专题7.2二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题(讲)(原卷版)43855.pdf

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1、 专题 7.2 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题 1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组；2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.知识点一 二元一次不等式(组)表示的平面区域 不等式 表示区域 AxByC0 直线 AxByC0 某一侧的所有点组成的平面区域 不包括边界直线 AxByC0 包括边界直线 不等式组 各个不等式所表示平面区域的公共部分 知识点二 点 P1(x1，y1)和 P2(x2，y2)位于直线 AxByC0 的两侧的充要条件是(Ax1By1C)(Ax2By2C)0.知识点三 简

2、单的线性规划中的基本概念 名称 意义 约束条件 由变量 x，y 组成的不等式(组)线性约束条件 由变量 x，y 组成的一次不等式(组)目标函数 关于 x，y 的函数解析式，如 z2x3y 等 线性目标函数 关于 x，y 的一次函数解析式 可行解 满足线性约束条件的解(x，y)可行域 所有可行解组成的集合 最优解 使目标函数取得最大值或最小值的可行解 线性规划问题 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题 考点一 二元一次不等式(组)表示的平面区域【典例 1】（山东烟台二中 2019 届模拟）(1)不等式组 2xy60，xy30，y2表示的平面区域的面积为()A4 B1 C5 D无穷大

3、(2)若不等式组 xy0，2xy2，y0，xya表示的平面区域是一个三角形，则实数 a 的取值范围是()A.43，B(0,1 C.1，43 D(0,143，【方法技巧】1求平面区域面积的方法(1)首先画出不等式组表示的平面区域，若不能直接画出，应利用题目的已知条件转化为不等式组问题，从而再作出平面区域；(2)对平面区域进行分析，若为三角形应确定底与高若为规则的四边形(如平行四边形或梯形)，可利用面积公式直接求解若为不规则四边形，可分割成几个规则图形分别求解再求和即可 2平面区域的形状问题两种题型及解法(1)确定平面区域的形状，求解时先画满足条件的平面区域，然后判断其形状；(2)根据平面区域的形

4、状求解参数问题，求解时通常先画满足条件的平面区域，但要注意对参数进行必要的讨论【变式 1】（河南开封高级中学 2019 届模拟）若不等式组 xy0，xy20，2xy20所表示的平面区域被直线 l：mxym10 分为面积相等的两部分，则 m()A.12 B2 C12 D2 考点二 求线性目标函数的最值 【典例 2】【2019 年高考北京卷理数】若 x，y 满足|1|xy，且 y1，则 3x+y 的最大值为 A7 B1 C5 D7【方法技巧】线性目标函数的最优解一般在平面区域的顶点或边界处取得，所以直接解出可行域的顶点，将坐标代入目标函数求出相应的数值，从而确定目标函数的最值。【变式 2】【201

5、9 年高考天津卷理数】设变量x，y满足约束条件20,20,1,1,xyxyxy，则目标函数4zxy 的最大值为 A2 B3 C5 D6 考点三 求非线性目标函数的最值【典例 3】（河北邯郸一中 2019 届模拟）(1)若变量 x，y 满足约束条件x1，xy0，x2y20，则yx的最大值为()A.1 B.3 C.32 D.5(2)若 x，y 满足约束条件xy20，2y10，x10，则 zx22xy2的最小值为()A.12 B.14 C.12 D.34【方法技巧】目标函数是非线性形式的函数时，常考虑目标函数的几何意义，常见代数式的几何意义主要有：(1)x2y2表示点(x，y)与原点(0,0)间的距

6、离，（xa）2（yb）2表示点(x，y)与点(a，b)间的距离；(2)yx表示点(x，y)与原点(0,0)连线的斜率，ybxa表示点(x，y)与点(a，b)连线的斜率 【变式 3】（湖北黄冈中学 2019 届调研）若实数 x，y 满足 xy10，x0，y2.则yx的取值范围为_ 考点四 线性规划中的参数问题【典例 4】（河南新乡一中 2019 届质检）已知实数 x，y 满足约束条件y0，yx10，y2x40.若目标函数 zyax(a0)取得最大值时的最优解有无数个，则 a 的值为()A.2 B.1 C.1 或 2 D.1【方法技巧】解决这类问题时，首先要注意对参数取值的讨论，将各种情况下的可行

7、域画出来，以确定是否符合题意，然后在符合题意的可行域里，寻求最优解，从而确定参数的值【变式 4】（广东中山一中 2019 届模拟）已知 x，y 满足约束条件 xy40，x2，xyk0，且 zx3y 的最小值为 2，则常数 k_.考点五 线性规划的实际应用【典例 5】(2017天津卷)电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如表所示.连续剧播放时长/分钟 广告播放时长/分钟 收视人次/万 甲 70 5 60 乙 60 5 25 已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于 600 分钟，广告的总播放时间

8、不少于 30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的 2 倍分别用 x，y 表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数(1)用 x，y 列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；(2)问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？【举一反三】(2016全国卷)某高科技企业生产产品 A 和产品 B 需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品 A 需要甲材料 1.5 kg，乙材料 1 kg，用 5 个工时；生产一件产品 B 需要甲材料 0.5 kg，乙材料 0.3 kg，用 3 个工时，生产一件产品 A 的利润为 2 100 元，生产一件产品 B 的利润为 900 元

9、.该企业现有甲材料 150 kg，乙材料 90 kg，则在不超过 600 个工时的条件下，生产产品 A、产品 B 的利润之和的最大值为_元.【方法技巧】1.解线性规划应用题的步骤.(1)转化设元，写出约束条件和目标函数，从而将实际问题转化为线性规划问题；(2)求解解这个纯数学的线性规划问题；(3)作答将数学问题的答案还原为实际问题的答案.2.解线性规划应用题，可先找出各变量之间的关系，最好列成表格，然后用字母表示变量，列出线性约束条件，写出要研究的函数，转化成线性规划问题.【变式 5】（江西九江一中 2019 届模拟）某高新技术公司要生产一批新研发的 A 款产品和 B 款产品，生产一台 A 款产品需要甲材料 3 kg，乙材料 1 kg，并且需要花费 1 天时间，生产一台 B 款产品需要甲材料 1 kg，乙材料 3 kg，也需要 1 天时间，已知生产一台 A 款产品的利润是 1 000 元，生产一台 B款产品的利润是 2 000 元，公司目前有甲、乙材料各 300 kg，则在不超过 120 天的情况下，公司生产两款产品的最大利润是_元