2017_18版高中数学第一章计数原理5.2二项式系数的性质学案北师大版选修15064.pdf

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1、 5.2 二项式系数的性质 学习目标 1.了解杨辉三角，会用杨辉三角求二项式乘方次数不大时的各项的二项式系数.2.理解二项式系数的性质并灵活运用 知识点 二项式系数的性质(ab)n的展开式的二项式系数，当n取正整数时可以表示成如下形式：思考 1 同一行中，系数有什么规律？思考 2 相邻两行，系数有什么规律？梳理“杨辉三角”蕴含的规律(1)在同一行中，每行两端都是 1.(2)在相邻的两行中，除 1 以外的每一个数都等于它“肩上”两数的和即二项式系数满足组合数的性质 Crn1Cr1nCrn.(3)与首末两端“_”的两个二项式系数相等，即二项式系数具有对称性，即 Crn_.特别提醒：1二项式系数性质

2、类似于组合数的两个性质(1)CrnCnrn.(2)Crn1Cr1nCrn.2从二项式系数表中可以看出(ab)n的展开式中二项式系数先增加，后减少，各二项式系数的和等于 2n，即 C0nC1nC2nCnn2n.类型一 与杨辉三角有关的问题 例 1 如图所示，在“杨辉三角”中，从 1 开始箭头所指的数组成一个锯齿形数列：1,2,3,3,6,4,10,5，记其前n项和为Sn，求S16的值 引申探究 本例条件不变，若改为求S21，则结果如何？反思与感悟 解决与杨辉三角有关的问题的一般思路 跟踪训练 1 如图所示，在由二项式系数所构成的杨辉三角中，第_行中从左至右的第 14 个数与第 15 个数的比为

3、23.类型二 求展开式的系数和 例 2 设(2 3x)100a0a1xa2x2a100 x100，求下列各式的值(1)a0；(2)a1a2a3a4a100；(3)a1a3a5a99；(4)(a0a2a100)2(a1a3a99)2；(5)|a0|a1|a100|.反思与感悟 二项展开式中系数和的求法(1)对形如(axb)n，(ax2bxc)m(a，b，cR，m，nN)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x1 即可；对(axby)n(a，bR，nN)的式子求其展开式各项系数之和，只需令xy1 即可(2)一般地，若f(x)a0a1xa2x2anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f

4、(1)，奇数项系数之和为a0a2a4f1f12，偶数项系数之和为a1a3a5f1f12.跟踪训练 2 在二项式(2x3y)9的展开式中，求：(1)二项式系数之和；(2)各项系数之和；(3)所有奇数项系数之和 类型三 二项式系数性质的应用 例 3 已知f(x)(3x23x2)n展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大 992.(1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式中系数最大的项 反思与感悟(1)二项式系数的最大项的求法 求二项式系数的最大项，根据二项式系数的性质对(ab)n中的n进行讨论 当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大 当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大(2)展开式中系

5、数的最大项的求法 求展开式中系数的最大项与求二项式系数最大项是不同的，需要根据各项系数的正、负变化情况进行分析如求(abx)n(a，bR)的展开式中系数的最大项，一般采用待定系数法设展开式中各项系数分别为A0，A1，A2，An，且第r1 项最大，应用 ArAr1，ArAr1，解出r，即得出系数的最大项 跟踪训练3 已知(x21x)n展开式中的二项式系数的和比(3a2b)7展开式的二项式系数的和大 128，求(x21x)n展开式中的系数最大的项和系数最小的项 1(12x)10的展开式中各项系数的和为()A310 B210 C1 D1 2在(1x)n(nN)的二项展开式中，若只有x5的系数最大，则

6、n等于()A8 B9 C10 D11 3观察图中的数所成的规律，则a所表示的数是()A8 B6 C4 D2 4设(2x3)4a0a1xa2x2a3x3a4x4，则a0a1a2a3的值为_ 5已知(1x)8的展开式，求：(1)二项式系数最大的项；(2)系数最小的项 1二项式系数的性质可从杨辉三角中直观地看出 2求展开式中的系数或展开式中的系数的和、差的关键是给字母赋值，赋值的选择则需根 据所求的展开式系数和特征来确定一般地对字母赋的值为 0、1 或1，但在解决具体问题时要灵活掌握 3注意以下两点：(1)区分开二项式系数与项的系数(2)求解有关系数最大时的不等式组时，注意其中r0,1,2，n 答案

7、精析 问题导学 知识点 思考 1 两端都是 1，与两端 1 等距离的项的系数相等 思考 2 在相邻两行中，除 1 以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和，即 Crn1Cr1nCrn.梳理(3)等距离 Cnrn 题型探究 例 1 解 由题意及杨辉三角的特点可得 S16(12)(33)(64)(105)(369)(C22C12)(C23C13)(C24C14)(C29C19)(C22C23C24C29)(239)C3108292164.引申探究 解 S21(12)(33)(64)(5511)66(C22C12)(C23C13)(C24C14)(C211C111)C212(C22C23C24C21

8、2)(2311)C31321110228665351.跟踪训练 1 34 例 2 解(1)令x0，则展开式为a02100.(2)令x1，可得a0a1a2a100(2 3)100，a1a2a100(2 3)1002100.(3)令x1，可得 a0a1a2a3a100(2 3)100.与联立相减得 a1a3a99 2 31002 31002.(4)原式(a0a2a100)(a1a3a99)(a0a2a100)(a1a3a99)(a0a1a2a100)(a0a1a2a3a98a99a100)(2 3)(2 3)10011001.(5)Tr1(1)rCr1002100r(3)rxr，a2k10(kN)

9、|a0|a1|a2|a100|a0a1a2a3a100(2 3)100.跟踪训练 2 解 设(2x3y)9a0 x9a1x8ya2x7y2a9y9.(1)二项式系数之和为 C09C19C29C9929.(2)各项系数之和为a0a1a2a9，令x1，y1，所以a0a1a2a9(23)91.(3)令x1，y1，可得 a0a1a2a959，又a0a1a2a91，将两式相加可得a0a2a4a6a85912，即所有奇数项系数之和为5912.例 3 解 令x1，则二项式各项系数的和为f(1)(13)n4n，又展开式中各项的二项式系数之和为 2n.由题意知，4n2n992.(2n)22n9920，(2n31

10、)(2n32)0，2n31(舍去)，或 2n32，n5.(1)由于n5 为奇数，展开式中二项式系数最大的项为中间的项，它们分别为T3C25(23x)3(3x2)290 x6，T4C35(23x)2(3x2)3270223x.(2)展开式的通项公式为Tr1Cr53r2(5 2)3rx 假设Tr1项系数最大，则有 Cr53rCr153r1，Cr53rCr153r1，5！5r！r！35！6r！r1！，5！5r！r！5！4r！r1！3，即 3r16r，15r3r1，72r92，rN，r4，展开式中系数最大的项为 T5C4523x(3x2)4405263x.跟踪训练 3 解 2n27128，n8，(x21x)8的通项Tr1Cr8(x2)8r(1x)r(1)rCr8x163r.当r4 时，展开式中的系数最大，即T570 x4为展开式中的系数最大的项；当r3 或 5 时，展开式中的系数最小，即T456x7，T656x为展开式中的系数最小的项 当堂训练 1A 2.C 3.B 4.15 5解(1)因为(1x)8的幂指数 8 是偶数，所以由二项式系数的性质知，中间一项(即第 5项)的二项式系数最大，该项为T5C48(x)470 x4.(2)二项展开式系数的最小值应在各负项中确定 由题意知第 4 项和第 6 项系数相等且最小，分别为 T4C38(x)356x3，T6C58(x)556x5.