概率论第一章习题解答48175.pdf

《概率论第一章习题解答48175.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《概率论第一章习题解答48175.pdf（6页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、.学习帮手 .1.写出下列随机试验的样本空间：1)记录一个小班一次数学考试的平均分数（以百分制记分）；2)一个口袋中有 5 个外形相同的球，编号分别为 1、2、3、4、5，从中同时取出 3 个球；3)某人射击一个目标，若击中目标，射击就停止，记录射击的次数；4)在单位圆内任意取一点，记录它的坐标.解：1）设小班共有n个学生，每个学生的成绩为0到100的整数，分别记为nx，xx,1，则全班平均分为nxxnii1，于是样本空间为 100,2,1,0nnnnS=100,3,2,1,0|nini 2）所有的组合数共有1035C种，345,245,235,234,145,135,134,125,124,

2、123S 3）至少射击一次，,3,2,1S 4）单位圆中的坐标),(yx满足122 yx，1|),(22yxyxS 2.已知BA，3.0)(AP，5.0)(BP，求)(AP，)(ABP，)(BAP和)(BAP.解)(AP7.03.01)(1AP 3.0)()(APABP（因为BA）)(BAP2.0)()()(APBPABP 5.0)()(BPBAP（因为BA，则AB）3.设有10 件产品，其中 6 件正品，4 件次品，从中任取 3 件，求下列事件的概率：1）只有一件次品；2）最多 1 件次品；3）至少 1 件次品.解 1）设A表示只有一件次品，3102614)(CCCAP.2)设B为最多 1

3、件次品，则表示所取到的产品中或者没有次品，或者只有一件次品，310261431036)(CCCCCBP.3）设 C 表示至少 1 件次品，它的对立事件为没有一件次品，.学习帮手 .310361)(1)(CCCPCP 4.盒子里有 10 个球，分别标有从 1 到 10 的标号，任选 3 球，记录其号码.（1）求最小号码为 5 的概率.（2）求最大号码为 5 的概率.解 1）若最小号码为 5，则其余的 2 个球必从 6，7，8，9，10 号这 5 个球中取得。则它的概率为12131025CC.2)若最大号码为 5，则其余的 2 个球必从 1，2，3，4 号这 4 个球中取得。则它的概率为20131

4、024CC.5.有 a 个白球，b 个黑球，从中一个一个不返回地摸球，直至留在口袋中的球都是同一种颜色为止.求最后是白球留在口袋中概率.解 设最后留在口袋中的全是白球这一事件为 A，另设想把球继续依次取完，设取到最后的一个球是白球这一事件为 B，可以验证 A=B，显然baaBP)(.6.一间学生寝室中住有 6 位同学，求下列事件的概率：1）6 个人中至少有 1 人生日在 10 月份；2）6 个人中有 4 人的生日在 10 月份；3）6 个人中有 4 人的生日在同一月份.（假定每个人生日在同各个月份的可能性相同）解 1）设 6 个人中至少有 1 人生日在 10 月份这一事件为 A；它的逆事件为没

5、 有 一 个 人 生 日 在 10 月 份，生 日 不 在 10 月 份 的 概 率 为1211，则6)1211(1)(1)(APAP 2）设 6 个 人 中 有 4 人 的 生 日 在 10 月 份 这 一 事 件 为 B，则2446)1211()121()(CBP.3)设 6 个 人 中 有4 人 的 生 日 在 同 一 月 份 这 一 事 件 为C.则2446)1211()121(12)(12)(CBPCP 7.甲乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6 和 0.5，现已知目.学习帮手 .标被击中，问由甲射中的概率为多少？解 设A和B分 别 表 示 甲 和 乙 射 中。C表

6、示 目 标 被 射 中，则8.03.05.06.0)()()()()(ABPBPAPBAPCP.75.08.06.0)()|(PCACPCAP 8.某商店出售的电灯泡由甲、乙两厂生产，其中甲厂的产品占 60%，乙厂的产品占 40%.已知甲厂产品的次品率为 4%，乙厂产品的次品率 5%.一位顾客随机地取出一个电灯泡，求它是合格品的概率.解 设 A 和 B 分别表示电灯泡由甲厂和乙厂生产，C 表示产品为合格。则956.095.04.096.06.0)|()()|()()(BCPBPACPAPCP 9.已知男子有 5%是色盲患者，女子有 0.25%是色盲患者.今从男女为数相等的人群中随机地挑选一人，

7、恰好是色盲患者，问此人是男性的概率多少？解 设挑选到的人为男性和女性分别为 A 和 B。另设某人是色盲患者为 C。由已知条件，21)()(BPAP，05.0)|(ACP；.0025.0)|(BCP 则952.00025.05.005.05.005.05.0)|()()|()()|()()|(BCPBPACPAPACPAPCAP 10.甲、乙、丙三人独立地向一敌机射击，设甲、乙、丙命中率分别为 0.4，0.5，0.7，又设敌机被击中1次，2次，3次而坠毁的概率分别为0.2，0.6，1.现三人向敌机各射击一次，求敌机坠毁的概率.解 设敌机被击中 1 次，2 次，3 次的事件分别为 A，B，C.敌机

8、坠毁的事件为。则1)|(;6.0)|(;2.0)|(CDPBDPADP 36.07.0)5.01()4.01()7.01(5.0)4.01()7.01)(5.01(4.0)(AP51.07.05.0)4.01(7.0)5.01(4.0)7.01(5.04.0)(BP 14.07.05.04.0)(CP 458.0114.06.041.02.036.0)|()()|()()|()()(CDPCPBDPBPADPAPDP 11.三人独立地去破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为 1/5，1/3，1/4.问三人中至少有一人能将此密码译出的概率是多少？解 三人译出密码分别记为 A，B，C。则CBA即

9、为所求事件（三人中至少有一人能将此密码译出）。它的对立事件为CBA。又因为各人译出密码是相互独立的，则6.0)4/11)(3/11)(5/11(1)(1)(CBAPCBAP .学习帮手 .12.甲袋中装有n只白球、m只红球；乙袋中装有N只白球、M只红球.今从甲袋中任意取一只球放入乙袋中，再从乙袋中任意取一只球，问取到白球的概率是多少？解 设从甲袋中取出白球记为A，从乙取出白球记为B。)1)()1(111)|()()|)()(NMnmmNNnNMNnmmMNNnmnABPAPAPBAPBP 13.做一系列独立的试验，每次成功的概率为p，求在成功n次之前已经失败了m次的概率.解 根据题意，试验在第

10、n+m次是成功的（记为A），前n+m-1次中有m次是失败的（记为 B）。而前 n+m-1 次中有 m 次失败是一个二项分布 B（n+m-1,1-p）,所求概率为 nmmmnnmmmnppCpppCBPAPABP)1()1()()()(111 14.甲给乙打电话，但忘记了电话号码的最后 1位数字，因而对最后 1位数字就随机地拨号，若拨完整个电话号码算完成 1次拨号，并假设乙的电话不占线.（1）求到第k次才拨通乙的电话的概率；（2）求不超过k次而拨通乙的电话的概率.（设10k）解 1）该问题相当于在 09 这十个数字中不放回抽样，第 k 次正好抽到所需的数字这一个问题。根据抽签与次序无关的结果，第

11、 k 次抽到的概率为1/10。2）第二个问题相当于一次性地抓了 k 个数字，所需数字正好在所抓的数字中这样一个问题。由于每个数字都是等可能被抽到，所需数字落在所抓数字中的概率与所抓的数目k成正比。设kA表示所需数字在所抓的k个数字中，kCAPk)(，其中C 为常数。10/1)(1AP（或1)(10AP）可得出 C=1/10。所以10/)(kAPk 15.将 3 个小球随机地放入 4 个盒子中，求盒子中球的最多个数分别为1,2,3的概率.解 3 个球随机放入 4 个盒子共有34种放法。盒子中最多个数为 1，相当于 4 个盒子中分别有 1，1，1，0 个球，这种情形的放法共有!314C种（选一个空

12、盒.学习帮手 .有 4 种选法，剩下的每盒有一个球相当于全排列）。故834!3)(3141CAP 盒子中最多个数为 3，相当于 4个盒子中有一个盒子中有 3个球，其它 3个盒子没 有球。它的放法共有14C种（选一个盒子，放入 3 个球）。故1614)(3142CAP 盒子中求的最多个数为 2 相当于排除以上 2 种情况而剩下来的情形。16/916/18/31)()(1)(312APAPAP 16.设有一传输信道，若将三字母 A,B,C 分别输入信道,输出为原字母的概率为,输出为其它字母的概率为2/)1(,现将 3 个字母串 AAAA,BBBB,CCCC 分别输入信道,输入的分别为 p1,p2,

13、p3,且 p1+p2+p3=1,已知输出字母串为 ABCA,问输入为 AAAA 的概率是多少?解 4)1(2)1(2)1()|(22AAAAABCAP 8)1(2)1(2)1(2)1()|(3BBBBABCAP 8)1(2)1(2)1(2)1()|(3CCCCABCAP )1()13(28)1(8)1(4)1(4)1(|()()|()()|()()|()()|(113332221221ppppppCCCCABCAPCCCCPBBBBABCAPBBBBPAAAAABCAPAAAAPAAAAABCAPAAAAPABCAAAAAP 17.证明:若)|()|(BAPBAP,则事件A与B相互独立.证明：

14、)()()|(BPABPBAP，)()()|(BPBAPBAP，所以)()()()(BAPBPBPABP 即)()()()(1)(ABPAPBPBPABP 即)()()(BPAPABP 18.某地区约有5%的人体内携带有乙肝病毒,求该地区某校一个班的50名学生中至少有一人体内携带有乙肝病毒的概率.解 设A为学生携带有乙肝病毒，05.0)(AP.不携带有乙肝病毒为A，.95.0)(AP，5050，P（50）=5095.0。P（50）=1-5095.0 19.78，.XY。，600;600YX。25.060603030)30|(|YXP 20.（0，1），1.2.XY。，10;10YX。68.0112/8.08.0112.1YXP