行列式及其计算(修改好的)23836.pdf

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1、-.z.行列式及其计算 行列式的定义：n阶行列式111212122212.nnnnnnnaaaaaaDaaa121212(.)12.(1).nnnp ppppnpp ppaaa 1n阶行列式是!n项的代数和；2每一项为哪一项取自不同行不同列的n个元素的乘积1212.nppnpaaa12.np pp是1,2,n的一个排列；3当12.np pp是偶排列时,1212.nppnpaaa带正号,当12.np pp是奇排列时,1212.nppnpaaa带负号.概念题 例 1.求xxxxxxD22132121332154的展开式中的常数项 及*4、3x的系数 解：45123312()123122xxxDf

2、xxxx，展开式中的常数项为01230012(0)12030120f123003010120123312120120*4的系数为30，含3x的项为(2134)(4231)(1)12(1)33ttxxxxxx，系数为 7 行列式的性质与展开 行列式的性质-.z.1.行列式D与其转置行列式TD相等(即TDD).2.交换行列式的两行(或列),行列式改变符号即ijijrrccDDDD 或.3.行列式中*行(或列)的公因子可以提到行列式符号外面做因子.即1(0)1irkkDkD或1(0)1ickkDkD 4.n阶行列式D可以按第i行(或列)拆成两个行列式1D与2D的和，即12DDD.其中D的第i行(或列

3、)为1D与2D的第i行(或列)的和；D，1D，2D的其余各行(或列)对应元素则同的完全一样.5.把行列式*一行(或列)的元素同乘一数后加到另一行(或列)的对应位置元素上,行列式的值不变.即1ijr krDD或1ijckcDD 行列式的展开 1.n阶行列式D的*行或列元素与对应元素的代数余子式乘积之和为D.2.行列式的*行或列元素与另一行或列对应元素的代数余子式乘积之和为 0.即1122()0()ikikinknD ika Aa Aa Aik 行列式计算的常用方法 1.1利用性质将行列式化为三角形行列式三角形行列式的值等于对角线元素之积.2利用依行、依列展开转化为低阶行列式的计算或给出递推公式、

4、或利用数学归纳法.3化简与展开同时进展先化简，再按零较多的行或列展开.行列式化简时注意-.z.1.尽量防止分数运算；2.展开时注意代数余子式与余子式相差的的符号(1)ij.3.化三角形行列式时，化好的阶梯所在行不要再用来化简下面的行.4.行列式中的元素如果都是整数，则行列式的值一定是整数.例 1 计算行列式3201116011103102D 解：2131134133320111101110116011600270111032010131310231020432rrrrrrrrD 如对1110027001310432继续化简时不要再用第一行化简下面的行，否则就将第一列化好的阶梯破坏了。化简与展开

5、可以同时进展。例 2.计算111121121311113211102D 解：1323231124303433122216041111641211121112121232132013201rrrrD 例 3.行列式00000000ababcdcd -.z.A.2adbc；B.2adbc；C.2222a db c；(D)2222b ca d 例 4：计算：1221231341nnnnnnnnnnDnnnnnnnnnn 解：1(,1,2)122111110111001100010000kkrrkn nnnnnD12(1)n nn 注意：ija的代数余子式与ija所在位置,i j有关，而与ija的取值

6、无关。设nijnDa，则：11221kknknb Ab Ab AD，11222kknnkb Ab Ab AD 其中1112112112.nnnnnnaaabbbDaaa是用12,nb bb换nD的第k行得到的行列式的值；1111212221.nnnnnnabaabaDaba是用12,nb bb换nD的第k列得到的行列式的值.例 5.求行列式2235007022220403，则第 4 行各元素余子式之和 解：4142434441424344MMMMAAAA 利用行和 或列和 为定值的行列式计算时，通常将元素加到一列上 或一行上，再取公因式.-.z.例 1 计算abbbabDbab 例 2 计算

7、11abcdbcadDcdabdabc 解：101ababcdbcabcdDcdabcddaabcd 例 3 12121123123nnnnxaaaaxaaDaaaaaaax 解：121121212111232312323111()11nininnnininnnniinnininniiaxaaaaaaaaxxaaxaaaDaxaaxaaxaaaaaaxaxaax 有些行列式行和或列和虽然不是定值，但是，各行元素形式类同，行和或列和形式类同.例 4 证明 222222111111baaccbbaaccbbaaccb=2222111cbacbacba 证明：11111111111112222222

8、2222222bccaababccaabbccaababccaabbccaababccaab-.z.利用爪型箭型行列式行列式计算 例 1 12121212nnananDna1 2(0)na aa.解：原行列式 例 21231123112311231nnnnnnnnnxaaaaaxaaaDaaxaaaaaax (其iixa,i=1,2,n)的值.例 3 计算行列式121221120nnninnaaaDaaaaaa.利用递推公式：通常将行列式按一行列展开或拆分得到递推公式 例 1：121100010001nnnxxDxaaaxa 例 2：11211nnnnnababDcdcd 一三对角行列式行列式

9、按一行列展开得到递推公式 解：120nnnDaDbcD.令,是方程20 xaxbc的两个根，则,abc，则120nnnDDD，同上题解出即可.-.z.例 1 001010001nD 解：1 212(1)nnnDDD 所以211221nnnnnnDDDDDD 如果，则同理有1nnnDD，解得nnnD 如果，则1nnnDD，例 2 2221212naaadaa2021 年考试题 利用拆行或拆列 例：33()axbyaybzazbxxyzaybzazbxaxbyabyzxazbxaxbyaybzzxy 左式12axayazbybzbxaybzazbxaxbyaybzazbxaxbyDDazbxaxb

10、yaybzazbxaxbyaybz 类似有1323322(1)rrrryzxxyzDbzxyyzxxyzzxy,所以33()axbyaybzazbxxyzaybzazbxaxbyabyzxazbxaxbyaybzzxy 利用公式ABA B计算行列式.其中A，B是数域上的n阶方阵-.z.例 1 证明：1111111112222222222bccaababcbccaababcbccaababc 证明1111111111112222222222220111012110bccaababcabcbccaababcabcbccaababcabc.例 2：33()axbyaybzazbxxyzaybzazb

11、xaxbyabyzxazbxaxbyaybzzxy 利用范德蒙行列式 范德蒙行列式：1232222123111111231111()nnijj i nnnnnnxxxxxxxxxxxxxx 例 1 计算1n阶行列式 11111()(1)(1)()(1)(1)111111nnnnnnnnnananaaananaaDananaa 解：依次换行 上式右端的行列式已是范德蒙行列式，故利用范德蒙行列式的结果得：行列式的应用克拉默法则 1.设n个变量，n个方程的线性方程组为 11 11221121 1222221 122,.nnnnnnnnnna xa xa xba xa xa xba xa xa xb

12、如 果 方 程 组 的 系 数 行 列 式0ijnDa，则 方 程 组 有 唯 一 解：,1,2,.,.jjDxjnD.-.z.其中(1,2,)jDjn是D中第j列换成常数项12,nb bb其余各列不变得到的行列式，即：jD=nnnjnnjnnjjnjjaabaaaabaaaabaa.1112122122111111111 2.设齐次线性方程组为11 1122121 122221 1220,0,0.nnnnnnnnna xa xa xa xa xa xa xa xa x 1如果系数行列式0D，则该齐次线性方程组只有零解；2如果该齐次线性方程组有非零解，则它的系数行列式0D 注意：克拉默法则只适合方程个数与未知量个数一样，且系数行列式不为零的线性方程组的求解.例 1：用克拉默法则解线性方程组 122313223(0)0bxaxabcxbxbcabccxax；解：002350baDcbabcca，212023500abaDbccba bca 22200350babDbcbab cca，2202500baabDcbcabcc 例 2：当为何值时，齐次线性方程组 0 0 0433221321xxxxxxx(1)仅有零解；(2)有非零解-.z.解：3410(1)(3)01D，11且3时0D，该齐次线性方程组只有零解。