专题8.3空间点、直线、平面之间的位置关系(讲)(原卷版)43157.pdf

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1、 专题 8.3 空间点、直线、平面之间的位置关系 1.理解空间直线、平面位置关系的定义；2.了解可以作为推理依据的公理和定理；3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题.知识点一 平面的基本性质(1)公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内(2)公理 2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面(注意：三点不一定能确定一个平面)推论 1：经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面 推论 2：经过两条相交直线，有且只有一个平面 推论 3：经过两条平行直线，有且只有一个平面(3)公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的

2、公共直线 知识点二 空间中两直线的位置关系(1)空间中两直线的位置关系 共面直线 平行相交异面直线：不同在任何一个平面内 (1)两条异面直线不能确定一个平面(2)不能把异面直线误解为分别在不同平面内的两条直线.(2)异面直线所成的角 定义：设 a，b 是两条异面直线，经过空间任一点 O 作直线 aa，bb，把 a与 b所成的锐角(或直角)叫做异面直线 a 与 b 所成的角(或夹角)范围：0，2.(3)公理 4：平行于同一条直线的两条直线互相平行(4)定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么 这两个角相等或互补(1)如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，并且方向相同，那么这两个角相等(

3、2)如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，并且其中一组方向相同，另一组方向相反，那么这两个角互补 (3)如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，并且方向都相反，那么这两个角相等 知识点三 空间中直线与平面、平面与平面的位置关系(1)直线与平面的位置关系有相交、平行、在平面内三种情况(2)平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况【知识必备】1唯一性定理(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行(2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直(3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行(4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直 2异面直线的两个结论(1)平面外一点 A 与平面

4、内一点 B 的连线和平面内不经过点 B 的直线是异面直线(2)分别在两个平行平面内的直线平行或异面 考点一 平面的基本性质及应用【典例 1】（华东师范大学附中 2019 届高三模拟）如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E，F 分别是AB 和 AA1的中点.求证：(1)E，C，D1，F 四点共面；(2)CE，D1F，DA 三线共点.【方法技巧】1.证明点或线共面问题的两种方法：(1)首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；(2)将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合.2.证明点共线问题的两种方法：(1)先由两点确定一条直线，再证

5、其他各点都在这条直线上；(2)直接证明这些点都在同一条特定直线(如某两个平面的交线)上.3.证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点.【变式 1】（江苏苏州中学 2019 届高三质检）如图，在空间四边形 ABCD 中，E，F 分别是 AB，AD 的中点，G，H 分别在 BC，CD 上，且 BGGCDHHC12.(1)求证：E，F，G，H 四点共面；(2)设 EG 与 FH 交于点 P，求证：P，A，C 三点共线.考点二 判断空间直线的位置关系【典例 2】【2019 年高考全国卷】如图，点 N 为正方形 ABCD 的中心，ECD 为正三角形，平面 ECD平面 A

6、BCD，M 是线段 ED 的中点，则()ABM=EN，且直线 BM，EN 是相交直线 BBMEN，且直线 BM，EN 是相交直线 CBM=EN，且直线 BM，EN 是异面直线 DBMEN，且直线 BM，EN 是异面直线【举一反三】（浙江镇海中学 2019 届高三模拟）(1)若直线 l1和 l2是异面直线，l1在平面 内，l2在平面 内，l 是平面 与平面 的交线，则下列命题正确的是()A.l 与 l1，l2都不相交 B.l 与 l1，l2都相交 C.l 至多与 l1，l2中的一条相交 D.l 至少与 l1，l2中的一条相交(2)将图(1)中的等腰直角三角形 ABC 沿斜边 BC 的中线 AD

7、折起得到空间四面体 ABCD，如图(2)，则在空间四面体 ABCD 中，AD 与 BC 的位置关系是()A.相交且垂直 B.相交但不垂直 C.异面且垂直 D.异面但不垂直【方法技巧】1.异面直线的判定方法：(1)反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面.(2)定理：平面外一点 A 与平面内一点 B 的连线和平面内不经过点 B 的直线是异面直线.2.点、线、面位置关系的判定，要注意几何模型的选取，常借助正方体为模型，以正方体为主线直观感知并认识空间点、线、面的位置关系.【变式 2】（安徽安庆一中 2019 届高

8、三调研）(1)下图中，G，N，M，H 分别是正三棱柱(两底面为正三角形的直棱柱)的顶点或所在棱的中点，则表示直线 GH，MN 是异面直线的图形有()A.B.C.D.(2)已知空间三条直线 l，m，n，若 l 与 m 异面，且 l 与 n 异面，则()A.m 与 n 异面 B.m 与 n 相交 C.m 与 n 平行 D.m 与 n 异面、相交、平行均有可能 考点三 异面直线所成的角【典例 3】(2018全国卷)在长方体 ABCDA1B1C1D1中，ABBC1，AA1 3，则异面直线 AD1与 DB1所成角的余弦值为()A.15 B.56 C.55 D.22【方法技巧】用平移法求异面直线所成角的一

9、般步骤：(1)作角用平移法找(或作)出符合题意的角；(2)求角转化为求一个三角形的内角，通过解三角形，求出角的大小.【举一反三】(1)(2018全国卷)在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E 为棱 CC1的中点，则异面直线AE 与 CD 所成角的正切值为()A.22 B.32 C.52 D.72(2)(2017全国卷)已知直三棱柱 ABCA1B1C1中，ABC120，AB2，BCCC11，则异面直线 AB1与 BC1所成角的余弦值为()A.32 B.155 C.105 D.33【变式 3】（福建双十中学 2019 届高三质检）三棱锥 ABCD 的所有棱长都相等，M，N 分别是棱 AD，BC

10、的中点，则异面直线 BM 与 AN 所成角的余弦值为()A.13 B.24 C.33 D.23 考点四 综合考查【典例 4】(2017全国卷)a，b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形 ABC 的直角边 AC 所在直线与 a，b 都垂直，斜边 AB 以直线 AC 为旋转轴旋转，有下列结论：当直线 AB 与 a 成 60角时，AB 与 b 成 30角；当直线 AB 与 a 成 60角时，AB 与 b 成 60角；直线 AB 与 a 所成角的最小值为 45；直线 AB 与 a 所成角的最大值为 60.其中正确的是_(填写所有正确结论的编号)【变式 4】（江西南昌二中 2019 届高三模拟）如图所示，AC 是圆 O 的直径，B，D 是圆 O 上两点，AC2BC2CD2，PA圆 O 所在的平面，PA 3，点 M 在线段 BP 上，且 BM13BP.(1)求证：CM平面 PAD；(2)求异面直线 BP 与 CD 所成角的余弦值