「线性代数考点总结和解题方法」45857.pdf

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1、线性代数考点总结和解题方法】来源：金鑫松的日志 第一部分:计算问题 四阶行列式的计算；n 阶特殊行列式的计算（如:有行和、列和相等）;矩阵的运算（包括加、减、数乘、乘法、转置、逆等的混合运算)；求矩阵的秩、逆矩阵（两种方法)；解矩阵方程;含参数的线性方程组解的情况的讨论;齐次、非齐次线性方程组的求解（包括唯一、无穷多解)；讨论一个向量能否用和向量组线性表示;讨论或证明向量组的相关性；求向量组的极大无关组,并将多余向量用极大无关组线性表示；将无关组正交化、单位化;求方阵的特征值和特征向量；讨论方阵能否对角化，如能，要能写出相似变换的矩阵及对角阵；通过正交相似变换（正交矩阵）将对称矩阵对角化；写出

2、二次型的矩阵，并将二次型标准化，写出变换矩阵;判定二次型或对称矩阵的正定性。第二部分：概念问题 一、行列式 1.行列式的定义 用 n 方个元素 Aj组成的记号称为 n 阶行列式。(1)它表示所有可能的取自不同行不同列的 n 个元素乘积的代数和；()展开式共有！项，其中符号正负各半;行列式的计算(）常见类型：一阶|=行列式，二、三阶行列式有对角线法则；n 阶(n=3)行列式的计算：降阶法 定理:n 阶行列式的值等于它的任意一行(列）的各元素与其对应的代数余子式乘积的和。方法:选取比较简单的一行（列)，保保留一个非零元素,其余元素化为 0，利用定理展开降阶。特殊情况:上、下三角形行列式、对角形行列

3、式的值等于主对角线上元素的乘积;(2）行列式值为 0 的几种情况:行列式某行（列)元素全为 0；行列式某行(列）的对应元素相同;行列式某行(列）的元素对应成比例;奇数阶的反对称行列式。二.矩阵 1.矩阵的基本概念(表示符号、一些特殊矩阵,如单位矩阵、对角、对称矩阵等）；2矩阵的运算(1）加减、数乘、乘法运算的条件、结果；（)关于乘法的几个结论:矩阵乘法一般不满足交换律(若 A,称 A、B是可交换矩阵）;矩阵乘法一般不满足消去律、零因式不存在;若 A、B 为同阶方阵,则A|*B|;|kA|=kn|3矩阵的秩(1)定义:非零子式的最大阶数称为矩阵的秩;(2)秩的求法:一般不用定义求，而用下面结论：

4、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；阶梯形矩阵的秩等于非零行的个数(每行的第一个非零元所在列，从此元开始往下全为 0 的矩阵称为行阶梯阵）。求秩:利用初等变换将矩阵化为阶梯阵得秩。4.逆矩阵(1)定义:A、B 为 n 阶方阵,若BA=,称 A 可逆，B 是 A 的逆矩阵(满足半边也成立);（2）性质:(A)-1=（B-1)*(1)，（A）-1=（-1);（A B 的逆矩阵)（注意顺序)(3)可逆的条件:|A0;r(A)=n;-;(4)逆的求解 伴随矩阵法 A-1=(1/|)A*;（A*A 的伴随矩阵)初等变换法（A:I）-（施行初等变换)（I:A-)5.用逆矩阵求解矩阵方程:AX=B,则 X=（A-

5、1）B；XB=A，则B(A-1）;AXB，则 X=（-1)C(B1)三、线性方程组 线性方程组解的判定 定理:(1)(,b)r(A)无解;()r（A，b)=r（A)有唯一解；(3）r(A,b)=(A)有无穷多组解；特别地：对齐次线性方程组 AX=0()r()n 只有零解；(2）r(A)有非零解;再特别，若为方阵,(1）|A|0 只有零解(2)|A|=0 有非零解 2.齐次线性方程组 （1)解的情况:r(A）=n,（或系数行列式 D0)只有零解；r(),(或系数行列式 D0）有无穷多组非零解。(2)解的结构：X=c1c+Cn-r-r。(3)求解的方法和步骤：将增广矩阵通过行初等变换化为最简阶梯阵;写出对应同解方程组；