2013中考数学压轴题函数相似三角形问题(三)1844.pdf

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1、 1 2013 中考数学压轴题函数相似三角形问题(三)例 5 已知：如图1，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA 2，OC 3，过原点O作AOC的平分线交AB于点D，连接DC，过点D作DEDC，交OA于点E （1）求过点E、D、C的抛物线的解析式；（2）将EDC绕点D按顺时针方向旋转后，角的一边与y轴的正半轴交于点F，另一边与线段OC交于点G如果DF 与（1）中的抛物线交于另一点M，点M的横坐标为56，那么EF2GO是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（3）对于（2）中的点G，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q，使得直

2、线GQ与AB的交点P与点C、G构成的PCG是等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在成立，请说明理由 图 1 动感体验 请打开几何画板文件名“09 重庆26”，拖动点G在OC上运动，可以体验到，DCG与DEF保持全等，双击按钮“M的横坐标为1.2”，可以看到，EF 2，GO 1 拖动点P在AB上运动的过程中，可以体验到，存在三个时刻，PCG可 以成为等腰三角形 思路点拨 1用待定系数法求抛物线的解析式，这个解析式在第（2）、（3）题的计算中要用到 2过点M作MNAB，根据对应线段成比例可以求FA的长 3将EDC绕点D旋转的过程中，DCG与DEF保持全等 4第（3）题反客为主，分三种情况讨

3、论PCG为等腰三角形，根据点P的位置确定点Q的位置，再计算点Q的坐标 满分解答（1）由于OD平分AOC，所以点D的坐标为（2，2），因此BCAD 1 由于BCDADE，所以BDAE 1，因此点E的坐标为（0，1）设过E、D、C三点的抛物线的解析式为cbxaxy2，那么.039,224,1cbacbac 解得65a，613b1c因此过E、D、C三点的抛物线的解析式为1613652xxy 2（2）把56x代入1613652xxy，求得512y所以点M的坐标为512,56 如图2，过点M作MNAB，垂足为N，那么DADNFAMN，即25622512FA解得1FA 因为EDC绕点D旋转的过程中，DCG

4、DEF，所以CGEF 2 因此GO 1，EF 2GO（3）在第（2）中，GC 2设点Q的坐标为161365,2xxx 如图3，当CPCG 2 时，点P与点B（3，2）重合，PCG是等腰直角三角形此时GQQxxy，因此11613652xxx。由此得到点Q的坐标为57,512 如图4，当GPGC 2 时，点P的坐标为（1，2）此时点Q的横坐标为1，点Q的坐标为613,1 如图5，当PGPC时，点P在GC的垂直平分线上，点P、Q与点D重合此时点Q的坐标为（2，2）图 3 图 4 图 5 考点伸展 在第（2）题情景下，EDC绕点D旋转的过程中，FG的长怎样变化？设AF的长为m，那么82)2()2(22

5、2mmmFG 点 F 由 E 开始沿射线EA 运动的过程中，FG先是越来越小，F与A重合时，FG达到最小值22；F经过点A以后，FG越来越大，当C与O重合时，FG达到最大值4 例 6 在平面直角坐标系内，O为原点，点A的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，4），直线CM/x轴（如图1 所示）点B与点A关于原点对称，直线yxb（b为常数）经过点B，且与直线CM相交于点D，联结OD （1）求b的值和点D的坐标；图 2 3（2）设点P在x轴的正半轴上，若POD是等腰三角形，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，如果以PD为半径的圆与圆O外切，求圆O的半径 图 1 动感体验 请打开几何画板文件名“09

6、 上海24”，拖动点P在x轴正半轴上运动，可以体验到，POD的形状可以成为等腰三角形，分别双击按钮“PDPO”、“ODOP”和“DODP”可以显示三个等腰三角形在点P运动的过程中，两个圆保持相切，可以体验到，当PDPO时，圆O不存在 思路点拨 1第（1）题情景简单，内容丰富，考查了对称点的坐标特征、待定系数法、代入求值、数形结合 2分三种情况讨论等腰三角形POD的存在性，三个等腰三角形的求解各具特殊性 3圆O与圆P的半径、圆心距都是随点P而改变，但是两圆外切，圆心距等于半径和的性质不变 满分解答（1）因为点A的坐标为（1，0），点B与点A关于原点对称，所以点B的坐标为（1，0）将B（1，0）代

7、入yxb，得b 1将y4代入yx 1，得x 3所以点D的坐标为（3，4）（2）因为D（3，4），所以OD 5，3cos5DOP 如图2，当PDPO时，作PEOD于E在 RtOPE中，3cos5OEDOPOP，52OE，所以256OO 此时点P的坐标为25(,0)6 如图3，当OPOD 5 时，点P的坐标为(5,0)如图4，当DODP时，点D在OP的垂直平分线上，此时点P的坐标为(6,0)图 2 图 3 图 4（3）圆P的半径PrPD，两圆的圆心距为OP当两圆外切时，圆O的半径OrOPPD 4 如图2，当PDPO时，0Or，此时圆O不存在 如图3，当OPOD 5 时，作DHOP于H在RtDHP中，DH 4，HP 2，所以2 5DP 此时52 5OrOPPD 如图4，当DODP时，651OrOPPD 考点伸展 如图5，在本题情景下，如果圆P与圆C外切，那么点P的变化范围是什么？如图6，当圆P经过点C时，点P在CD的垂直平分线上，点P的坐标为3(,0)2 因此当点P在x轴上点3(,0)2的右边时，圆P与圆C外切 图 5 图 6