2017_18版高中数学第四章导数应用2.1实际问题中导数的意义学案北师大版选修15428.pdf

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1、 21 实际问题中导数的意义 学习目标 1.利用实际问题加强对导数概念的理解.2.能利用导数求解有关实际问题 知识点 实际问题中导数的意义 思考 某人拉动一个物体前进，他所做的功W(单位：J)是时间t(单位：s)的函数，设这个函数可以表示为WW(t)t34t210t.(1)t从 1 s 到 4 s 时W关于t的平均变化率是多少？(2)上述问题的实际意义是什么？(3)W(1)的实际意义是什么？梳理(1)在物理学中，通常称力在单位时间内_为功率，它的单位是_功率是功关于_的导数(2)在气象学中，通常把单位时间(如 1 时，1 天等)内的_称作降雨强度，它是反映一次降雨大小的一个重要指标降雨强度是降

2、雨量关于时间的_(3)在经济学中，通常把生产成本y关于_x的函数yf(x)的导函数称为_边际成本f(x0)指的是当产量为 x0时，生产成本的增加速度，也就是当产量为x0时，每增加一个单位的产量，需要增加f(x0)个单位的成本 类型一 导数在物理学中的意义 例 1 某质点的运动方程为ss(t)2t23t，其中s是位移(单位：m)，t是时间(单位：s)(1)求当t从 1 s 变到 3 s 时，位移s关于时间t的平均变化率，并解释它的实际意义；(2)求s(1)，s(2)，并解释它们的实际意义 反思与感悟 根据导数的实际意义，在物理学中，除了我们所熟悉的位移、速度与时间的关系，功与时间的关系，还应了解

3、质量关于体积的导数为密度，电量关于时间的导数为电流强度等因此，在解释某点处的导数的物理意义时，应结合这些导数的实际意义进行理解 跟踪训练 1 某河流在一段时间x min 内流过的水量为y m3，y是x的函数，且yf(x)3x.(1)当x从 1 变到 8 时，y关于x的平均变化率是多少？(2)求f(27)，并解释它的实际意义 类型二 导数在经济生活中的应用 例 2 某机械厂生产某种机器配件的最大生产能力为每日 100 件，假设日产品的总成本C(元)与日产量x(件)的函数关系为C(x)14x260 x2 050.求当日产量由 10 件提高到 20 件时，总成本的平均改变量，并说明其实际意义 引申探

4、究 1若本例条件不变，求当日产量为 75 件时的边际成本，并说明其实际意义 2若本例的条件“C(x)14x260 x2 050”变为“C(x)14x2ax2 050，当日产量为 75件时的边际成本大于 97.5”，求a的取值范围 反思与感悟 生产成本y关于产量x的函数yf(x)中，f(x0)指的是当产量为x0时，生产成本的增加速度，也就是当产量为x0时，每增加一个单位的产量，需增加f(x0)个单位的成本 跟踪训练 2 已知某商品的成本函数为C(Q)100Q24(Q为产品的数量)(1)求Q10 时的总成本、平均成本及边际成本；(2)当产量Q为多少时，平均成本最小？最小为多少？类型三 在日常生活中

5、的应用 例 3 一名工人上班后开始连续工作，生产的产品质量y(单位：g)是工作时间x(单位：h)的函数，设这个函数为yf(x)x2204x.(1)求x从 1 h 变到 4 h 时，y关于时间x的平均变化率，并解释它的实际意义；(2)求f(1)，f(4)，并解释它的意义 反思与感悟 在不同的实际问题中导数的意义是不相同的，要结合具体问题进行分析，在某一点处的导数的实际意义是当自变量在该点处的改变量趋近于零时，平均变化率所趋近的值，问题不同有不同的意义 跟踪训练 3 某年高考，某考生在参加数学科考试时，其解答完的题目数量y(单位：道)与所用时间x(单位：分钟)近似地满足函数关系y2x.(1)求x从

6、 0 分钟变化到 36 分钟时，y关于x的平均变化率，并解释它的实际意义；(2)求f(64)，f(100)，并解释它的实际意义 1 某公司的盈利y(元)和时间x(天)的函数关系是yf(x)，假设f(x)0 恒成立，且f(10)10，f(20)1，则这些数据说明第 20 天与第 10 天比较()A公司已经亏损 B公司的盈利在增加，且增加的幅度变大 C公司在亏损且亏损幅度变小 D公司的盈利在增加，但增加的幅度变小 2 某人拉动一个物体前进，他所做的功W是时间t的函数，即WW(t)，则W(t0)表示()Att0时做的功 Btt0时的速度 Ctt3时的位移 Dtt0时的功率 3 某收音机制造厂的管理者

7、通过对上午上班工人工作效率的研究表明：一个中等技术水平的工人，从 8：00 开始工作，t小时后可装配晶体管收音机的台数为Q(t)t39t212t，则Q(2)_，它的实际意义是_ 4某物体的运动速度与时间的关系为v(t)2t21，则t2 时的加速度为_ 5某厂生产x吨产品获利y万元，y是x的函数，且函数为yf(x)18x221x100.(1)当x从 4 变到 8 时，y关于x的平均变化率是多少？它代表什么实际意义？(2)求f(84)，并解释它的实际意义 1解决实际问题的一般思路：实际问题转化为数学问题，数学问题的结论回到实际问题的结论 2解决实际问题的一般步骤(1)审题：阅读理解文字表达的题意，

8、分清条件和结论，找出问题的主要关系；(2)建模：将文字语言转化成数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)解模：把数学问题化归为常规问题，选择合适的数学方法求解；(4)对结果进行验证评估，定性、定量分析，作出正确的判断，确定其答案 答案精析 问题导学 思考(1)W4W141407311 J/s.(2)它表示从t1 s 到t4 s 这段时间内，这个人平均每秒做功 11 J.(3)W(t)3t28t10，W(1)5 表示在t1 s 时每秒做功 5 J.梳理(1)做的功 瓦特 时间(2)降雨量 导数(3)产量 边际成本 题型探究 例 1 解(1)当t从 1 s 变到 3 s 时，s关于t的平

9、均变化率为 sts3s1312753111 m/s.它表示从t1 s 到t3 s 这段时间内，该质点平均每秒的位移是 11 m.(2)由导数公式表和导数的运算法则可得s(t)4t3，则s(1)437 m/s，s(2)42311 m/s.s(1)表示的是该质点在t1 s 时的瞬时速度，也就是该质点在t1 s 这个时刻的瞬时速度为 7 m/s.s(2)表示的是该质点在t2 s 时的瞬时速度，也就是该质点在t2 s 这个时刻的瞬时速度为 11 m/s.跟踪训练 1 解(1)当x从 1 变到 8 时，y关于x的平均变化率为 f8f18121717(m3/min)(2)f(x)13x23，于是f(27)

10、132723127(m3/min)，实际意义为当时间为 27 min时，水流量增加的速度为 127 m3/min，也就是当时间为 27 min 时，每增加 1 min，水流量增加127 m3.例 2 解 当x从 10 件提高到 20 件时，总成本C从C(10)2 675 元变到C(20)3 350 元 此时总成本的平均改变量为 C20C10201067.5(元/件)，其表示日产量从 10 件提高到 20 件时平均每件产品的总成本的改变量 引申探究 1解 因为C(x)12x60，所以C(75)12756097.5(元/件)，它指的是当日产量为 75 件时，每多生产一件产品，需增加成本 97.5

11、元 2解 因为C(x)12xa，所以日产量为 75 件时的边际成本大于 97.5，即C(75)1275a97.5，解得a60.跟踪训练 2 解(1)Q10 时的总成本C(10)1001024125；Q10 时的平均成本 C10C101012.5.边际成本即成本函数C(Q)对产量Q的导数，故边际成本C(Q)12Q，Q10 时的边际成本是C(10)5.(2)由(1)得，平均成本 CQCQQ100QQ4，而100QQ42100QQ410，当且仅当100QQ4，即Q20 时，等号成立，所以当产量Q为 20 时，平均成本最小，且平均成本的最小值是 10.例 3 解(1)当x从 1 h 变到 4 h 时，

12、产量y从f(1)8120 g 变到f(4)17620 g，此时平均变化率为 f4f14117620812031912(g/h)，它表示从 1 h 到 4 h 这段时间这个人平均每小时生产1912 g 产品(2)f(x)x102x，于是 f(1)2110(g/h)，f(4)75(g/h)，分别表示在第 1 小时和第 4 小时这个人每小时生产产品2110 g 和75 g.跟踪训练 3 解(1)x从 0 分钟变化到 36 分钟，y关于x的平均变化率为f36f0360123613.它表示该考生前 36 分钟平均每分钟解答13道题(2)f(x)1x，f(64)18，f(100)110.它们分别表示该考生

13、在第 64 分钟和第 100 分钟时每分钟可解答18和110道题 当堂训练 1D 2.D 336 台/小时 10：00 时，工人装配晶体管收音机的速度为 36 台/小时 48 5解(1)当x从 4 变到 8 时，y关于x的平均变化率为f8f48460188419.5(万元/吨)，它表示产量从 4 吨增加到 8 吨的过程中，每增加 1 吨产量，利润平均增加19.5 万元(2)f(x)14x21，于是f(84)0，f(84)表示当产量为 84 吨时，利润增加的速度为 0，也就是说当产量为 84 吨时，每多生产 1 吨产品，利润增加为 0，即利润不变 问题导学 思考(1)W4W141407311 J

14、/s.(2)它表示从t1 s 到t4 s 这段时间内，这个人平均每秒做功 11 J.(3)W(t)3t28t10，W(1)5 表示在t1 s 时每秒做功 5 J.梳理(1)做的功 瓦特 时间(2)降雨量 导数(3)产量 边际成本 题型探究 例 1 解(1)当t从 1 s 变到 3 s 时，s关于t的平均变化率为 sts3s1312753111 m/s.它表示从t1 s 到t3 s 这段时间内，该质点平均每秒的位移是 11 m.(2)由导数公式表和导数的运算法则可得s(t)4t3，则s(1)437 m/s，s(2)42311 m/s.s(1)表示的是该质点在t1 s 时的瞬时速度，也就是该质点在

15、t1 s 这个时刻的瞬时速度为 7 m/s.s(2)表示的是该质点在t2 s 时的瞬时速度，也就是该质点在t2 s 这个时刻的瞬时速度为 11 m/s.跟踪训练 1 解(1)当x从 1 变到 8 时，y关于x的平均变化率为 f8f18121717(m3/min)(2)f(x)13x23，于是f(27)132723127(m3/min)，实际意义为当时间为 27 min时，水流量增加的速度为 127 m3/min，也就是当时间为 27 min 时，每增加 1 min，水流量增加127 m3.例 2 解 当x从 10 件提高到 20 件时，总成本C从C(10)2 675 元变到C(20)3 350

16、 元 此时总成本的平均改变量为 C20C10201067.5(元/件)，其表示日产量从 10 件提高到 20 件时平均每件产品的总成本的改变量 引申探究 1解 因为C(x)12x60，所以C(75)12756097.5(元/件)，它指的是当日产量为 75 件时，每多生产一件产品，需增加成本 97.5 元 2解 因为C(x)12xa，所以日产量为 75 件时的边际成本大于 97.5，即C(75)1275a97.5，解得a60.跟踪训练 2 解(1)Q10 时的总成本C(10)1001024125；Q10 时的平均成本 C10C101012.5.边际成本即成本函数C(Q)对产量Q的导数，故边际成本

17、C(Q)12Q，Q10 时的边际成本是C(10)5.(2)由(1)得，平均成本 CQCQQ100QQ4，而100QQ42100QQ410，当且仅当100QQ4，即Q20 时，等号成立，所以当产量Q为 20 时，平均成本最小，且平均成本的最小值是 10.例 3 解(1)当x从 1 h 变到 4 h 时，产量y从f(1)8120 g 变到f(4)17620 g，此时平均变化率为 f4f14117620812031912(g/h)，它表示从 1 h 到 4 h 这段时间这个人平均每小时生产1912 g 产品(2)f(x)x102x，于是 f(1)2110(g/h)，f(4)75(g/h)，分别表示在

18、第 1 小时和第 4 小时这个人每小时生产产品2110 g 和75 g.跟踪训练 3 解(1)x从 0 分钟变化到 36 分钟，y关于x的平均变化率为f36f0360123613.它表示该考生前 36 分钟平均每分钟解答13道题 (2)f(x)1x，f(64)18，f(100)110.它们分别表示该考生在第 64 分钟和第 100 分钟时每分钟可解答18和110道题 当堂训练 1D 2.D 336 台/小时 10：00 时，工人装配晶体管收音机的速度为 36 台/小时 48 5解(1)当x从 4 变到 8 时，y关于x的平均变化率为f8f48460188419.5(万元/吨)，它表示产量从 4 吨增加到 8 吨的过程中，每增加 1 吨产量，利润平均增加19.5 万元(2)f(x)14x21，于是f(84)0，f(84)表示当产量为 84 吨时，利润增加的速度为 0，也就是说当产量为 84 吨时，每多生产 1 吨产品，利润增加为 0，即利润不变