBPCQBCP60BCP ACPMCQ，APCMQC AP MQ AC MC CD MC 3，MQ 3 3 AP MQDQDMDQ 3 3 CD，APCDBP 3 3(CDBP)DQ 3 3 CD 3DQBP2CD（3）解：在菱形ABCD中

3、，ABDBDC30 PCQABD30，PCQQDC A B C D P Q 图 1 B P Q A D C 图 2 A B C D P Q E F M 图 3 A B C D P Q A B C D P Q M G 2 BMCD，PMCQCD CQD MPC，CQ MP CD MC 5 7 ，BC MC 5 7 设BC5k，则MC7k，过点C作CHAB于H 则BH 1 2 BC 5 2 k，CH 3 2 BC 5 2 3k，MH MC 2CH 2 11 2 k BMBHMH8k，AMBMAB3k AMCD，AM CD AE DE AE ADAE 3k 5k AE 5kAE ，AE 15 8 k

4、 延长CF、BM交于点G，则DCFG FC平分ECD，MCGDCF MCGG，MGMC7k，AGAMMG10k AGCD，AG CD AF DF AF ADAF 10k 5k AF 5kAF ，AF 10 3 k EFAFAE 35 24 k 35 24 ，k1，CD5 过点C作CNBD于N，则DN 3 2 CD 5 2 3 BD2DN5 3 DEBC，DE BC DQ BQ DQ BDDQ 5 15 8 5 DQ 5 3DQ ，DQ 25 13 3 BP2CD3DQ 55 13 例 6 如图，菱形ABCD 的边长为6cm，DAB=60度，点M 是边AD 上一点，且DM=2cm，点 E,F 分

5、别从A，C 两点同时出发，以 1cm/s 的速度分别沿AB,CB 向点B 运动，EM,CD的延长线相交于G，GF 交 AD 于 O，设运动时间为x（s），三角形CGF 的面积为y（cm）解析：A B C D P Q E F M H G N 3（1）DCAB，DMGAME，DG:AE=DM:AM，AE=AN*DG/DM，即当x=4s 时，GD 的长度是2cm （2）DMGAME，DG/AE=DM/A M，DG=DM*AE/AM=2x/4=x/2，GC=6+x/2，过 F 作 FHDC 于 H 点，FH=CFsin60=3/2 x，y=1/2 GCFH，=1/2（6+x/2)*3/2 x （3）设运动x（s）时，GF 分菱形上、下两部分的面积比为1：5，此时OGDFGC，DG:GC=OD:FC，CD=GD*FC/GC=x/x+12，过 D 作 DPBC 于 P，则PD=6sin60=33，即 x/x+12+x=2，解得：x1=（73-5/2）x2=-(73-5）/2（舍去），经检验：(73-5)/2 是原方程的解 当 时：(73-5)/2，GF 分菱形上、下两部分的面积比为1：5