2019_2020学年高中数学第二章数列能力测试新人教A版必修515493.pdf

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1、第二章 数列 能力检测 满分 150 分考试时间 120 分钟 一、选择题(本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1(2019 年山西太原期末)数列 1,3,6,10，的一个通项公式是()Aannn12 Bannn12 Cann2(n1)Dann21【答案】A 【解析】观察数列 1,3,6,10，可以发现 11,312,6123,101234，第n项为 1234nnn12.annn12.故选 A 2已知等差数列an的前n项和为Sn且满足S33S221，则数列an的公差d是()A2 B1 C1 D2【答案】D 【解析】由S33S

2、221 得a1a2a33a1a22a1d2a1d2d21，d2.3 已知 3，a2，b4 成等比数列，1，a1，b1 成等差数列，则等差数列的公差为()A4 或2 B4 或 2 C4 D4【答案】C 【解析】3，a2，b4 成等比数列，1，a1，b1 成等差数列，(a2)23(b4)，2(a1)1b1，联立解得 a2，b4或 a4，b8.当 a2，b4时，a20，与 3，a2，b4 成等比数列矛盾，应舍去；当 a4，b8时，等差数列的公差为(a1)1a4.故选 C 4已知等差数列an的公差d0，若a4a624，a2a810，则该数列的前n项和Sn的最大值为()A50 B40 C45 D35【答

3、案】C 【解析】a4a6a2a810，a4a624，d0，a46，a64.da6a4641，ana4(n4)d10n.当n9 或 10 时Sn取到最大值，S9S1045.5公差不为 0 的等差数列an，其前 23 项和等于其前 10 项和，a8ak0，则正整数k()A24 B25 C26 D27【答案】C 【解析】由题意设等差数列an的公差为d，d0，其前 23 项和等于其前 10 项和，23a123222d10a11092d，变形可得 13(a116d)0.a17a116d0.由等差数列的性质可得a8a262a170，k26.故选 C 6已知各项为正的等比数列an中，a4与a14的等比中项为

4、 2 2，则a7a9a11()A16 B16 2 C32 D32 2【答案】B 【解析】各项为正的等比数列an中，a4与a14的等比中项为 2 2，a4a14(2 2)28.a7a11a298.a7a9a1116 2.故选 B 7如果数列an满足a12，a21 且an1anan1anan1an1(n2)，则这个数列的第 10 项等于()A129 B1210 C110 D15【答案】D 【解析】an1anan1anan1an1，1anan1anan11，anan1anan12，1an11an12an，故1an是等差数列又d1a21a112，1a10129125，故a1015.8设等差数列an的前

5、n项和为Sn，若 2a86a11，则S9的值等于()A54 B45 C36 D27【答案】A 【解析】2a8a5a11,2a86a11，a56.S99a554.9已知各项都为正数的等比数列an中，a2a44，a1a2a314，则满足anan1an219的最大正整数n的值为()A3 B4 C5 D6【答案】B 【解析】a2a44，an0，a32.a1a212.a1a1q12，a1q22，消去a1，得1qq26.q0，q12.a18，an812n124n.不等式anan1an219化为 293n19，当n4 时，29341819，当n5 时，293516419.故选 B 10(2019 年内蒙古包

6、头模拟)已知各项均为正数的数列an的前n项和为Sn，且Sn满足n(n1)S2n(n2n1)Sn10(nN*)，则S1S2S2019()A12 019 B12 020 C2 0182 019 D2 0192 020【答案】D 【解析】n(n1)S2n(n2n1)Sn10(nN*)，(Sn1)n(n1)Sn10.又Sn0，n(n1)Sn10，Sn1nn11n1n1.S1S2S2 019112121312 01912 0202 0192 020.11已知数列 3,7,11，139 与 2,9,16，142，则它们所有公共项的个数为()A4 B5 C6 D7【答案】B 【解析】由题意可知数列 3,7,

7、11，139 的通项公式为an4n1,139 是数列第 35 项 数列 2,9,16，142 的通项公式为bm7m5,142 是数列第 21 项设数列 3,7,11，139的第n项与数列 2,9,16，142 的第m项相同，则 4n17m5，n7m447m41，m为 4 的倍数且m不大于 21，n不大于 35.由此可知，m只能为 4,8,12,16,20.此时n的对应值为 6,13,20,27,34.公共项的个数为 5.故选 B 12(2019 年福建厦门模拟)已知等差数列an的公差d0，an的部分项ak1，ak2，akn构成等比数列，若k11，k25，k317，则kn()A23n11 B23

8、n11 C23n1 D23n1【答案】A 【解析】设等比数列ak1，ak2，akn的公比为q.因为k11，k25，k317，所以a1a17a25，即a1(a116d)(a14d)2，化简得a1d2d2.又d0，得a12d，所以qa5a1a14da12d4d2d3.一方面，akn作为等差数列an的第kn项，有akna1(kn1)d2d(kn1)d(kn1)d；另一方面，akn作为等比数列的第n项，又有aknak1qn1a13n12d3n1，所以(kn1)d2d3n1.又d0，所以kn23n11.二、填空题(本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分，把正确答案填在题中横线上)13(201

9、7 年新课标)设等比数列an满足a1a21，a1a33，则a4_.【答案】8 【解析】设an的公比为q，则 a1a2a11q1，a1a3a11q23，解得 a11，q2，a4a1q38.14 等比数列an的前n项和为Sn，已知S1,2S2,3S3成等差数列，则an的公比为_ 【答案】13 【解析】S1,2S2,3S3成等差数列，4S2S13S3.ana1qn1，即 4(a1a1q)a13(a1a1qa1q2)，解得q13.15已知数列an满足an112ana2n且a112，则该数列的前 2 017 项的和等于_【答案】3 0252 【解析】a112，an 112ana2n，a21，从而a312

10、，a41，即得an 12，n2k1kN，1，n2kkN，故数列的前2 017项的和S2 0171 00811 009123 0252.16(2018 年江苏)已知集合Ax|x2n1，nN*，Bx|x2n，nN*将AB的所有元素从小到大依次排列构成一个数列an记Sn为数列 an的前n项和，则使得Sn12an1成立的n的最小值为_【答案】27 【解析】B2,4,8,16,32,64,128，与A相比，元素间隔大，所以从Sn中加了几个B中元素考虑.1 个：n112，S23,12a336；2 个：n224，S410,12a560；3 个：n437，S730,12a8108；4 个：n8412，S129

11、4,12a13204；5 个：n16521，S21318,12a22396；6 个：n32638，S381 150,12a39780.发现 21n38 时Sn12an1与 0 的大小关系发生变化，以下采用二分法查找：S30687,12a31612，所以所求n应在 2229 之间，S25462,12a26492，所以所求n应在 2529 之间，S27546,12a28540，所以所求n应在2527之间，S26503,12a27516.因为S2712a28，而S2612an1成立的n的最小值为 27.三、解答题(本大题共 6 个小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(本小

12、题满分 10 分)(2017 年北京)已知等差数列an和等比数列bn满足a1b11，a2a410，b2b4a5.(1)求an的通项公式；(2)求和：b1b3b5b2n1.【解析】(1)设等差数列an的公差为d.因为a2a410，2a14d10.解得d2.所以an2n1.(2)设等比数列bn的公比为q.因为b2b4a5，所以b21q49.解得q23.所以b2n1b1q2n23n1.从而b1b3b5b2n113323n13n12.18(本小题满分 12 分)已知an为等差数列，前n项和为Sn，S5S6且a36.(1)求数列an的通项公式；(2)若等比数列bn满足b26,6b1b35a3，求bn的前

13、n项和Tn.【解析】(1)由已知可得a60，设等差数列的公差为d，由题意可得 a12d6，a15d0，解得d2，a110，数列an的通项公式为an2n12.(2)设bn的公比为q，由题设得 b1q6，6b1b1q230，解得 b13，q2或 b12，q3.当b13，q2 时，Tn312n123(2n1)当b12，q3 时，Tn213n133n1.19(本小题满分 12 分)等差数列an满足：a2a46，a6S3，其中Sn为数列an的前n项和(1)求数列an的通项公式；(2)若kN*且ak，a3k，S2k成等比数列，求k值【解析】(1)设等差数列an的首项为a1，公差为d，由a2a46，a6S3

14、，得 2a14d6，a15d3a13d，解得 a11，d1.an11(n1)n.(2)S2k2k2k2k122k2k，由ak，a3k，S2k成等比数列，得 9k2k(2k2k)，解得k4.20(本小题满分 12 分)已知数列an是公差不为零的等差数列，a12 且a2，a4，a8成等比数列(1)求数列an的通项公式；(2)若bn(1)nan是等比数列且b27，b571，求数列bn的前n项和Tn.【解析】(1)设数列an的公差为d(d0)，a12 且a2，a4，a8成等比数列，a24a2a8，即(23d)2(2d)(27d)，解得d2 或d0(舍去)ana1(n1)d22(n1)2n.(2)令cn

15、bn(1)nan，设数列cn的公比为q，b27，b571，an2n，c2b2a27223，c5b5a5712581.q3c5c281327，故c2qn233n23n1，即bn(1)nan3n1，bn3n1(1)n2n.则Tnb1b2b3bn(30313n1)246(1)n2n，当n为偶数时，Tn13n132n23n2n12；当n为奇数时，Tn13n132n122n3n2n32.Tn 3n2n12，n为偶数，3n2n32，n为奇数.21(本小题满分 12 分)(2019 年山东莱芜模拟)已知等比数列an满足an1an92n1，nN*.(1)求数列an的通项公式；(2)设bnnan，求数列bn的前

16、n项和为Sn.【解析】(1)设等比数列an的公比为q.an1an92n1，a2a19，a3a218.qa3a2a2a11892.又 2a1a19，a13.an32n1，nN*.(2)bnnan3n2n1，13Sn120221(n1)2n2n2n1.23Sn121222(n1)2n1n2n.，得13Sn121222n1n2n12n12n2n(1n)2n1.Sn3(n1)2n3.22(本小题满分 12 分)数列an是公比为12的等比数列且 1a2是a1与 1a3的等比中项，前n项和为Sn；数列bn是等差数列，b18，其前n项和Tn满足Tnnbn1(为常数且1)(1)求数列an的通项公式及的值；(2)比较1T11T21T31Tn与12Sn的大小【解析】(1)由题意得，(1a2)2a1(1a3)，(1a1q)2a1(1a1q2)q12，a112，an12n.T1b2，T22b3，88d，16d282d.12，d8.(2)由(1)得bn8n，Tn4n(n1)1Tn141n1n1.令Cn1T11T21Tn 1411212131n1n1 1411n1，18Cn14.Sn12112n112112n，12Sn12112n，1412Sn12.Cn12Sn.