(浙江专用)2020高考数学二轮复习专题六计数原理与古典概率第1讲计数原理、二项式定理教案15062.pdf

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1、第 1 讲 计数原理、二项式定理 两个计数原理 核心提炼 分类加法计数原理和分步乘法计数原理 如果每种方法都能将规定的事件完成，则要用分类加法计数原理将方法种数相加；如果需要通过若干步才能将规定的事件完成，则要用分步乘法计数原理将各步的方法种数相乘 典型例题 (1)如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为()A24 B18 C12 D9(2)甲、乙两人进行乒乓球比赛，先赢三局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情况(各人输赢局次的不同视为不同情况)共有()A10 种 B15 C20 种 D30 种【解析

2、】(1)由题意可知EF共有 6 种走法，FG共有 3 种走法，由乘法计数原理知，共有 6318 种走法，故选 B.(2)首先分类计算假如甲赢，比分 30 是 1 种情况；比分 31 共有 3 种情况，分别是前3 局中(因为第四局肯定要赢)，第一或第二或第三局输，其余局数获胜；比分是 32 共有 6种情况，就是说前 4 局 22，最后一局获胜，前 4 局中，用排列方法，从 4 局中选 2 局获胜，有 6 种情况甲一共有 13610 种情况获胜所以加上乙获胜情况，共有 101020 种情况【答案】(1)B(2)C 应用两个计数原理解题的方法(1)在应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理时，一般先分

3、类再分步，每一步当中又可能用到分类加法计数原理 (2)对于复杂的两个原理综合应用的问题，可恰当列出示意图或表格，使问题形象化、直观化 对点训练 1如图，某教师要从A地至B地参加高考教研活动：路线：A到B有三条路线；路线：A到C后再到B，其中A到C有 1 条路线，C到B有 2 条路线；路线：从A到D，D到C，C到B，其中A到D，D到C，C到B各有 2 条路线，则该教师的选择路线种数共有()A10 B11 C13 D24 解析：选 C.按路线，共有 3 种选择；按路线，分 2 步可以到达B，共有 122 种选择；按路线，分 3 步，共有 2228 种，故共有 32813 种选择 2如果一个三位正整

4、数“a1a2a3”满足a1a2且a30)的展开式中x3的系数为A，常数项为B，若A4B，则B_ 解析：Tr1(1)rCr6(ax)6r(1x)r(1)ra6rCr6x632r.令 632r3 得r2，则 Aa4C2615a4；令 632r0 得r4，则B(1)4a2C4615a2，又由A4B得 15a4415a2，则a2，B60.答案：60 专题强化训练 基础达标 1(2019金华十校期末调研)在(x24)5的展开式中，含x6的项的系数为()A20 B40 C80 D160 解析：选 D.Tr1Cr5(x2)5r(4)r(4)rCr5x102r，令 102r6，解得r2，所以含x6的项的系数为

5、(4)2C25160.2(2019广州综合测试(一)四个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的一枚硬币，所有人同时抛出自己的硬币若落在圆桌上时硬币正面朝上，则这个人站起来；若硬币正面朝下，则这个人继续坐着那么，没有相邻的两个人站起来的概率为()A.14 B.716 C.12 D.916 解析：选 B.抛四枚硬币，总的结果有 16 种，“没有相邻的两个人站进来”记为事件A，可分为三类：一是没有人站起来，只有 1 种结果；二是 1 人站起来，有 4 种结果；三是有 2 人站起来，可以是AC或BD，有 2 种结果所以满足题意的结果共有 1427 种，P(A)716.故选 B.3(2019杭州市

6、第二次质量预测)将数字“124 467”重新排列后得到不同的偶数的个数为()A72 B120 C192 D240 解析：选 D.将数字“124 467”重新排列后所得数字为偶数，则末位数应为偶数，(1)若末位数字为 2，因为含有 2 个 4，所以有54321260 种情况；(2)若末位数字为 6，同理有54321260 种情况；(3)若末位数字为 4，因为有两个相同数字 4，所以共有54321120 种情况综上，共有 6060120240 种情况 4(2019衢州市高三期末考试)若(xax)(2x1x)5的展开式中各项系数的和为 2，则该展开式中常数项是()A40 B20 C40 D20 解析

7、：选 C.令x1，(1a)(21)52，解得a1.所以(2x1x)5的通项公式 Tr1Cr5(2x)5r(1x)r(1)r25rCr5x52r，令 52r1，52r1.解得r3 或 2.所以该展开式中常数项(1)322C35(1)223C2540.5某校为了提倡素质教育，丰富学生们的课外生活，分别成立绘画、象棋和篮球兴趣小组，现有甲、乙、丙、丁四名学生报名参加，每人仅参加一个兴趣小组，每个兴趣小组至少有一人报名，则不同报名方法有()A12 种 B24 种 C36 种 D72 种 解析：选 C.由题意可知，从 4 人中任选 2 人作为一个整体，共有 C246(种)，再把这个整体与其他 2 人进行

8、全排列，对应 3 个活动小组，有 A336(种)情况，所以共有 6636(种)不同的报名方法 6(2019金华市调研考试)若(3x3x)n的展开式中所有项系数的绝对值之和为 1 024，则该展开式中的常数项是()A270 B270 C90 D90 解析：选 C.(3x3x)n的展开式中所有项系数的绝对值之和等于(3x3x)n的展开式中所有项系数之和 令x1，得4n1 024，所以n5.(3x3x)5的通项公式Tr1Cr5(3x)5r(3x)rCr535r(1)rxr52r3，令r52r30，解得r3，所以展开式中的常数项为T4C3532(1)390，故选 C.7(2019合肥市第一次教学质量检

9、测)已知(axb)6的展开式中x4项的系数与x5项的系数分别为 135 与18，则(axb)6的展开式中所有项系数之和为()A1 B1 C32 D64 解析：选 D.由二项展开式的通项公式可知x4项的系数为 C26a4b2，x5项的系数为 C16a5b，则由题意可得C26a4b2135C16a5b18，解得ab2，故(axb)6的展开式中所有项的系数之和为(ab)664，选 D.8(2019浙江新高考冲刺卷)(x1x2)3展开式中的常数项为()A8 B12 C20 D20 解析：选 C.(x1x2)3展开式中的通项公式Tr1Cr3(2)3r(x1x)r.(x1x)r的通项公式：Tk1Ckrxr

10、k(1x)kCkrxr2k，令r2k0，可得：k0r，k1，r2.所以常数项(2)3C12C23(2)20.9已知(1aax)5(1bbx)5的展开式中含x2与x3的项的系数绝对值之比为 16，则a2b2的最小值为()A6 B9 C12 D18 解析：选 C.(1aax)5(1bbx)5的展开式中含x2项的系数为 C25(1a)3a2C25(1b)3b210（ba）ab，含x3项的系数为 C35(1a)2a3 C35(1b)2b310(ab)，则由题意，得|10（ba）ab|10（ab）|16，即|ab|6，则a2b2|a|2|b|22|ab|12，当且仅当|a|b|时取等号 10某微信群中甲

11、、乙、丙、丁、戊五名成员同时抢 4 个红包，每人最多抢一个，且红包被全部抢光，4 个红包中有两个 2 元，两个 3 元(红包中金额相同视为相同的红包)，则甲、乙两人都抢到红包的情况有()A35 种 B24 种 C18 种 D9 种 解析：选 C.若甲、乙抢的是一个 2 元和一个 3 元的红包，剩下 2 个红包，被剩下 3 名成员中的 2 名抢走，有 A22A2312(种)；若甲、乙抢的是两个 2 元或两个 3 元的红包，剩下两个红包，被剩下的 3 名成员中的 2 名抢走，有 A22C236(种)根据分类加法计数原理可得，甲、乙两人都抢到红包的情况共有 12618(种)11(2019诸暨调研)现

12、从男、女共 8 名学生干部中选出 2 名男同学和 1 名女同学分别参加学校的“资源”“生态”“环保”三个夏令营活动，已知共有 90 种不同的方案，那么有男生_人、女生_人 解析：设男、女同学的人数分别为m和n，则有mn8，C2mC1nA3390，即mn8，C2mC1n15.由于m，nN*，则m3，n5.答案：3 5 12(2019成都市第二次诊断性检测)在二项式(ax21x)5的展开式中，若常数项为10，则a_ 解析：(ax21x)5的展开式的通项Tr1Cr5(ax2)5r(1x)rCr5a5rx105r2，令 105r20，得r4，所以 C45a5410，解得a2.答案：2 13(2019温

13、州十五校联合体期末联考)用数字 1、2、3、4、5 构成数字不重复的五位数，要求数字 1，3 不相邻，数字 2，5 相邻，则这样的五位数的个数是_(用数字作答)解析：先把 2，5 捆挷有 2 种方法，再把它与 4 排列有 2 种排法，此时共有 3 个空供数字1、3 插入有 A236 种方法，故这样的五位数的个数是 22624 个 答案：24 14已知集合A4，B1，2，C1，3，5，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中的点的坐标，则确定的不同点的个数为_ 解析：不考虑限定条件确定的不同点的个数为 C11C12C13A3336，但集合B，C中有相同元素 1，由 4，1，1 三个数确定的

14、不同点只有 3 个，故所求的个数为 36333.答案：33 15(2019浙江东阳中学高三检测)已知(12x)7a0a1xa2x2a7x7，则a0_；(a0a2a4a6)2(a1a3a5a7)2_ 解析：由(12x)7a0a1xa2x2a7x7，观察：可令x0 得：(120)7a0a10a701，a01.(a0a2a4a6)2(a1a3a5a7)2(a0a1a7)a0a2a4a6(a1a3a5a7)，则可令x1 得：(121)7a0a1a2a71，再可令x1 得：(121)7a0a1a2a3a7372 187，可得：(a0a2a4a6)2(a1a3a5a7)2 12 1872 187.答案：1

15、 2 187 16(2019张掖市第一次诊断考试)设f(x)是(x212x)6展开式中的中间项，若f(x)mx在区间22，2上恒成立，则实数m的取值范围是_ 解析：(x212x)6的展开式中的中间项为第四项，即f(x)C36(x2)3(12x)352x3，因为 f(x)mx在区间22，2上恒成立，所以m52x2在22，2上恒成立，所以m(52x2)max5，所以实数m的取值范围是5，)答案：5，)17(2019绍兴质量检测)将标号为 1，2，3，4 的四个篮球分给三位小朋友，每位小朋友至少分到一个篮球，且标号 1，2 的两个篮球不能分给同一个小朋友，则不同的分法种数为_ 解析：四个篮球中两个分

16、到一组有 C24种分法，三个篮球进行全排列有 A33种分法，标号 1，2 的两个篮球分给同一个小朋友有 A33种分法，所以有 C24A33A3336630 种分法 答案：30 能力提升 1(2019台州高三期末考试)已知在(x215x)n的展开式中，第 6 项为常数项，则n()A9 B8 C7 D6 解析：选 D.因为第 6 项为常数项，由 C5n(x2)n5(15x)5(12)n5C5nxn6，可得n60，解得n6.故选 D.2用数字 1，2，3，4，5 组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为()A24 B48 C60 D72 解析：选 D.第一步，先排个位，有 C13种选择；第二步，排

17、前 4 位，有 A44种选择 由分步乘法计数原理，知有 C13A4472(个)3(2019惠州市第三次调研考试)(12x2y)5的展开式中x2y3的系数是()A20 B5 C5 D20 解析：选 A.(12x2y)5展开式的通项为Tr1Cr5(12x)5r(2y)rCr5(12)5r(2)rx5ryr，令r3，得x2y3的系数为 C35(12)2(2)320.选 A.4 某班利用班会时间进行个人才艺表演，共有 5 名同学参加，其中 3 名女生，2 名男生 如果 2 名男生不能连续出场，且女生甲不能排在第一个出场，那么不同的出场顺序的排法种数为()A24 B36 C48 D60 解析：选 D.先

18、排 3 名女生，有 A33种排法，再从 4 个空位中选出 2 个空位排 2 名男生，有A24种排法，所以共有 A33A2472(种)排法；若女生甲排在第一个出场，从 3 个空位中选 2 个空位排男生，有 A22A2312(种)排法所以满足条件的出场顺序的排法有 721260(种)故选 D.5(x2xy)5的展开式中，x5y2的系数为()A10 B20 C30 D60 解析：选 C.法一：(x2xy)5(x2x)y5，含y2的项为T3C25(x2x)3y2.其中(x2x)3中含x5的项为 C13x4xC13x5.所以x5y2的系数为 C25C1330.故选 C.法二：(x2xy)5为 5 个x2

19、xy之积，其中有两个取y，两个取x2，一个取x即可，所以x5y2的系数为 C25C23C1130.故选 C.6在(1x)6(1y)4的展开式中，记xmyn项的系数为f(m，n)，则f(3，0)f(2，1)f(1，2)f(0，3)()A45 B60 C120 D210 解析：选 C.因为f(m，n)Cm6Cn4，所以f(3，0)f(2，1)f(1，2)f(0，3)C36C04C26C14C16C24C06C34120.7(2019金华十校期末调研)A、B、C、D、E五个人参加抽奖活动，现有 5 个红包，每人各摸一个，5 个红包中有 2 个 8 元，1 个 18 元，1 个 28 元，1 个 0

20、元，(红包中金额相同视为相同红包)，则A、B两人都获奖(0 元视为不获奖)的情况有()A18 种 B24 种 C36 种 D48 种 解析：选 C.A、B两人都获奖(0 元视为不获奖)的情况有三类：即获奖的四人为：ABCD，ABCE，ABDE，在每类情况中，获奖的情况有：C24A2212 种，所以由分步乘法原理得：A、B两人都获奖(0 元视为不获奖)的情况有：31236 种 8用数字 0，1，2，3，4，5 组成没有重复数字的五位数，其中比 40 000 大的偶数共有()A144 个 B120 个 C96 个 D72 个 解析：选 B.分两类进行分析：第一类是万位数字为 4，个位数字分别为 0

21、，2；第二类是万位数字为 5，个位数字分别为 0，2，4.当万位数字为 4 时，个位数字从 0，2 中任选一个，共有 2A34个偶数；当万位数字为 5 时，个位数字从 0，2，4 中任选一个，共有 C13A34个偶数故符合条件的偶数共有 2A34C13A34120(个)9 若x4(x3)8a0a1(x2)a2(x2)2a12(x2)12，则 log2(a1a3a5a11)等于()A27 B28 C7 D8 解析：选 C.取x1 得(1)4(13)8a0a1a2a11a12，取x3 得(3)4(33)8a0a1a2a11a12，与两式左、右两边分别相减得 282(a1a3a5a11)，所以a1a

22、3a5a1127，所以 log2(a1a3a5a11)7.10从 8 名网络歌手中选派 4 名同时去 4 个地区演出(每地 1 人)，其中甲和乙只能同去或同不去，甲和丙不同去，则不同的选派方案共有()A240 种 B360 种 C480 种 D600 种 解析：选 D.分两步，第一步，先选 4 名网络歌手，又分两类，第一类，甲去，则乙一定去，丙一定不去，有 C2510 种不同选法，第二类，甲不去，则乙一定不去，丙可能去也可能不去，有 C4615 种不同选法，所以不同的选法有 101525(种)第二步，4 名网络歌手同时去 4 个地区演出，有 A4424 种方案由分步乘法计数原理知不同的选派方案

23、共有 2524600(种)11已知(1ax)(1x)5的展开式中x2的系数为 5，则a_ 解析：(1x)5中含有x与x2的项为T2C15x5x，T3C25x210 x2，所以x2的系数为 105a5，所以a1.答案：1 12(2019宁波四校联考(二)甲、乙两人要在一排 8 个空座上就坐，若要求甲、乙两人每人的两旁都有空座，则有_种坐法 解析：一排共有 8 个座位，现有两人就坐，故有 6 个空座因为要求每人左右均有空座，所以在 6 个空座的中间 5 个空中插入 2 个座位让两人就坐，即有 A2520 种坐法 答案：20 13(2019杭州市高考二模)若(2x1x2)n的展开式中所有二项式系数和

24、为 64，则n_；展开式中的常数项是_ 解析：因为(2x1x2)n的展开式中所有二项式系数和为 2n64，则n6；根据(2x1x2)n(2x1x2)6的展开式的通项公式为Tr1Cr6(1)r(2x)6rx2rCr6(1)r26rx63r，令 63r0，求得r2，可得展开式中的常数项是 C2624240.答案：6 240 14(2019浙江东阳中学高三期中检测)用 0，1，2，3，4 这五个数字组成无重复数字的五位数，则组成的偶数的个数是_；恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的自然数的个数是_ 解析：由五个数组成五位偶数，可分类个位数放 0，2，4；当个位是 0 时，有 A4424 种，当个位

25、是 2 时，有 3A3318 种，当个位是 4 时与个位是 2 时相同，则共有 243660.当 1 和3 两个奇数夹着 0 时，把这三个元素看做一个整体，和另外两个偶数全排列，其中 1 和 3 之间还有一个排列，共有 2A3312 种，1 和 3 两个奇数夹着 2 时，同前面类似，只是注意 0 不能放在首位，共有 2C12A228，当 1 和 3 两个奇数夹着 4 时，也有同样多的结果根据分类加法原理得到共有 121628 种结果 答案：60 28 15(2019贵阳市监测考试)若直线xay10 与 2xy50 垂直，则二项式ax21x5的展开式中x4的系数为_ 解析：由两条直线垂直，得 1

26、2a(1)0，得a2，所以二项式为2x21x5，其通项公式Tr1Cr5(2x2)5r1xr(1)r25rCr5x103r，令 103r4，解得r2，所以二项式的展开式中x4的系数为 23C2580.答案：80 16(2019嘉兴市一中高考适应性考试)电影院一排 10 个位置，甲、乙、丙三人去看电影，要求他们坐在同一排，那么他们每人左右两边都有空位且甲坐在中间的坐法有_种 解析：先排 7 个空座位，由于空座位是相同的，则只有 1 种情况，其中有 6 个空位符合条件，考虑三人的顺序，将 3 人插入 6 个空位中，则共有 1A36120 种情况，由于甲必须坐在三人中间，则有符合要求的坐法有1312040 种 答案：40 17规定 Cmxx(x1)(xm1)m！，其中xR，m是正整数，且 C0 x1，这是组合数Cmn(n，m是正整数，且mn)的一种推广，则 C315_；若x0，则x_时，C3x（C1x）2取到最小值，该最小值为_ 解 析：由 规 定：C315（15）（16）（17）321 680，由C3x（C1x）2x（x1）（x2）6x216x2x3.因为x0，x2x2 2，当且仅当x 2时，等号成立，所以当x 2时，得最小值2 236.答案：680 2 2 236