专题06函数的奇偶性与周期性(教学案)(原卷版)43154.pdf

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1、名师整理，助你成功 1.判断函数的奇偶性；2.利用函数的奇偶性求参数；3.考查函数的奇偶性、周期性和单调性的综合应用 一、函数的奇偶性 奇偶性 定 义 图象特点 偶函数 如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有 f(x)f(x)，那么函数 f(x)是偶函数 关于 y 轴对称 奇函数 如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有 f(x)f(x)，那么函数 f(x)是奇函数 关于原点对称 二、周期性 1周期函数 对于函数 yf(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义域内的任何值时，都有 f(xT)f(x)，那么就称函数 yf(x)为周期函数，称 T 为这个函数的周期

2、2最小正周期 如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做 f(x)的最小正周期 三、必会结论 1函数奇偶性的四个重要结论(1)如果一个奇函数 f(x)在原点处有定义，即 f(0)有意义，那么一定有 f(0)0.(2)如果函数 f(x)是偶函数，那么 f(x)f(|x|)(3)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性(4)在公共定义域内有：奇奇奇，偶偶偶，奇奇偶，偶偶偶，奇偶奇 2周期性的三个常用结论 对 f(x)定义域内任一自变量的值 x：(1)若 f(xa)f(x)，则 T2a；(2)若 f(xa)1fx，则 T2

3、a；名师整理，助你成功(3)若 f(xa)1fx，则 T2a.(a0)3对称性的三个常用结论(1)若函数 yf(xa)是偶函数，即 f(ax)f(ax)，则函数 yf(x)的图象关于直线 xa 对称；(2)若对于 R 上的任意 x 都有 f(2ax)f(x)或 f(x)f(2ax)，则 yf(x)的图象关于直线 xa 对称；(3)若函数 yf(xb)是奇函数，即 f(xb)f(xb)0，则函数 yf(x)关于点(b,0)中心对称 高频考点一 判断函数的奇偶性 例 1、判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)x2|x|1，x1,4；(2)f(x)log2(xx21)；(3)f(x)x2x，x0，x2

4、x，x0.【变式探究】判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)3x2x23；(2)f(x)lg（1x2）|x2|2；(3)f(x)x2x，x0.【方法规律】判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；(2)判断f(x)与f(x)是否具有等量关系 在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式f(x)f(x)0(奇函数)或f(x)f(x)0(偶函数)是否成立【变式探究】(1)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是()Ayxsin 2x Byx2cos x Cy2x12x Dyx2sin x(2)设函数f(x)，

5、g(x)的定义域都为 R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是()Af(x)g(x)是偶函数 B|f(x)|g(x)是奇函数 名师整理，助你成功 Cf(x)|g(x)|是奇函数 D|f(x)g(x)|是奇函数 高频考点二 函数奇偶性的应用 命题角度 1 利用奇偶性求函数值 例 1、已知f(x)x5ax3bx8，且f(2)10，则f(2)等于()A26 B18 C10 D10 命题角度 2 利用奇偶性求参数值 例 2、若函数f(x)xln(xax2)为偶函数，则a_.命题角度 3 利用奇偶性求解析式 例 3、f(x)为 R 上的奇函数，当x0 时，f(x)2x23x1，求f

6、(x)的解析式 命题角度 4 利用奇偶性的图象特征解不等式 例 4、已知f(x)是定义在 R 上的奇函数，当x0 时，f(x)x22x，若f(2a2)f(a)，则实数a的取值范围是()A(，1)(2，)B(1,2)C(2,1)D(，2)(1，)【方法技巧】应用函数奇偶性可解决的四类问题及解题方法(1)求函数值 将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解(2)求解析式 将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组)，从而得到f(x)的解析式(3)求函数解析式中参数的值 利用待定系数法求解，根据f(x)f(x)0 得到关于待求参数的恒等式，

7、由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值(4)画函数图象和判断单调性 利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一区间上的单调性 高频考点三 函数的周期性 例 3、(1)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x6)f(x)，当3x1 时，f(x)(x2)2；当1x0)【变式探究】设函数 f(x)(xR)满足 f(x)f(x)sinx当 0 x3 成立的x的取值范围为()A(，1)B(1，0)C(0，1)D(1，)(2)已知f(x)是定义在 R 上的奇函数，当x0 时，f(x)x24x，则f(x)_ 高频考点五 函数的周期性及其应用 例 5、若函数f(x)是定义在 R 上的周期

8、为 2 的奇函数，当 0 xf(2)，则a的取值范围是_【方法技巧】解与函数有关的不等式问题，常利用奇函数在对称单调区间上有相同的单调性，偶函数在对称单调区间上有相反的单调性，利用题目已知条件，转化为不等式问题来求解，而解有关抽象函数不等式问题，也是充分利用函数的奇偶性和单调性求解.【变式探究】若f(x)是奇函数，且当x0 时，f(x)x38，则x|f(x2)0()Ax|2x2 Bx|0 x4 Cx|x0 或 2x4 Dx|x2 1(2019高考全国卷)设函数 f(x)的定义域为 R，满足 f(x1)2f(x)，且当 x(0，1时，f(x)x(x名师整理，助你成功 1)，若对任意 x(，m，都

9、有 f(x)89，则 m 的取值范围是()A.，94 B.，73 C.，52 D.，83 2.(2018全国卷)已知 f(x)是定义域为(，)的奇函数，满足 f(1x)f(1x).若 f(1)2，则 f(1)f(2)f(3)f(50)()A.50 B.0 C.2 D.50 3.(2018全国卷)已知 f(x)是定义域为(，)的奇函数，满足 f(1x)f(1x)若 f(1)2，则 f(1)f(2)f(3)f(50)()A50 B0 C2 D50 12017北京高考已知函数 f(x)3x13x，则 f(x)()A是奇函数，且在 R 上是增函数 B是偶函数，且在 R 上是增函数 C是奇函数，且在 R

10、 上是减函数 D是偶函数，且在 R 上是减函数 2、2017山东高考已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且 f(x4)f(x2)若当 x3,0时，f(x)6x，则 f(919)_.32017全国卷已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x(，0)时，f(x)2x3x2，则 f(2)_.1.【2016 年高考四川】已知函数()f x是定义在 R 上的周期为 2 的奇函数，当 0 x1 时，()4xf x，则5()(1)2ff=.2.【2016 高考山东】已知函数 f(x)的定义域为 R.当 x0，cos x，x0，则下列结论正确的是()Af(x)是偶函数 Bf(x)是增函数 Cf(x

11、)是周期函数 Df(x)的值域为1，)（2014湖南卷）已知 f(x)，g(x)分别是定义在 R 上的偶函数和奇函数，且 f(x)g(x)x3x21，则 f(1)g(1)()A3 B1 C1 D3（2014新课标全国卷）设函数 f(x)，g(x)的定义域都为 R，且 f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是()Af(x)g(x)是偶函数 B|f(x)|g(x)是奇函数 Cf(x)|g(x)|是奇函数 D|f(x)g(x)|是奇函数（2014新课标全国卷）已知偶函数 f(x)在0，)单调递减，f(2)0，若 f(x1)0，则 x 的取值范围是_（2013广东卷）定义域为 R 的四个函数 yx3，y2x，yx21，y2 sin x 中，奇函数的个数是()A4 B3 C2 D1（2013江苏卷）已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数当 x0 时，f(x)x24x，则不等式 f(x)x 的解集用区间表示为_（2013山东卷）已知函数 f(x)为奇函数，且当 x0 时，f(x)x21x，则 f(1)()A2 B0 C1 D2 名师整理，助你成功（2013四川卷）已知 f(x)是定义域为 R 的偶函数，当 x0 时，f(x)x24x，那么，不等式 f(x2)5的解集是_