2023年新高考数学大一轮复习专题30直线、平面平行的判定与性质(原卷版)43355.pdf

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1、 专题 30 直线、平面平行的判定与性质 【考点预测】知识点一：直线和平面平行 1定义 直线与平面没有公共点，则称此直线l与平面平行，记作l 2判定方法（文字语言、图形语言、符号语言）文字语言 图形语言 符号语言 线 线线面 如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行（简记为“线线平行线面平行 11lllll 面 面线面 如果两个平面平行，那么在一个平面内的所有直线都平行于另一个平面 aa 3性质定理（文字语言、图形语言、符号语言）文字语言 图形语言 符号语言 线面线线 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行 ll

2、lll 知识点二：两个平面平行 1定义 没有公共点的两个平面叫作平行平面，用符号表示为：对于平面和，若，则 2判定方法（文字语言、图形语言、符号语言）文字语言 图形语言 符号语言 判 定 定 理线面面面 如果一个平面内有两条相交的直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行（简记为“线面平行面面平行 ,ababP ab，线面面面 如果两个平面同垂直于一条直线，那么这两个平面平行 ll 3性质定理（文字语言、图形语言、符号语言）文字语言 图形语言 符号语言 面/面 线/面 如果两个平面平行，那么在一个平面中的所有直线都平行于另外一个平面 /aa 性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么

3、他们的交线平行（简记为“面面平行线面平行”）/.aabb 面/面 线面 如果两个平面中有一个垂直于一条直线，那么另一个平面也垂直于这条直线 /ll 【方法技巧与总结】线线平行、线面平行、面面平行的转换如图所示 （1）证明直线与平面平行的常用方法：利用定义，证明直线a与平面没有公共点，一般结合反证法证明；利用线面平行的判定定理，即线线平行线面平行辅助线的作法为：平面外直线的端点进平面，同向进面，得平行四边形的对边，不同向进面，延长交于一点得平行于第三边的线段；利用面面平行的性质定理，把面面平行转化成线面平行；（2）证明面面平行的常用方法：利用面面平行的定义，此法一般与反证法结合；利用面面平行的判

4、定定理；利用两个平面垂直于同一条直线；证明两个平面同时平行于第三个平面（3）证明线线平行的常用方法：利用直线和平面平行的判定定理；利用平行公理；【题型归纳目录】题型一：平行的判定 题型二：线面平行构造之三角形中位线法 题型三：线面平行构造之平行四边形法 题型四：线面平行转化为面面平行 题型五：利用线面平行的性质证明线线平行 题型六：面面平行的证明 题型七：面面平行的性质【典例例题】题型一：平行的判定 例 1（2022上海高三专题练习）设 m，n 是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列说法错误的是（）A若mn，m，n，则 B若/mn，m，/n，则 C若mn，/m，/n，则/D若/mn，m，n

5、，则/例 2（2022上海静安二模）在下列判断两个平面与平行的 4 个命题中，真命题的个数是（）（1）、都垂直于平面 r，那么 性质 性质 性质 判定 判定 判定 线面 线线 面面 （2）、都平行于平面 r，那么（3）、都垂直于直线 l，那么（4）如果 l、m 是两条异面直线，且l，m，l，m，那么 A0 B1 C2 D3 例 3（2022宁夏银川一中模拟预测（文）如图，在下列四个正方体中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB不平行于平面MNQ的是（）A B C D 例 4（2022浙江海宁中学模拟预测）已知abc，是不全平行的直线，是不同的平面，则

6、下列能够得到/的是（）A，B/abab，C/abcabc，D/bb，例 5（2022全国高三专题练习）已知，是空间两个不同的平面，m，n是空间两条不同的直线，下列说法中正确的是（）A/m，则/m B/mn，/n，则/m C平面内的不共线三点、ABC到平面 的距离相等，则与平行 D如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与此平面内的无数条直线平行 例 6（2022陕西西北工业大学附属中学模拟预测（理）如图，在正方形ABCDA B C D中，M，N 分别是A D，D C的中点，则直线 AM 与平面 BND 的位置关系是（）A垂直 B平行 C相交但不垂直 D无法确定 例 7（2022全国高三专题练习

7、）已知三条直线 a，b，c 和两个平面,，下列命题正确的是（）A若/,/aab，则/b B若/,ab b，则/a C若/,/,/aab b，则/D若,/a bcbc，则/ab 【方法技巧与总结】排除法：画一个正方体，在正方体内部或表面找线或面进行排除 题型二：线面平行构造之三角形中位线法 例 8（2022山西吕梁三模（文）如图，在四棱柱1111ABCDABC D中，底面ABCD是平行四边形，DADB，侧面11ADD A是矩形，1222,ABADAAM为1AA的中点，1D ABM （1）证明：1/AC平面MBD；（2）求三棱锥MABD的体积 例 9（2022全国高三专题练习）如图，在三棱锥VAB

8、C中，O，M 分别为 AB，VA 的中点求证：VB平面 MOC 例 10（2022青海海东市第一中学模拟预测（文）如图，在四棱锥PABCD中，平面PCD 平面ABCD，PCD为等边三角形，22CDAB，2AD，90BADADC，M是棱PC上一点 若2MCMP，求证：/AP平面MBD 例 11（2022全国高三专题练习）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧面PAD 底面ABCD，且22PAPDAD，若E、F分别为PC、BD的中点，求证：/EF侧面PAD；例 12（2022 河南 濮阳一高高三阶段练习（理）如图，四边形ABCD为菱形，2,60ABABC，将ACD沿AC折起

9、，得到三棱锥DABC，点 M，N 分别为ABD和ABC的重心 证明：CD平面BMN；又CD平面BMN，PO 平面BMN，例 13（2022全国高三专题练习）如图，PO是三棱锥PABC的高，PAPB，ABAC，E 是PB的中点 证明：/OE平面PAC；【方法技巧与总结】（1）初学者可以拿一把直尺放在PB位置（与PB平齐），如图一；（2）然后把直尺平行往平面ACE方向移动，直到直尺第一次落在平面ACE内停止，如图二；（3）此时刚好经过点E（这里熟练后可以直接凭数感直接找到点E），此时直尺所在的位置就是我们要找的平行线，直尺与AC相交于点F，连接EF，如图三；（4）此时PBEF、长度有长有短，连接P

10、BEF、并延长刚好交于一点D，刚好构成A型模型（E为PD中点，则F也为BD中点，若E为等分点，则F也为BD对应等分点），PBEF，如图四 图一 图二 图三 图四 题型三：线面平行构造之平行四边形法 例 14（2022河南开封模拟预测（理）如图，1O，O 分别是圆台上、下底的圆心，AB 为圆 O 的直径，以 OB 为直径在底面内作圆 E，C 为圆 O 的直径 AB 所对弧的中点，连接 BC 交圆 E 于点 D，1AA，1BB，1CC为圆台的母线，1128ABAB 证明；1/C D平面11OBBO；例 15（2022 广东 大埔县虎山中学模拟预测）如图，在四棱台1111ABCDABC D中，2AB

11、，111AB，四边形 ABCD 为平行四边形，点 E 为棱 BC 的中点 求证：1/D E平面11ABB A；例 16（2022全国高三专题练习）在如图 1 所示的等腰梯形CDEF中，2,22 2DECDEF，将它沿着两条高,AD BC折叠成如图 2 所示的四棱锥EABCD（,E F重合），点,M N分别为线段,AB DE的中点 1234012340BCADPPDACBEEFPDACBBCADPEFEFFBCADPE 证明：MN 平面BEC；例 17（2022全国模拟预测）在四棱锥PABCD中，PA 平面ABCD，四边形ABCD是矩形，1,2ABAPAD E F分别是APBC，的中点 求证：/

12、EF平面PCD；例 18（2022全国高三专题练习）如图，正方形ABCD与直角梯形ADEF所在平面相互垂直，90ADE，/AFDE，24ADDEAF求证：/AC平面BEF；例 19（2022 全国 高三专题练习）如图，在四棱锥 P-ABCD 中，112ABBCCDAD，/ADBC，P 在以 AD 为直径的圆 O 上，平面ABCD 平面 PAD设点 Q 是 AP 的中点，求证：BQ/平面 PCD；例 20（2022江苏矿大附中高三阶段练习）如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，2AB，AFt，M是线段EF的中点 求证：/AM平面BDE；例 21（2022河南洛宁县第一高级中学

13、一模（文）如图，在四棱锥PABCD中，已知平面PAD 平面 ABCD，/ABCD，ADCD，24CDAB，AE 是等边PAD的中线 证明：/AE平面PBC 例 22（2022全国高三专题练习）小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面ABCD是边长为 8（单位：cm）的正方形，,EABFBCGCDHDA均为正三角形，且它们所在的平面都与平面ABCD垂直 （1）证明：/EF平面ABCD；（2）求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）【方法技巧与总结】（1）初学者可以拿一把直尺放在EF位置，如图一；（2）然后把直尺平行往平面PAB方向移动，直到直尺第一次落在平面PAB内

14、停止，如图二；（3）此时刚好经过点B（这里熟练后可以直接凭数感直接找到点B），此时直尺所在的位置就是我们要找的平行线，直尺与PA相交于点 O，连接BO，如图三；（4）此时PB EF、长度相等（感官上相等即可，若感觉有长有短则考虑法一 A 型的平行），连接OE，刚好构成平行四边形BFEO型模型（E为PD中点，O 也为PA中点，OE为三角形PAD中位线），OBEF，如图四 图一 图二 图三 图四 题型四：线面平行转化为面面平行 例 23（2022 全国 高三专题练习）如图，在三棱柱111ABCABC中，侧面11BCC B为正方形，平面11BCC B 平面11ABB A，2ABBC，M，N 分别为1

15、1AB，AC 的中点 1234012340BCADPPDACBBCADPPDACBEFEFOEFOEFO 求证：MN平面11BCC B；例 24（2022 全国 高三专题练习）如图所示的几何体中，底面 ABCD 是等腰梯形，0,60ABCDABC，1AA 平面ABCD，11CCAA，且11122CDBCABAA，E，F 分别为1A D，1CC的中点 证明：EF 面 ABCD；例 25（2022 湖南 长沙一中高三阶段练习）如图、三棱柱111ABCABC的侧棱1AA垂直于底面ABC，ABC是边长为 2 的正三角形，1=3AA，点D在线段1A B上且12ADDB，点E是线段11BC上的动点 当11

16、B EEC为多少时，直线/DE平面11ACC A？例 26（2022 全国 高三专题练习）如图，在等腰直角三角形PAD中，9083AADABBC，、分别是PAPD、上的点，且/ADBCMN，、分别为BPCD、的中点，现将BCP沿BC折起，得到四棱锥PABCD，连接.MN 证明：/MN平面PAD；例 27（2022 贵州 贵阳一中高三阶段练习（理）如图，四棱锥PABCD中，平面PAB 平面ABCD，ABCD，ABAD，3AB，3AD，2APCD，60PABM是CD中点，N是PB上一点 是否存在点N使得MN平面PAD，若存在求PN的长若不存在，请说明理由；例 28（2022全国高三专题练习）已知将

17、圆柱12OO沿着轴截面ABCD分割，得到如图所示的几何体，若四边形ABCD是边长为 2 的正方形，E，F 分别是,AB DC上的点，H 是AE的中点，AC与BD交于点 O，1260O EBO FC 求证：/OH平面EFCB；例 29（2022河北高三专题练习）如图所示正四棱锥SABCD，2,2SASBSCSDAB，P 为侧棱SD上的点且3SPPD，求：（1）正四棱锥SABCD的表面积；（2）侧棱SC上是否存在一点 E，使得/BE平面PAC 若存在，求SEEC的值；若不存在，试说明理由 例 30（2022全国高三专题练习）在如图所示的圆柱12OO中，AB为圆1O的直径，C、D是AB的两个三等分点

18、，EA、FC、GB都是圆柱12OO的母线 求证：1/FO平面ADE；【方法技巧与总结】本法原理：已知平面平面，则平面里的任意直线均与平面平行 题型五：利用线面平行的性质证明线线平行 例 31（2022 福建 三模）如图，在三棱锥VABC中，VAB和ABC均是边长为 4 的等边三角形P是棱VA上的点，23VPVA，过P的平面与直线VC垂直，且平面平面VABl 在图中画出l，写出画法并说明理由；例 32（2022全国高三专题练习）如图所示，四棱锥PABCD的底面ABCD是直角梯形，,BCAD ABAD，1,2ABBCAD PA底面ABCD，过BC的平面交PD于M，交PA于N（M与D不重合）求证：M

19、NBC；例 33（2022 山东青岛 二模）如图，P 为圆锥的顶点，O 为圆锥底面的圆心，圆锥的底面直径4AB，母线2 2PH，M 是 PB 的中点，四边形 OBCH 为正方形 设平面POH 平面PBCl，证明：lBC；例 34（2022安徽蚌埠二中模拟预测（理）正方体1111ABCDABC D中，点M在棱1DD上，过点C作平面1BMC的平行平面，记平面与平面11BCC B的交线为l，则1AC与l所成角的大小为（）A6 B4 C3 D2 例 35（2022全国高三专题练习）如图，己知三棱锥PABC中，PAB为正三角形，,2ABBC ACBC，D，E 分别为AB，AC的中点，经过DE的平面与,P

20、B PC分别交于点 G，F，且PA求证：四边形DEFG是平行四边形；例 36（2022 全国 高三专题练习）如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于,A B的点，直线PC 平面ABC，,E F分别是PA，PC的中点 记平面BEF与平面ABC的交线为l，求证：直线l/平面PAC；例 37（2022安徽安庆一中高三阶段练习（文）如图，四棱锥PABCD的底面是平行四边形，设平面PAB与平面PCD的交线为直线l 证明：l平面ABCD；例 38（2022 河北 石家庄二中模拟预测）如图，在四棱锥PABCD中，PC 底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，ABAD，/AB CD，222ABADCD，E是PB

21、上的点 若/PD平面ACE，求:PE PB的值；【方法技巧与总结】如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行 题型六：面面平行的证明 例 39（2022全国高三专题练习（理）如图，在四棱锥 PABCD 中，平面 PAD平面 ABCD，PAPD，ABAD，PAPD，ADCD，BAD60，M，N 分别为 AD，PA 的中点 证明：平面 BMN平面 PCD；例 40（2022 浙江 高三专题练习）在三棱锥SABC中，平面SAB 平面SBC，ABBC，ASAB，过A作AFSB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点求证：平面/EFG平面ABC 例 41（

22、2022河南高三阶段练习（理）如图，在四棱柱1111ABCDABC D中，四边形 ABCD 是正方形，E，F，G 分别是棱1BB，11BC，1CC的中点 证明：平面1AEF平面1ADG；例 42（2022 安徽 南陵中学模拟预测（理）如图，在正方体1111ABCDABC D中，E，F 分别为棱11,DD CC的中点 求证：平面1/AEC平面 BDF；【方法技巧与总结】常用证明面面平行的方法是在一个平面内找到两条相交直线与另一个平面分别平行或找一条直线同时垂直于这两个平面证明面面平行关键是找到两组相交直线分别平行 题型七：面面平行的性质 例 43（2022黑龙江高三阶段练习（理）四棱锥PABCD

23、的底面ABCD是边长为 2 的菱形，120BAD，PA 底面ABCD，2 3PA，E，F分别是PC，PD的中点 已知BGBC，若平面/EFG平面PAB，求的值；例 44（2022青海玉树高三阶段练习（文）在长方体1111ABCDABC D中，1222ABBCAA，P 为11AB的中点 已知过点1 A的平面与平面1BPC平行，平面与直线11,AB C D分别相交于点 M，N，请确定点 M，N的位置；例 45（2022四川模拟预测（理）如图，在直棱柱111ABCABC中，点 E，F 分别为11AB，BC 的中点，点 G 是线段 AF 上的动点 确定点 G 的位置，使得平面1/AC E平面1BCG，

24、并给予证明；例 46（2022全国高三专题练习）如图，在直棱柱111ABCABC中，点 E，F 分别为11AB，BC 的中点，点 G 是线段 AF 上的动点确定点 G 的位置，使得平面1/AC E平面1BCG，并给予证明 【过关测试】一、单选题 1（2022全国模拟预测（理）已知 m、n 是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列结论一定成立的是（）A若 mn，m，则 n B若 m，则 m C若 m，则 m D若 m，n，mn，则 2（2022全国模拟预测（理）已知长方体1111ABCDABC D中，4ABAD，12AA，E，F分别为棱11AB和11AD的中点，M为长方体表面上任意一点若BM

25、 平面AEF，则BM的最大值为（）A26 B2 7 C4 2 D6 3（2022云南师大附中模拟预测（理）若，是两个不同平面，m，n是两条不同直线，则下列 4个推断中正确的是（）Am，m，n ，nmn Bm，n，mn Cm，n，m，n Dm，n，mn 4（2022全国高三专题练习（文）下列四个命题，真命题的个数为（）（1）如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，则这条直线垂直于该平面；（2）过空间一定点有且只有一条直线和已知平面垂直；（3）平行于同一个平面的两条直线平行；（4）a 与 b 为空间中的两条异面直线，点 A 不在直线 a，b 上，则过点 A 有且仅有一个平面与直线 a，b 都平行

26、 A0 B1 C2 D3 5（2022广东广州三模）一几何体的平面展开图如图所示，其中四边形ABCD为正方形，E F分别为PB PC的中点，在此几何体中，下面结论错误的是（）A直线AE与直线BF异面 B直线AE与直线DF异面 C直线EF平面PAD D直线EF平面ABCD 6（2022新疆克拉玛依三模（文）如图，在棱长为 1 的正方体1111ABCDABC D中，P为棱1BB的中点，Q为正方形11BBC C内一动点（含边界），若1/D Q平面1APD，则线段1D Q长度的取值范围是（）A1,2 B3 2,24 C51,2 D3 25,42 7（2022全国高三专题练习（文）已知点 E，F 分别是

27、正方体 ABCDA1B1C1D1的棱 AB，AA1的中点，点 M，N 分别是线段 D1E 与 C1F 上的点，则满足与平面 ABCD 平行的直线 MN 有（）A0 条 B1 条 C2 条 D无数条 8（2022安徽师范大学附属中学模拟预测（理）如图，在三棱柱111ABCABC中，过11AB的截面与AC 交于点 D，与 BC 交于点 E，该截面将三棱柱分成体积相等的两部分，则CDAC（）A13 B12 C232 D312 二、多选题 9（2022全国高三专题练习）如图，在下列四个正方体中，A，B 为正方体的两个顶点，M，N，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ平行的是（）

28、A B C D 10（2022全国高三专题练习）在正四面体 ABCD 中，3AB，点 O 为ACD的重心，过点 O 的截 面平行于 AB 和 CD，分别交 BC，BD，AD，AC 于 E，F，G，H，则（）A四边形 EFGH 的周长为 8 B四边形 EFGH 的面积为 2 C直线 AB 和平面 EFGH 的距离为2 D直线 AC 与平面 EFGH 所成的角为4 11（2022河北石家庄高三阶段练习）已知 m，n 为异面直线，m 平面，n 平面若直线 l 满足,lm ln ll，则（）A,l B,ll C与相交，且交线平行于 l D与相交，且交线垂直于 l 12（2022全国模拟预测）在正方体1

29、111ABCDABC D中，101CECD，则下列结论正确的是（）A存在 0,1，使得1B EAC B对任意的 0,1，都有1B DAE C对任意的 0,1，都有1/B E平面1ABD D当12时，直线1B E与平面1ACD所成角的正切值为10 三、填空题 13（2022安徽省含山中学三模（文）三棱锥ABCD中，1ABCD，过线段BC中点 E 作平面EFGH与直线AB、CD都平行，且分别交BD、AD、AC于 F、G、H，则四边形EFGH的周长为_ 14（2022全国高三专题练习（文）如图所示，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，E为AD的中点，F为PC上一点，若/PA平面EBF，则PFFC_

30、 15（2022全国高三专题练习）如图，已知棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，E，F，M 分别是线段 AB，AD，AA1的中点，又 P，Q 分别在线段 A1B1，A1D1上，且 A1PA1Qx（0 x1）设平面 MEF平面 MPQl，现有下列结论：l/平面 ABCD；lAC；直线 l 与平面 BCC1B1不垂直；当 x 变化时，l 不是定直线其中成立的结论是_（写出所有成立结论的序号）16（2022全国模拟预测）已知在长方体1111ABCDABC D中，16BCCC，AB2，平面过棱 AB，BC，1CC的中点，点M 底面 ABCD若直线1MD 平面，则1BM的最小值为_ 四、解

31、答题 17（2022全国高三专题练习）如图，在三棱柱111ABCABC中，侧面11BCC B为正方形，平面11BCC B 平面11ABB A，2ABBC，M，N 分别为11AB，AC 的中点求证：MN平面11BCC B；18（2022全国高三专题练习）如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于,A B的点，直线PC 平面ABC，,E F分别是PA，PC的中点记平面BEF与平面ABC的交线为l，求证：直线l/平面PAC 19（2022全国高三专题练习）如图，直三棱锥111ABCABC中，90ABC，122ABBCAA，E是11AC边的中点，过,A B E作截面交11BC于点D求证：/DE AB；2

32、0（2022全国高三专题练习）如图，在正方体1111ABCDABC D中，点 E 在棱1BB上，且12B EBE，点 F 是棱1DD上的一个动点点 F 在什么位置时，1/B F平面AEC，并说明理由 21（2022黑龙江哈尔滨三中模拟预测（文）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，2,1,5ADPDCDPC，点E为线段PC上的点，且BCDE （1）证明：平面PCD 平面ABCD；（2）若3CECP，且在线段BC上存在一点Q，使得/PA平面DEQ请确定点Q的位置并证明你的结论 22（2022全国高三专题练习（文）如图，在四棱柱1111ABCDABC D中，点 M 是线段11B D上的一个动点，E，F 分别是,BC CM的中点 （1）设 G 为棱CD上的一点，问：当 G 在什么位置时，平面GEF平面11BDD B？（2）设三棱锥CBDF的体积为1V，四棱柱1111ABCDABC D的体积为2V，求12VV