2023年新高考数学大一轮复习专题23数列的基本知识与概念(解析版)43530.pdf

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1、 专题 23 数列的基本知识与概念 【考点预测】1数列的概念（1）数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项（2）数列与函数的关系：从函数观点看，数列可以看成以正整数集N（或它的有限子集12n，）为定义域的函数()naf n当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值 （3）数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和通项公式法 2数列的分类（1）按照项数有限和无限分：（2）按单调性来分：111()nnnnnnaaaaaaC递增数列：递减数列：，常数列：常数摆动数列 3数列的两种常用的表示方法（1）通项公式：如果数列na的第n项与序号n之间的关系可

2、以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式 （2）递推公式：如果已知数列na的第 1 项（或前几项），且从第二项（或某一项）开始的任一项与它的前一项（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式【方法技巧与总结】（1）若数列na的前n项和为nS，通项公式为na，则1112nnnSnaSSnnN，注意：根据nS求na时，不要忽视对1n 的验证（2）在数列na中，若na最大，则11nnnnaaaa，若na最小，则11.nnnnaaaa 【题型归纳目录】题型一：数列的周期性 题型二：数列的单调性 题型三：数列的最大（小）项 题型四：数列中的规律问题 题型五

3、：数列的最值问题 【典例例题】题型一：数列的周期性 例 1已知无穷数列 na满足21Nnnnaaax，且11a，2axxZ，若数列 na的前 2020 项中有 100 项是 0，则下列哪个不能是x的取值（）A1147 B1148 C1142 D1143【答案】B【分析】当0 x 时，分别令1,2,3,x，可求出数列 na的前 2020 项中 0 的个数，进而得出规律，可求出满足题意的x的取值；当0 x 时，分别令1,2,3,x ，可求出数列 na的前 2020 项中 0 的个数，进而得出规律，可求出满足题意的x的取值【详解】当0 x 时，若0 x，则数列 na的各项为1,0,1,1,0,1,1

4、,0,1,，此时数列 na为周期数列，周期为 3，由20203 673 1，可知数列 na的前 2020 项中有 673 项为 0；若1x，则数列 na的各项为1,1,0,1,1,0,1,1,0,，此时数列 na为周期数列，周期为 3，由20203 673 1，可知数列 na的前 2020 项中有 673 项为 0；若2x，则数列 na的各项为1,2,1,1,0,1,1,0,1,1,0,，此时数列 na从第 3 项开始为周期数列，周期为 3，由20202201823 6722，可知数列 na的前 2020 项中有 672 项为 0；若3x，则数列 na的各项为1,3,2,1,1,0,1,1,0

5、,1,1,0,，此时数列 na从第 4 项开始为周期数列，周期为 3，由2020320173 3 672 1 ，可知数列 na的前 2020 项中有 672 项为 0；若4x，则数列 na的各项为1,4,3,1,2,1,1,0,1,1,0,1,1,0,，此时数列 na从第 6 项开始为周期数列，周期为 3，由2020520155 3 6712 ，可知数列 na的前 2020 项中有 671 项为 0；依次类推，可知当2 673 1001146x，或1147x 时，数列 na的前 2020 项中有 100 项是 0；当0 x 时，若1x，则数列 na的各项为1,1,2,3,1,2,1,1,0,1

6、,1,0,1,1,0,，此时数列 na从第 7 项开始为周期数列，周期为 3，由20206201463 671 1，可知数列 na的前 2020 项中有 671 项为 0；若2x，则数列 na的各项为1,2,3,5,2,3,1,2,1,1,0,1,1,0,1,1,0,，此时数列 na从第 9 项开始为周期数列，周期为 3，由2020820128 3 6702 ，可知数列 na的前 2020 项中有 670 项为 0；若3x ，则数列 na的各项为1,3,4,7,3,4,1,3,2,1,1,0,1,1,0,1,1,0,，此时数列 na从第 10 项开始为周期数列，周期为 3，由202092011

7、93 670 1，可知数列 na的前 2020 项中有 670 项为 0；若4x，则数列 na的各项为1,4,5,9,4,5,1,4,3,1,2,1,1,0,1,1,0,1,1,0,，此时数列 na从第 12 项开始为周期数列，周期为 3，由202011 200911 3 6692，可知数列 na的前 2020 项中有 669 项为 0；依次类推，可知当2 671 1001142x ，或1143x 时，数列 na的前 2020 项中有 100 项是 0 综上所述，若数列 na的前 2020 项中有 100 项是 0，则x可取的值有1146,1147,1142,1143 故选：B【点睛】本题考查

8、无穷数列，解题的关键是通过条件21Nnnnaaax探究数列 na的性质，利用赋值法分别令1,2,3,x 和1,2,3,x ，可分别求出数列 na的前 2020 项中 0 的个数，进而得出规律考查学生的推理能力与计算求解能力，属于难题 例 2若 x表示不超过x的最大整数（如2.52，44，2.53），已知2107nna，11ba，*110,2nnnbaannN，则2019b（）A2 B5 C7 D8【答案】B【分析】求出1b，2b，3b，4b，5b，6b，判断出 nb是一个以周期为 6 的周期数列，求出即可【详解】解：2107nna*111(102)nnnbabaannN，112027ab，22

9、00287a，2281028b，同理可得：332855ab，；4428577ab，；55285711ab，662857144ab，；72857142a，72b，6nnbb 故 nb是一个以周期为 6 的周期数列，则20196 336 335bbb 故选：B【点睛】本题考查周期数列的判断和取整函数的应用 例 3数列 na满足12a，111nnnaaa，其前n项积为nT，则10T等于（）A16 B16 C6 D6【答案】D【分析】依次代入1,2,3,4n 可得 na是以4为周期的周期数列，由1231nnnna aaa可推导得到结果【详解】当1n 时，121131aaa；当2n 时，2321112a

10、aa；当3n 时，3431113aaa；当4n 时，454121aaa；，数列 na是以4为周期的周期数列，1231123123nnnna aaanN ，10891012236TT a aa a 故选：D 例 4若数列 na满足1222aa，且21nnnaaa，则 na的前 100 项和为（）A67 B68 C134 D167【答案】B【分析】由题意得122,1aa，根据21nnnaaa，列举数列的项，得到数列从第 2 项起，3 项一个循环求解【详解】因为1222aa，所以122,1aa，因为21nnnaaa，所以数列的项依次为 2，1，1，0，1，1，0，所以从第 2 项起，3 项一个循环，

11、所以 na的前 100 项的和为233(110)68，故选：B 例 5数列na满足112,0,2121,1,2nnnnnaaaaa若125a，则2021a等于（）A15 B25 C35 D45【答案】B【分析】根据数列定义求出数列的前几项后得出数列是周期数列，从而求值【详解】因为12152a，所以23454312,5555aaaa，所以数列具有周期性，周期为 4，所以2021125aa 故选：B【点睛】本题考查数列的周期性，此类问题的解法是由定义求出数列的前几项，然后归纳出周期性 例6 已知数列 na满足，111122,32nnnnnaaaaa*(,1)nNn，若1(2,3)a 且记数列 na

12、的前n项和为nS，若2019mS，则2019S的值为（）A60572 B3028 C60552 D3029【答案】C【分析】根据递推公式可逐个代入计算，得出数列 na的周期为 4，再根据2019mS与前两项的范围可求得52a，再分组求和求解2019S即可【详解】设1(23)aaa，由11112232nnnnnaaaaa，*(,1)nNn，得22(0,1)aa，3235(2,3)aaa，435423(0,1),3(2,3)aaaaaa 故数列 na的周期为 4，即可得41234,6nnaa aaaa 12336632019mmSaaa，又1(23)aaa，22(0,1)aa(2)3aa，即52a

13、 12311201950443,32aaaa，2019116059504622S 故选：C【点睛】本题考查数列分组求和、分类讨论方法，考查推理能力与计算能力，考查逻辑推理与数学运算核心素养属于中档题 例 7（2022广东汕头三模）已知数列 na中，114a ，当1n时，111nnaa，则2022a（）A14 B45 C5 D45【答案】B【解析】由题意得：2341231141115,1,154aaaaaa ，则数列 na的周期为 3，则2022674 3345aaa 故选：B 例 8（2022河北沧县中学高三阶段练习）已知数列 na中，1112nnnaaan，12a，则10a等于（）A12 B

14、12 C-1 D2【答案】D【解析】解：12a，1112nnnaaan，1112nnana，211122a ，31 21a ，4112a ，511122a ，数列 na是以 3 为周期的周期数列，103 3 1 ，101aa，故选：D 题型二：数列的单调性 例 9（2022四川达州二模（理）已知单调递增数列 na满足9,102121,109nnmnamnn，则实数m的取值范围是（）A12,B1,12 C1,9 D9,【答案】B【解析】na为单调递增数列，10912109mmaa，即12109219219mmmm ，解得：112m，即实数m的取值范围为1,12 故选：B 例 10（2022河南温

15、县第一高级中学高三阶段练习（文）已知函数 633,7,7xa xxf xax，若数列 na满足*naf nnN且 na是递增数列，则实数a的取值范围是（）A9,34 B9,34 C2,3 D2,3【答案】C【解析】因为数列 na是单调递增数列，则函数 6xf xa在7,上为增函数，可得1a，函数 33f xa x在1,7上为增函数，可得30a，可得3a，且有78aa，即8 67 33187aaa，即27180aa，解得9a 或2a 综上所述，23a 故选：C 例 11（2022浙江高三专题练习）已知数列na的首项为11a，2aa，且121(2,)nnaannnN，若数列na单调递增，则a的取值

16、范围为（）A12a B23a C3522a D1322a【答案】C【解析】当2,nnN时，121(1)nnaan，因此有2123(2)nnaan，(2)(1)得：22nnaa，说明该数列从第 2 项起，偶数项和奇数项都成等差数列，且它们的公差都是 2，由121nnaan可得：345,2aa aa，因为数列na单调递增，所以有1234aaaa，即152aaa，解得：3522a，故选：C 例 12（2022全国高三专题练习）已知等比数列 na前n项和nS满足113nnSA（AR），数列 nb是递增的，且2nbAnBn，则实数B的取值范围为（）A2,3 B1,C1,D1,3【答案】C【解析】解：因为

17、等比数列 na前n项和nS满足113nnSA（AR），所以1119aSA，221(127)(19)18aSSAAA，332(181)(127)54aSSAAA，因为等比数列 na中2213aa a，所以2(18)(19)(54)AAA，解得13A或0A（舍去），所以213nbnBn，因为数列 nb是递增的，所以22111(1)(1)033nnbbnB nnBn，所以2133Bn，因为*nN，所以1B ，故选：C 例 13（2022全国高三专题练习（理）已知数列 na满足712,83,8nna nnananN，若对于任意nN都有1nnaa，则实数a的取值范围是（）A10,3 B10,2 C1,1

18、2 D1 1,3 2【答案】C【解析】由条件可得011031923aaaa，解出即可【详解】因为对于任意nN都有1nnaa，所以011031923aaaa，解得112a 故选：C 例 14（2022全国高三专题练习）设数列na的通项公式为2nanbn，若数列na是单调递增数列，则实数b的取值范围为（）A(2,)B 2,)C(3,)D(,3)【答案】C【解析】由数列na是单调递增数列，可得10nnaa，从而有21bn 恒成立，由n+N，可求得b的取值范围【详解】由数列na是单调递增数列，所以10nnaa，即22(1)(1)210nb nnbnnb，即21bn（n+N）恒成立，又数列(21)n是单

19、调递减数列，所以当1n 时，(21)n取得最大值3，所以3b 故选：C【方法技巧与总结】解决数列的单调性问题的 3 种方法 作差比较法 根据1nnaa的符号判断数列 na是递增数列、递减数列或是常数列 作商比较法 根据1(00)nnnnaaaa或与 1 的大小关系进行判断 数形结合法 结合相应函数的图象直观判断 题型三：数列的最大（小）项 例 15已知数列 na的首项为 1，且*111nnn aannN，则na的最小值是（）A12 B1 C2 D3【答案】B【分析】根据111nnn aan得出11nnnanan，然后通过累加法求出1122nnan，根据均值不等式及nN，即可求出结果【详解】由1

20、11nnn aan得11nnnanan 所以1122111122nnnnnnananaaananaa 则 1111121 11122nnnn nnnan 所以111111222222nnnnan 当且仅当2n 时等号成立，因为nN，故取1a或2a最小，又121aa，所以na的最小值为 1 故选：B【点睛】思路点睛：本题通过累加法求数列通项公式，根据均值不等式及nN，求得最值 例 16已知数列 na满足110a ，12nnaan，则nan的最小值为（）A210-1 B11 2 C16 3 D27 4【答案】C【分析】先根据累加法得210nann，进而得101nannn，再结合函数 101fxxx

21、的单调性即可得当3n 时，nan的最小值为163【详解】解：由12nnaan得12nnaan，所以121nnaan，1222nnaan，2323nnaan，3222aa，212 1aa，累加上述式子得：121232 11naannnn n，所以210nann，2n，检验已知1n 时，210nann满足 故210nann，101nannn，由于函数 101fxxx在区间0,10上单调递减，在10,上单调递增，又因为*xN，当3n 时，10163133nan，当4n 时，10114142nan，所以nan的最小值为163 故选：C 例 17已知数列 na的前n项和nS，且2(1)nnSan，22n

22、annbS，则数列 nb的最小项为（）A第 3 项 B第 4 项 C第 5 项 D第 6 项【答案】A【分析】由nS与na的关系1(1)nnnaSSn化简即可求出nS及na，可得nb，分析单调性即可求解【详解】1(1)nnnaSSn，1nnnSaS，则21(1)nSn，即2*(N)nSnn，22(1)21nannn 易知0nb，212+1+14422+1nnnnbbnn，（），2441422()(1)1nnbnnbnn 当211nn时，21n，当13n时，1nnbb，当3n时，1nnbb，又23132,281bb，当3n 时，nb有最小值 故选：A 例 18已知数列na的前 n 项和2212,

23、nSnn数列|na的前 n 项和,nT则nTn的最小值_【答案】5【分析】由nS和1nS的关系求出数列na的通项公式，再根据正负表示出数列|na的通项公式为144,13414,4nnnann，求出nT，并表示出nTn，再分别求出13n和4n 时的最小值，即可判断nTn的最小值【详解】由题意，数列na的前 n 项和2212nSnnnN，所以112 1210aS，当2n 时，12221221121414nnnnnnnSnaS，当1n 时，14 1 1410a，所以414nan，当13n时，0na，当4n 时，0na，所以144,13414,4nnnann，数列|na的前 n 项和nT，所以2221

24、2,1321236,4nnnnTnnn，当13n时，212nTnn，当3n 时，nTn的最小值为 6；当4n 时，36212nnTnn，由对勾函数的性质，当4n 时，nTn有最小值 5；综上所述，nTn的最小值为 5 故答案为：5【点睛】本题主要考查由nS求数列通项公式的求法、等差数列前n项和公式、对勾函数的应用，是一道综合性很强的题目，考查学生分析转化能力和计算能力，属于难题 例 19数列1nn，1n，2，中的最小项的值为_ 【答案】313【分析】构造函数 ln xf xx，利用函数单调性分析最大值，得出数列 nn的最大项，即可得解【详解】考虑函数 ln xf xx，21 ln xfxx，当

25、0 xe时，21ln0 xfxx，当xe时，21ln0 xfxx，所以 ln xf xx在0,e单调递增，在,e 单调递减，即 1lnlnxxfxxx在0,e单调递增，在,e 单调递减，所以lnxxxyex在0,e单调递增，在,e 单调递减，11236689,89,23 所以数列 nn的最大项为33，所以1nn的最小项为313 故答案为：313【点睛】此题考查求数列中的最小项，利用函数单调性讨论数列的最大项和最小项，涉及导函数处理单调性问题【方法技巧与总结】求数列的最大项与最小项的常用方法（1）将数列视为函数()f x当 xN*时所对应的一列函数值，根据 f（x）的类型作出相应的函数图象，或利

26、用求函数最值的方法，求出()f x的最值，进而求出数列的最大（小）项（2）通过通项公式na研究数列的单调性，利用11()2nnnnaaana，确定最大项，利用11()2nnnnaaana，确定最小项（3）比较法：若有1()()10nnaaf nf n或0na 时11nnaa，则1nnaa，则数列 na是递增数列，所以数列 na的最小项为1(1)af；若有1()()10nnaaf nf n或0na 时11nnaa，则1nnaa，则数列 na是递减数列，所以数列 na的最大项为1(1)af 题型四：数列中的规律问题 例 20蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，

27、如图为一组蜂 巢的截面图其中第一个图有 1 个蜂巢，第二个图有 7 个蜂巢，第三个图有 19 个蜂巢，按此规律，以()f n表示第n幅图的蜂巢总数，则(4)f（）；()f n（）A35 2331nn B36 2331nn C37 2331nn D38 2331nn【答案】C【分析】结合图形中的规律直接求出(4)f和(5)f，进而总结出递推公式2n 时，()(1)61f nf nn，利用累加法即可求出结果【详解】由图中规律可知：(4)37f，所以(2)(1)716ff，(3)(2)1972 6ff，(4)(3)37 193 6ff，(5)(4)61 374 6ff，因此当2n 时，()(1)61

28、f nf nn，所以()()(1)(1)(2)(2)(1)(1)f nf nf nf nf nfff 6122 11nn 1612n n 2331nn，经检验当1n 时，符合 2331f nnn，所以 2331f nnn，故选：C 例 21 由正整数组成的数对按规律排列如下：1,1，1,2，2,1，1,3，2,2，3,1，1,4，2,3，3,2，4,1，1,5，2,4，若数对,m n满足22222021mn，,m nN，则数对,m n排在（）A第 386 位 B第 193 位 C第 348 位 D第 174 位【答案】D【分析】先求出,m n的值，再根据数对的特点推出数对,m n的位置【详解】

29、解：按规律把正整数组成的数对分组：第 1 组为（1，1），数对中两数的和为 2，共 1 个数对；第 2 组为（1，2），（2，1），数对中两数和为 3，共 2 个数对；第 3 组为（1，3），（2，2），（3，1），数对中两数的和为 4，共 3 个数；，第n组为(1,),(2,1),(,1)nnn，数对中两数的和为1n，共n个数，由22222021mn，得2222023mn，因为20237 289，所以2227289mn，解得317mn，所以20mn，在所有数对中，两数之和不超过 19 的有19 18123181712 个，所以在两数和为 20 的第 1 个数（1，19），第 2 个为（2，1

30、8），第 3 个为（3，17），所以数对（3，17）排在第 174 位，故选：D【点睛】关键点点睛：此题考查简单的合情推理，考查等差数求和，解题的关键是由22222021mn，得2222023mn，解出,m n的值，考查计算能力，属于中档题 例 22 已知“整数对”按如下规律排列：1,11,22,11,32,2，3,11,42,3，3,2，4,1，则第68个“整数对”为（）A1,12 B3,10 C2,11 D3,9【答案】C【分析】设“整数对”为*mnmnN，由已知可知点列的排列规律是mn的和从 2 开始，依次是 3，4，其中 m 依次增大，可依次求得总对数，从而可得选项【详解】设“整数对”

31、为*mnmnN，由已知可知点列的排列规律是mn的和从 2 开始，依次是 3，4，其中 m 依次增大 当2mn时只有 1 个 11，；当3mn时有 2 个 1221，；当4mn时有 3 个 132 231，；当12mn时有11个 111210111，；其上面共有11(1 11)12311662 个数对 所以第67个“整数对”为112，第68个“整数对”为211，故选：C【点睛】本题考查知识迁移运用：点列整数对，关键在于理解和探索其规律，属于中档题 例 23将正整数排列如下：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 则图中数2020出现在 A第64行3列 B第64行4

32、列 C第65行3列 D第65行4列【答案】B【分析】计算每行首个数字的通项公式，再判断2020出现在第几列，得到答案【详解】每行的首个数字为：1，2，4，7，11 111,1nnaaan 利用累加法：112211(1)()().()12 1 112nnnnnn naaaaaaaann 计算知：642017a 数2020出现在第64行4列 故答案选 B【点睛】本题考查了数列的应用，计算首数字的通项公式是解题的关键 题型五：数列的最值问题 例 24（2022北京市第十二中学高三期中）已知数列 na满足32nann，则数列 na的最小值为（）A343 B575 C8 2 D12【答案】A 【解析】3

33、2f xxx在0,4 2上单调递减，在4 2,上单调递增，当xn nN时，minmin5,6f nff，又 32575555f，32346663f，min343f n，即32nann的最小值为343 故选：A 例 25（2022全国高三专题练习）已知数列 na，2141nnann，则下列说法正确的是（）A此数列没有最大项 B此数列的最大项是3a C此数列没有最小项 D此数列的最小项是2a【答案】B【解析】令10tn，则1nt，22,641411ttytttt 当0t时，0y 当0t 时，146ytt，由双勾函数的知识可得y在0 2,上单调递增，在2,上单调递减 所以当2t 即3n 时，y取得最

34、大值，所以此数列的最大项是3a，最小项为10a 故选：B 例 26（2022河南高三阶段练习（理）在数列 na中，11a，1nnaan（Nn，2n），则11nan的最小值是（）A12 B34 C1 D32【答案】C【解析】由题意可得 211221121122nnnnnnnnnaaaaaaaa，当1n 时，11a 满足上式，则212121112121nannnnnn 因为n+N，所以12n，所以2131nn，则21121nn，故112112nan，当且仅当1n 时，等号成立 故选：C 例 27（2022辽宁高三阶段练习）若数列 na满足24122,nnnnnaTa aa，则nT的最小值为（）A9

35、2 B102 C112 D122【答案】B【解析】因为2420,nnna 所以221222loglogloglognnTaaa 设22log4nnbann 若nT有最小值，则2lognT有最小值，令0nb，则04,n 所以当3n 或4n 时nT的最小值为102 故选：B 例 28（2022全国高三专题练习）若数列 na满足113a，1nnnaa，则nan的最小值为（）A235 B143 C1262 D13【答案】A【解析】由题意可知，1211113 12(1)13(1)2nnnaaaaaann n，则113122nannn，又113122yxx在0,26 上递减，在26，上递增，且5266，5

36、n 时，11311131235222525nn；6n 时，11311131142362226235nn，故选：A 例 29（2022全国高三专题练习）设221316nann，则数列na中最大项的值为（）A134 B5 C6 D132【答案】B【解析】解：221316913412()162()4848nann ，nN，当3n 时，na取到最大值 5 故选：B 例 30（2022浙江高三专题练习）已知数列 na的通项公式为211naannn，5a是数列 na的最小项，则实数a的取值范围是（）A40,25 B40,0 C25,25 D25,0【答案】D【解析】解：由题意可得21125555aannn

37、，整理得(5)(5)(6)5a nnnn，当4n 时，不等式化简为5(6)an n恒成立，所以25a ，当6n 时，不等式化简为5(6)an n恒成立，所以0a，综上，250a，所以实数a的取值范围是25,0，故选：D 【过关测试】一、单选题 1（2022陕西交大附中模拟预测（理）函数 f x定义如下表，数列 Nnxn满足02x，且对任意的自然数n均有 1nnxf x，则2022x（）x 1 2 3 4 5 f x 5 1 3 4 2 A1 B2 C4 D5【答案】B【解析】由已知可得 121xf，215xf，352xf，421xf，以此类推可知，对任意的Nn，3nnxx，20223 6733

38、，所以，202232xx.故选：B.2（2022内蒙古赤峰模拟预测（理）大衍数列来源于乾坤谱中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理数列中的每一项，都代表太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和，其中一列数如下：0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，按此规律得到的数列记为 na，其前 n 项和为nS，给出以下结论：22122nann；182 是数列 na中的项；21210a；当 n 为偶数时，2122nnnSSSnnN其中正确的序号是（）A B C D【答案】C【解析】数列 na的偶数项分别为 2，8，18，32，50，通过观察可知222nan，同理

39、可得22122nann，所以22122nnnann，为奇数，为偶数,因为2212112202a，所以正确，错误；由211822n，解得365n，由21822n，解得2 91n，又因为*nN，所以方程都无正整数解，所以 182 不是 na中的项，故错误 当 n为偶数时，212112nnnnnnnSSSSSSS2221211222nnnnaan，故正确 故选：C.3（2022河南模拟预测（理）观察数组2,2，3,4，4,8，5,16，6,32，根据规律，可得第 8个数组为（）A9,128 B10,128 C9,256 D10,256【答案】C【解析】由题可知数组的第一个数成等差数列，且首项为 2，

40、公差为 1；数组的第二个数成等比数列，且首项为 2，公比为 2 因此第 8 个数组为827,2，即9,256 故选：C.4（2022吉林长春模拟预测（理）已知数列 na满足11120nnaa，112a，则数列 na的前 2022项积为（）A16 B23 C6 D32【答案】A【解析】由题意，112a ，21112aa，213a ，32112aa ，32a ，43a ，512a ，na 是周期为 4 的循环数列，在一个周期内的积为：12341a a a a ，20224 5052 ，前 2022 项之积为 505 个周期之积12aa ，即50520221111236T ；故选：A.5（2022江

41、西临川一中模拟预测（理）已知数列 na满足1112,21nnnaaanNa，则2022=a（）A13 B1 C2 D52【答案】A【解析】因为1112,21nnnaaanNa，所以12111213aaa，2321221aaa，所以数列 na是以周期为2的数列，即2022213aa.故选：A 6（2022全国高三专题练习）已知数列 na的通项公式为naann，则“21aa”是“数列 na单调递增”的（）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【答案】C【解析】解：数列 na单调递增1nnaa，可得：11aannnn，化为：2ann.2a.由“21aa”可得：21

42、2aa，可得：2a.“21aa”是“数列 na单调递增”的充要条件，故选：C.7（2022全国高三专题练习）已知数列 na满足2*2,5,1,5,.nntn nnatn nnNN且数列 na是单调递增数列，则t的取值范围是（）A9 19,24 B9,2 C5,D1,4【答案】A【解析】由题意可得210,9,26152 5,tttt 解得91924t.故选：A.8（2022全国高三专题练习）若数列an的前 n 项和 Snn210n(nN*)，则数列nan中数值最小的项是（）A第 2 项 B第 3 项 C第 4 项 D第 5 项【答案】B【解析】Snn210n，当 n2 时，anSnSn12n11

43、；当 n1 时，a1S19 也适合上式 an2n11(nN*)记 f(n)nann(2n11)2n211n，此函数图象的对称轴为直线 n114，但 nN*，当 n3 时，f(n)取最小值 数列nan中数值最小的项是第 3 项 故选：B 9（2022上海普陀二模）数列 na的前n项的和nS满足*1(N)nnSSn n，则下列选项中正确的是（）A数列1nnaa是常数列 B若113a，则 na是递增数列 C若11a ，则20221013S D若11a，则 na的最小项的值为1【答案】D【解析】当1n 时，211221SSaa，当2n 时，11nnSSn，则11nnaa，而121aa不一定成立，故1n

44、naa不一定是常数列，A 错误；由1132.1nnnnaaaaaa，显然113.nnnaaa且24.nnnaaa，即 na不单调，B 错误；若11a ，则23a，32a ，故2n，na偶数项为 3，奇数项为2，而202212345202020212022()().()1 101031012Saaaaaaaa ，C 错误；若11a，则21a ，32a，故2n，na偶数项为1，奇数项为 2，故 na的最小项的值为1，D 正确.故选：D 10（2022北京四中三模）已知数列na的通项为22nann，则“0”是“*n N，1nnaa”的（）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不

45、必要条件【答案】A【解析】由题意，数列 na的通项为22nann，则221(1)2(1)22120nnaannnnn，即21122nn，对n N恒成立，当1n 时，1n2取得最小值32，所以32，所以“0”是“*n N，1nnaa”的充分不必要条件.故选：A.二、多选题 11（2022 河北衡水第一中学高三阶段练习）大衍数列，来源于乾坤谱中对易传“大衍之数五十”的推论主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题 其前 10 项依次是 0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，则

46、下列说法正确的是（）A此数列的第 20 项是 200 B此数列的第 19 项是 180 C此数列偶数项的通项公式为222nan D此数列的前n项和为(1)nSnn【答案】ABC【解析】观察此数列，偶数项通项公式为222nan，奇数项是后一项减去后一项的项数，2122nnaan，故 C 正确；由此可得2202 10200a，故 A 正确；192020180aa，故 B 正确；2(1)nSn nnn是一个等差数列的前n项，而题中数列不是等差数列，不可能有(1)nSnn，故 D 错误 故选：ABC 12（2022全国高三专题练习）若数列na满足1112,012,1321,12nnnnnaaaaaa，

47、则数列na中的项的值可能为（）A13 B2 C23 D45【答案】AC【解析】由题意可得21223aa，321213aa，43223aa，所以数列na是周期为 2 的数列，所以数列na中的项的值可能为13，23 故选：AC 13（2022全国高三专题练习）下列四个选项中，不正确的是（）A数列2 3 4 5,3 4 5 6，的一个通项公式是1nnan B数列的图象是一群孤立的点 C数列 1，1，1，1，与数列1，1，1，1，是同一数列 D数列1 1,2 4，12n是递增数列【答案】ACD【解析】对于 A，当通项公式为1nnan时，11223a，不符合题意，故选项 A 错误；对于 B，由数列的通项

48、公式以及*nN可知，数列的图象是一群孤立的点，故选项 B 正确；对于 C，由于两个数列中的数排列的次序不同，因此不是同一数列，故选项 C 错误；对于 D，数列1 1,2 4，12n是递减数列，故选项 D 错误 故选：ACD 14（2022全国高三专题练习）已知nS是 na的前n项和，12a，1112nnana，则下列选项错误的是（）A20212a B20211012S C331321nnnaaa D na是以3为周期的周期数列【答案】AC【解析】因为12a，1112nnana，则211112aa，32111aa ，413112aaa，以此类推可知，对任意的nN，3nnaa，D 选项正确；202

49、13 673 2212aaa，A 选项错误；202112312316736732101222Saaaaa，B 选项正确；331323211nnnaaaa a a，C 选项错误.故选：AC.15（2022全国高三专题练习）若数列an满足112,2712,62nnnnna aaaa，123a，则数列an中的项的值可能为（）A19 B16 C13 D43【答案】BC【解析】数列na满足112271262nnnnnaaaaa，123a，依次取1,2,3n 代入计算得，2162617aa，32123aa，431223aaa，因此继续下去会循环；数列na是周期为 3 的周期数列，所有可能取值为161233

50、，故选：BC.16（2022全国高三专题练习）已知数列 na满足112a ，111nnaa，则下列各数是 na的项的有（）A2 B23 C32 D3【答案】BD 【解析】因为数列na满足112a ，111nnaa，212131()2a；32131aa；4131112aaa；数列na是周期为 3 的数列，且前 3 项为12，23，3；故选：BD 17（2022全国高三专题练习（文）南宋杨辉在他 1261 年所著的详解九章算术一书中记录了一种三角形数表，称之为“开方作法本源”图，即现在著名的“杨辉三角”.如图是一种变异的杨辉三角，它是将数列 na各项按照上小下大，左小右大的原则写成的，其中 na是