圆锥曲线大题题型归纳(20191210230318)25230.pdf

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1、.圆锥曲线大题题型归纳 基本方法：1 待定系数法：求所设直线方程中的系数，求标准方程中的待定系数 a、b、c、e、p 等等；2 齐次方程法：解决求离心率、渐近线、夹角等与比值有关的问题；3 韦达定理法：直线与曲线方程联立，交点坐标设而不求，用韦达定理写出转化完成。要注意：如果方程的 根很容易求出，就不必用韦达定理，而直接计算出两个根；4 点差法：弦中点问题，端点坐标设而不求。也叫五条等式法：点满足方程两个、中点坐标公式两个、斜率 公式一个共五个等式；5 距离转化法：将斜线上的长度问题、比例问题、向量问题转化水平或竖直方向上的距离问题、比例问题、坐标问题；基本思想：1“常规求值”问题需要找等式，

2、“求范围”问题需要找不等式；2“是否存在”问题 当作存在 去求，若不存在则计算时自然会无解；3证明“过定点”或“定值”，总要设一个或几个参变量，将对象表示出来，再 说明与此变量无关；4证明不等式，或者求最值时，若不能用几何观察法，则必须用函数思想将对象表示为变量的函数，再解决；5有些题思路易成，但难以实施。这就要 优化方法，才能使计算具有 可行性，关键是积累“转化”的经验；6大多数问题只要 忠实、准确 地将题目每个条件和要求表达出来，即可自然而然产生思路。题型一：求直线、圆锥曲线方程、离心率、弦长、渐近线等常规问题 例 1、x2 y 2 =60，则 F PF 的面积为多少？已知 F，F 为椭圆

3、+=1 的两个焦点，P 在椭圆上，且 F PF 1 2 1 2 1 2 100 64 点评：常规求值问题的方法 ：待定系数法，先设后求，关键在于找等式。已知 F1,F2 分别是双曲线 3x2 5 y2 75 的左右焦点，P 是双曲线右支上的一点，且 F1 PF2=120 ，求 F1 PF2 的面积。.变式 1-2（2011?孝感模拟）已知 F，F 为椭圆 x2 y 2 1 (0 10)的左、右焦点，P 是椭圆上一点 1 2 100 b2 b （1）求|PF 1|?|PF2|的最大值；（2）若 F1 PF2=60且 F1PF2 的面积为 64 3，求 b 的值 3 题型二 过定点、定值问题 例

4、2、（2007 秋?青羊区校级期中）如图，抛物线 S 的顶点在原点 O，焦点在 x 轴上，ABC 三个顶点都在抛物线上，且 ABC 的重心为抛物线的焦点，若 BC 所在直线方程为 4x+y-20=0，（）求抛物线的方程；.（）是否存在定点 M，使过 M 的动直线与抛物线 S 交于 P、Q 两点，且 OP OQ 0，证明你的结论 处理定点问题的方法：常把方程中参数的同次项集在一起，并令各项的系数为零，求出定点；也可先取参数的特殊值探求定点，然后给出证明。变式 2-1 （2012 秋?香坊区校级期中）已知抛物线 y2=2px（p0）的焦点为 F，过 F 且斜率为 3 直线与抛物线在 x 轴上方的交

5、点为 M，过 M 作 y 轴的垂线，垂足为 N，O 为坐标原点，若四边形 OFMN 的面积为 4 3 （1）求抛物线的方程；（2）若 P，Q 是抛物线上异于原点 O 的两动点，且以线段 PQ 为直径的圆恒过原点 O，求证：直线 PQ 过定点，并指出定点坐标.例 3、（2014 秋?市中区校级月考）已知椭圆 C：x 2 y 2 1（a b0），过焦点垂直于长轴的弦长为 1，且焦 a 2 b2 点与短轴两端点构成等边三角形 （I）求椭圆的方程；（）过点 Q（-1，0）的直线 l 交椭圆于 A，B 两点，交直线 x=-4 于点 E，判断 +是否为定值，若是，计算出该定值；不是，说明理由.点评：证明定

6、值问题的方法：常把变动的元素用参数表示出来，然后证明计算结果与参数无关；也可先在特殊条件下求出定值，再给出一般的证明 变式 3-1（2012 秋?沙坪坝区校级月考）已知椭圆 x2 y 2 1 (a b 0)的离心率为 焦距为 2 a2 b2 （1）求椭圆的方程；（2）过椭圆右焦点且垂直于 x 轴的直线交椭圆于 P，Q 两点，C，D 为椭圆上位于直线 PQ 异侧的两个动点，满足 CPQ=DPQ，求证：直线 CD 的斜率为定值，并求出此定值.例 4、过抛物线 y 2 4ax（a 0 A、B 两点，如果 AOB（O 为原点）的焦点 F 作任意一条直线分别交抛物线于 的面积是 S，求证：S2 为定值。

7、AB.变式 4-1 （2014?天津校级二模）设椭圆 C：x2 y 2 1（a b0）的一个顶点与抛物线 C：x 2=4 3 y a2 b2 的焦点重合，F，F 分别是椭圆的左、右焦点，且离心率 e=1 且过椭圆右焦点 F 的直线 l 与椭圆 C 交于 M、N 两点 1 2 2 2 （1）求椭圆 C 的方程；（2）是否存在直线 l，使得 若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，说明理由 （3）若 AB 是椭圆 C 经过原点 O 的弦，MN AB，求证：为定值.题型三“是否存在”问题 例 5、（2012 秋?昔阳县校级月考）已知定点 A（-2，-4），过点 A 作倾斜角为 45的直线 l，交抛物

8、线 y2=2px（p 0）于 B、C 两点，且|BC|=2 10 （）求抛物线的方程；（）在（）中的抛物线上是否存在点 D，使得|DB|=|DC|成立？如果存在，求出点 D 的坐标；如果不存在，请说 明理由.变 式 5-1（2013?柯城区校级三模）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在 y 轴上，且过点（2，1）（）求抛物线的标准方程；（）是否存在直线 l：y=kx+t，与圆 x2+（y+1）2=1 相切且与抛物线交于不同的两点 M，N，当 MON 为钝角时，有 SMON=48 成立？若存在，求出直线的方程，若不存在，说明理由.变式 5-2（2010?北京）在平面直角坐标系 xOy 中，点 B

9、与点 A（-1，1）关于原点 O 对称，P 是动点，且直线 AP 与 BP 的斜率之积等于 1 3 （）求动点 P 的轨迹方程；（）设直线 AP 和 BP 分别与直线 x=3 交于点 M，N，问：是否存在点 P 使得 PAB 与 PMN的面积相等？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由.题型四 最值问题 例 6、（2012?洛阳模拟）在平面直角坐标系中 xOy 中，O 为坐标原点，A（-2，0），B（2，0），点 P 为动点，且 直线 AP 与直线 BP 的斜率之积为 3 4 （1）求动点 P 的轨迹 C 的方程；（2）过点 D（1，0）的直线 l 交轨迹 C 于不同的两点 M，N，M

10、ON 的面积是否存在最大值？若存在，求出 MON的 面积的最大值及相应的直线方程；若不存在，请说明理由 .点评：最值问题的方法：几何法、配方法（转化为二次函数的最值）、三角代换法（转化为三角函数的最值）、利用 切线的方法、利用均值不等式的方法等。变式 6-1 （2015?高安市校级一模）已知方向向量为 （1，3）的直线 l 过点（0，-2 3）和椭圆 C：x2 y2 1（a b0）的右焦点，且椭圆的离心率为 1 a2 b2 2 （1）求椭圆 C 的方程；（2）若过点 P（-8，0）的直线与椭圆相交于不同两点 A、B，F 为椭圆 C 的左焦点，求三角形 ABF面积的最大值.变式 6-2 （201

11、4?蚌埠三模）在平面直角坐标系 xOy 中，如图，已知椭圆 C：x2 y2 1 的上、下顶点分别为 A、4 B，点 P 在椭圆 C 上且异于点 A、B，直线 AP、BP 与直线 l：y=-2 分别交于点 M、N；（）设直线 AP、BP 的斜率分别为 k1，k2 求证：k1?k2 为定值；（）求线段 MN 长的最小值；（）当点 P 运动时，以 MN 为直径的圆是否经过某定点？请证明你的结论.题型五 求参数的取值范围 例 7、（2012 春?荔湾区校级期中）如图，已知椭圆 x2 y2 1=1（a b 0）的离心率为 3，且经过点 M（2，a2 b2 2 1）平行于 OM 的直线 l 在 y 轴上的

12、截距为 m（m0），l 与椭圆有 A、B 两个不同的交点 （）求椭圆的方程；（）求 m 的取值范围；（）求证：直线 MA、MB 与 x 轴始终围成一个等腰三角形.变式 7-1（2006 秋?宁波期末）已知动圆过定点 P（0，1），且与定直线 y=-1 相切 （1）求动圆圆心的轨迹 M的方程；（2）设过点 Q（0，-1）且以 为方向向量的直线 l 与轨迹 M相交于 A、B 两点若 APB为钝角，求直线 l 斜率的取值范围 变式 7-2（2014?苍南县校级模拟）已知抛物线 C：y 2=4x 焦点为 F，过 F 的直线交抛物线 C 于 A，B 两点，l 1、l 2 分别过点 A、B 且与抛物线 C

13、 相切，P 为 l 1、l 2 的交点 .（1）求证：动点 P 在一条定直线上，并求此直线方程；（2）设 C、D 为直线 l 1、l 2 与直线 x=4 的交点，PCD 面积为 S1，PAB 面积为 S2，求 S1 的取值范围 S2 小结.解析几何在高考中经常是两小题一大题：两小题经常是常规求值类型，一大题中的第一小题也经常是常规求值 问题，故常用方程思想先设后求即可。解决第二小题时常用韦达定理法结合以上各种题型进行处理，常按照以下七 步骤：一设直线与方程；（提醒：设直线时分斜率存在与不存在；设为 y=kx+b 与 x=mmy+n 的区别）二设交点坐标；（提醒:之所以要设是因为不去求出它,即“

14、设而不求 ”）三则联立方程组；四则消元韦达定理；条件重转化；常有以下类型：（提醒：抛物线时经常是把抛物线方程代入直线方程反而简单）五根据 “以弦 AB 为直径的圆过点 0”OA OB K1 K 2 1（提醒：需讨论 K 是否存在）OA OB 0 x1 x2 y1 y2 0 “点在圆内、圆上、圆外问题”“直角、锐角、钝角问题”“向量的数量积大于、等于、小于 0 问题”x1 x2 y1 y2 0；“等角、角平分、角互补问题”斜率关系（K1 K2 0或 K1 K2）；“共线问题”（如：AQ QB 数的角度：坐标表示法；形的角度：距离转化法）；（如：A、O、B 三点共线 直线 OA与 OB斜率相等）；“点、线对称问题”坐标与斜率关系；“弦长、面积问题”转化为坐标与弦长公式问题（提醒：注意两个面积公式的合理选择）；六则化简与计算；七则细节问题不忽略；判别式是否已经考虑；抛物线问题中二次项系数是否会出现 0.