2020年中考数学压轴大题冲刺突破训练专题：圆中证明及存在性问题(全国版含解析)44811.pdf

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1、1专题：圆中证明及存在性问题【例 1】（2019河南南阳一模）如图，已知A的半径为 4，EC 是圆的直径，点 B是A的切线 CB 上一个动点，连接 AB 交A于点 D，弦 EF AB，连接 DF，AF.（1）求证：ABCABF；（2）当CAB=时，四边形 ADFE为菱形；（3）当 AB=时，四边形 ACBF为正方形.ACBDFE【分析】（1）由 EF AB，得EFA=FAB，CAB=AEF，又AEF=AFE，得：BAC=BAF，又 AB=AB，AC=AF，证得 ABCABF；（2）连接 FC，根据 ADFE为菱形，确定出CAB的度数；（3）由四边形 ACBF是正方形，得 AB=2AC=42.【

2、解析】解：（1）EF AB，EFA=FAB，CAB=AEF，AE=AF，2AEF=AFE，BAC=BAF，又 AB=AB，AC=AF，ABCABF（SAS）；（2）如图，连接 FC，ACBDFE四边形 ADFE是菱形，AE=EF=FD=AD，CE=2AE，CFE=90，ECF=30，CEF=60，EF AB，AEF=CAB=60，故答案为：60；（3）由四边形 ACBF是正方形，得 AB=2AC=42.【变式 1-1】（2019开封二模）如图，在 ABD 中，AB AD，AB 是O的直径，DA、DB 分别交O于点 E、C，连接 EC，OE，OC（1）当BAD 是锐角时，求证：OBCOEC；（2

3、）填空：若 AB 2，则 AOE的最大面积为；当 DA 与O相切时，若 AB 2，则 AC 的长为3【答案】（1）见解析；（2）12；1.【解析】解：（1）连接 AC，AB 是O的直径，AC BD，AD AB，BACDAC，BC EC，又OB=OE，OC=OC，OBCOEC（SSS），（2）AB 2，OA 1，设 AOE 的边 OA 上的高为 x，S AOE12OA h12h，要使 S AOE最大，需 h 最大，点 E在O上，h 最大是半径，即：h最大1S AOE最大为：12；如图所示，当 DA 与O相切时，则DAB90，4AD AB 2，ABD45，AB 是直径，ADB90，AC BC 22

4、AB=1.【例 2】（2019济源一模）如图，ABC 中，AB=AC，以 AB 为直径的O 与 BC 相交于点 D，与 CA的延长线相交于点 E，过点 D 作 DF AC 于点 F（1）试说明 DF是O 的切线；（2）当C=时，四边形 AODF为矩形；当 tanC=时，AC=3AE【答案】见解析.【解析】解：（1）证明：连接 OD，OB=OD，B=ODB，AB=AC，B=C，ODB=C，OD AC，DF AC，5OD DF，点 D在O上，DF 是O的切线；（2）45，理由如下：由四边形 AODF为矩形，得BOD=90，B=45，C=B=45，故答案为：45；（3）22，理由如下，连接 BE，A

5、B 是直径，AEB=90，AB=AC，AC=3AE，AB=3AE，CE=4AE，BE2=AB2AE2=8AE2，即 BE=2 2AE，在 Rt BEC中，tanC=2 2242BECECECE.故答案为：22.【变式 2-1】（2019安阳一模）如图，在 ABC中，AB=AC=4，以 AB 为直径的O交 BC 于点 D，交AC 于点 E，点 P是 AB 的延长线上一点，且PDB=12A，连接 DE，OE（1）求证：PD 是O的切线（2）填空：当P的度数为_时，四边形 OBDE是菱形；当BAC=45时，CDE 的面积为_【答案】（1）见解析；（2）30；2 22.【解析】解：（1）连接 OD，6

6、OB=OD,PDB=12A，ODB=ABD=9012A=90PDB，ODB+PDB=90，ODP=90，OD 是O的半径，PD 是O的切线.（2）30，理由如下：P=30，则BOD=60，BOD 是等边三角形，ADP=30，A=60，AOE 是等边三角形，即AOE=60，EOD=60，ODE 是等边三角形，OB=BD=DE=OE，即四边形 OBDE是菱形；连接 BE，AD，如上图，AB 为直径，ADB=90，即 AD BC，AEB=90，AB=AC，D为 BC 中点，S DCE=12S BCE，BAC=45，AE=BE，ABE是等腰直角三角形，AB=AC=4，AE=BE=2 2，CE=4-2

7、2，7S DCE=12S BCE，=1212BE CE=12122 2（4-2 2）=2 22.【例 3】（2019洛阳三模）如图，AB 是O 的直径，点 C是O 上一点，AD和过点 C的切线互相垂直，垂足为 D，直线 DC与 AB 的延长线相交于点 P（1）求证：AC2=AD AB（2）点 E是ACB 所对的弧上的一个动点（不包括 A，B两点），连接 EC 交直径 AB 于点 F，DAP=64当ECB=时，PCF 为等腰三角形；当ECB=时，四边形 ACBE为矩形【答案】见解析.【解析】解：（1）连接 OC，CD 是切线，OC CD，AD CD，8OC AD，ACO=CAD，OA=OC，AC

8、O=CAO，CAD=CAO，AB 为直径，ACB=D=90，ACDABC，AD ACAC AB,即：AC2=AD AB（2）45；58，理由如下：DAP=64，P=26，CAB=DAC=32，CFP是 ACF的外角，CFP32，即CFPP，由PCB=CAB=32，知FCPPCBP，由 PCD 为等腰三角形，得 PC=PF,CFP=77，ACF=45，ECB=90ACF=45，故答案为：45；由 ACBE是矩形，得 F与 O重合，ECB=90ACO=9032=58，故答案为：58.【变式 3-1】（2019洛阳二模）如图，ABC 内接于O，过点 B的切线 BE AC，点 P是优弧 AC 上一动点

9、（不与 A，C重合），连接 PA，PB，PC，PB 交 AC 于 D（1）求证：PB 平分APC；（2）当 PD=3，PB=4 时，求 AB 的长9【答案】见解析.【解析】解：（1）证明：连接 OB，则 OB BE，BE AC，OB AC，弧 AB=弧 BC，APB=BPC，PB 平分APC；（2）由（1）知，APB=BPC，BAC=BPC，BAC=APB，ABD=PBA，ABDPBA，AB BDPB AB,即14ABABAB=2，即 AB 的长为 2.101.（2018河师大附中模拟）如图，在 RtABC中，ACB=90，以 AC 为直径的O与 AB 交于点 D，过 D作O的切线交 CB 于

10、 E.（1）求证：EB=EC；（2）若以点 O、D、E、C为顶点的四边形是正方形，试判断ABC的形状，并说明理由.【答案】见解析.【解析】解：（1）证明：连接 OD，AC 为直径，ACB=90，BC 为O的切线，DE 是O的切线，DE=CE，ODE=90，ODA+EDB=90，OA=OD，OAD=ODA，OAD+B=90，B=EDB，DE=BE，EB=EC；（2）ABC是等腰直角三角形，理由如下：四边形 ODEC是正方形，DEB=90，11由（1）知 CE=BE，BED 是等腰直角三角形，B=45，A=45，即 AC=BC，又ACB=90，ABC是等腰直角三角形.2.（2019焦作二模）如图，

11、以 Rt ABC的直角边 AB 为直径作O与斜边 AC 交于点 D，E为 BC 边的中点，连接 DE，OE（1）求证：DE 是O的切线（2）填空：当CAB=时，四边形 AOED是平行四边形；连接 OD，在的条件下探索四边形 OBED的形状为.【答案】（1）见解析；（2）45；正方形.【解析】（1）连接 OD，BD，AB 为直径，BDC=ADB=90，E为 BC 的中点，DE=BE=CE，12OD=OB，OE=OE，ODEOBE，ODE=OBE=90，OD DE，即 DE 是O的切线.（2）若四边形 AOED是平行四边形，则 DE AB，A=CDE，CDE=C，A=C，ABC=90，A=45；由

12、A=45，得 ADO=45，即 DOB=90，EBO=ODE=90，四边形 OBED是矩形，四边形 AOED是平行四边形，EOB=A=45，EOB=OEB=45，OB=BE，四边形 OBED是正方形.3.（2019周口二模）如图，在 RtABC中，B=90，AB=6，CD 平分ACB交 AB 于点 D，点 O在AC 上，以 CO 为半径的圆经过点 D，AE 切O于 E（1）求证：AD=AE（2）填空：当ACB=_时，四边形 ADOE是正方形；当 BC=_时，四边形 ADCE是菱形13【答案】见解析.【解析】解：（1）证明：连接 OE，CD 平分ACB，OCD=BCD，OC=OD，OCD=ODC

13、，ODC=BCD，OD BC，B=90，ADO=90，AD 是圆 O的切线，AE 是圆 O的切线，AD=AE.（2）45；23，理由如下：ADOE是正方形，OD=AD，OAD=45，ACB=45；四边形 ADCE为菱形，14AD=CD，CAD=ACD，BCD=ACD，CDB=60，BCD=30，CD=2BD，AB=6，BD=2，BC=23,故答案为：45；23.4.（2018信阳一模）如图，AB 是O的弦，D为半径 OA 的中点，过 D作 CD OA 交弦 AB 于点 E，交O于点 F，且 CE=CB（1）求证：BC 是O的切线；（2）连接 AF，BF，求ABF的度数【答案】见解析.【解析】解

14、：（1）证明：连结 OB，CE=CB，CBE=CEB，CD OA，DAE+AED=90，CEB=AED，DAE+CBE=90，OA=OB，15OAB=OBA，OBA+CBE=90，即OBC=90，BC 是O的切线；（2）解：连结 OF，OF 交 AB 于 H，（见上图）DF OA，AD=OD，FA=FO，OF=OA，OAF 为等边三角形，AOF=60，ABF=12AOF=305.（2019南阳毕业测试）如图，在ACE中，AC CE，O经过点 A，C，且与边 AE，CE 分别交于点 D，F，点 B是劣弧 AC 上的一点，且弧 BC=弧 DF，连接 AB，BC，CD 求证：CDEABC【答案】见解

15、析.【解析】证明：连接 DF，AC CE，CAEE，四边形 ACFD内接于O，CAE+CFD=180，CFD+DFE=180，16CAEDFE，DFEE，DF DE，弧 BC=弧 DF，BC DF，BC DE，四边形 ABCD内接于O，同理可得：B CDE，在CDE 和ABC中，AC=CE，ABC=CDE，BC=DE，CDEABC6.（2019濮阳二模）如图，AB 是半圆 O的直径，点 P是半圆上不与点 A，B重合的动点，PC AB，点 M是 OP 中点（1）求证：四边形 OBCP是平行四边形；（2）填空：当BOP时，四边形 AOCP是菱形；连接 BP，当ABP时，PC 是O的切线【答案】（1

16、）见解析；（2）120；45【解析】（1）证明：PC AB，PCMOAM，CPMAOM点 M是 OP 的中点，OM PM，CPMAOM，PC OA OA OB，PC OB 17PC AB，四边形 OBCP是平行四边形（2）解：四边形 AOCP是菱形，OA PA，OA OP，OA OP PA，AOP 是等边三角形，A AOP60，BOP120；PC 是O的切线，OP PC，OPC90，PC AB，BOP90，OP OB，ABPOPB45.7.（2019南阳模拟）如图，AB 为O的直径，F为弦 AC 的中点，连接 OF 并延长交弧 AC 于点 D，过点 D作O的切线，交 BA 的延长线于点 E（1

17、）求证：AC DE；（2）连接 AD、CD、OC 填空当OAC 的度数为时，四边形 AOCD为菱形；当 OA AE 2 时，四边形 ACDE的面积为【答案】（1）见解析；（2）30；23【解析】（1）证明：F为弦 AC 的中点，AF CF，OF 过圆心 OFO AC，即OFA=90，18DE 是O切线，OD DE即EDO=90，DE AC.（2）当OAC30时，四边形 AOCD是菱形，理由如下：连接 CD，AD，OC，OAC30，OF ACAOF60AO DO，AOF60ADO 是等边三角形AF DODF FO，AF CF，四边形 AOCD是平行四边形AO CO四边形 AOCD是菱形.连接 C

18、D，AC DE,OA=AE=2，OD 2OF，DE 2AFAC 2AF，DE AC，且 DE AC四边形 ACDE是平行四边形OA AE OD 2OF DF 1，OE 4在 RtODE 中，由勾股定理得：DE 23，19S四边形ACDEDE DF23123答案为：23.8.（2019商丘二模）如图，在 RtABC中，BAC90，C 30，以边上 AC 上一点 O为圆心，OA 为半径作O，O恰好经过边 BC 的中点 D，并与边 AC 相交于另一点 F（1）求证：BD 是O的切线（2）若 AB 3，E是半圆 AGF 上一动点，连接 AE，AD，DE 填空：当弧 AE 的长度是时，四边形 ABDE是

19、菱形；当弧 AE 的长度是时，ADE是直角三角形【答案】（1）见解析；（2）23；3或【解析】（1）证明：连接 OD，在 RtABC中，BAC90，C 30，AB 12BC，D是斜边 BC 的中点，BD 12BC，20AB BD，BADBDA，OA OD，OADODA，ODBBAO90，即 OD BC，BD 是O的切线（2）若四边形 ABDE是菱形，连接 OE，则 AB DE，BAC=90，DE AC，得：AD BD AB CD 12BC 3，ABD 是等边三角形，OD 1，ADB60，CDE60，ADE180ADBCDE60，AOE2ADE120，弧 AE 的长度为：1201180=23；故

20、答案为：23；AD 为弦（不是直径），AED90，（i）若ADE90，则点 E与点 F重合，弧 AE 的长度为：1801180；（ii）若DAE90，则 DE 是直径，则AOE2ADO60，21弧 AE 的长度为：601180=13；故答案为：13 或 9.（2019开封二模）如图，在 RtABC中，ACB90，以点 A为圆心，AC 为半径，作A，交 AB于点 D，交 CA 的延长线于点 E，过点 E作 AB 的平行线交A于点 F，连接 AF，BF，DF（1）求证：ABCABF；（2）填空：当CAB时，四边形 ADFE为菱形；在的条件下，BC cm 时，四边形 ADFE的面积是 63cm2【答

21、案】（1）见解析；（2）60；6【解析】（1）证明：EF AB，E CAB，EFAFAB，AE=AF，E EFA，FABCAB，又AF=CA，AB=AB，ABCABF；（2）当CAB60时，四边形 ADFE为菱形由CAB60，得FADEAF60，EF AD AE=DF，四边形 ADFE是菱形四边形 AEFD是菱形，AEFCAB60，236 32AE，AE 2 3，22AC=2 3，BC=3AC=6.10.（2019名校模考）如图，在 RtABC中，ACB90，以直角边 BC 为直径作O，交 AB 于点 D，E为 AC 的中点，连接 DE.（1）求证：DE 为O的切线；（2）已知 BC 4填空：

22、当 DE 时，四边形 DOCE为正方形；当 DE 时，BOD 为等边三角形【答案】（1）见解析；（2）2；23.【解析】（1）证明：连接 CD，OE，BC 为O的直径，BDC90，DE 为 RtADC 的斜边 AC 上的中线，DE=CE=AE，OD CC，OE OE，COEDOE，OCEODE90，即 DE 为O的切线；（2）解：若四边形 DOCE为正方形，则 OC OD DE CE，BC 4，DE 223若BOD 为等边三角形，则BOD60，COD180BOD120，DOE60，DE 3OD=23故答案为：2，2311.（2019枫杨外国语三模）如图，O 是ABC 的外接圆，AB 为直径，B

23、AC 的平分线交O 于点 D，过点 D 作 DE AC，分别交 AC，AB 的延长线于点 E，F（1）求证：EF 是O 的切线（2）当BAC 的度数为时，四边形 ACDO 为菱形；若O 的半径为 5，AC=3CE，则 BC 的长为【答案】（1）见解析；（2）60；8.【解析】（1）连接 OD，OA OD，OADODA，AD平分EAF，DAEDAO，DAEADO，OD AE，AE EF，OD EF，EF 是O 的切线；（2）连接 CD，当BAC=60时，四边形ACDO 为菱形；BAC60，AOD120，OA OD，OADODA30，CAD30，OD AE，OADADC30，CAOADC30，AC CD，24AD AD，ACDAOD，AC AO，AC AO CD OD，四边形 ACDO 为菱形；设 OD与 BC 交于 G，AB 为直径，ACB90，DE AC，可得四边形 CEDG是矩形，DG CE，AC 3CE，OG 12AC 1.5CE，OD 2.5CE 5，CE 2，AC 6，AB 10，由勾股定理得：BC 8