2017_18版高中数学第三章圆锥曲线与方程1.2椭圆的简单性质二学案北师大版选修15561.pdf

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1、 1.2 椭圆的简单性质(二)学习目标 1.进一步巩固椭圆的简单性质.2.掌握直线与椭圆位置关系等相关知识.知识点一 点与椭圆的位置关系 思考 1 判断点P(1,2)与椭圆x24y21 的位置关系.思考 2 类比点与圆的位置关系的判定，你能给出点P(x0，y0)与椭圆x2a2y2b21(ab0)的位置关系的判定吗？梳理 设P(x0，y0)，椭圆x2a2y2b21(ab0)，则点P与椭圆的位置关系如下表所示：位置关系 满足条件 P在椭圆外 x20a2y20b21 P在椭圆上 x20a2y20b21 P在椭圆内 x20a2y20b2b0)的位置关系？梳理(1)判断直线和椭圆位置关系的方法 将直线的

2、方程和椭圆的方程联立，消去一个未知数，得到一个一元二次方程.若0，则直线和椭圆_；若0，则直线和椭圆_；若b0)相交，两个交点为A(x1，y1)、B(x2，y2)，则线段AB叫作直线l截椭圆所得的弦，线段AB的长度叫作_.下面我们推导弦长公式：由两点间的距离公式，得|AB|x1x22y1y22，将y1kx1m，y2kx2m代入上式，得|AB|x1x22kx1kx22x1x22k2x1x221k2|x1x2|，而|x1x2|x1x224x1x2，所以|AB|1k2x1x224x1x2，其中x1x2与x1x2均可由根与系数的关系得到.(3)直线和椭圆相交是三种位置关系中最重要的，判断直线和椭圆相交

3、可利用0.例如，直线l：yk(x2)1 和椭圆x216y291.无论k取何值，直线l恒过定点(2,1)，而定点(2,1)在椭圆内部，所以直线l必与椭圆相交.类型一 点、直线与椭圆位置关系的判断 命题角度 1 点与椭圆位置关系的判断 例 1 已知点P(k,1)，椭圆x29y241，点在椭圆外，则实数k的取值范围为_.引申探究 若将本例中P点坐标改为“(1，k)”呢？反思与感悟 处理点与椭圆位置关系问题时，紧扣判定条件，然后转化为解不等式等问题，注意求解过程与结果的准确性.跟踪训练 1 已知点(3,2)在椭圆x2a2y2b21(ab0)上，则()A.点(3，2)不在椭圆上 B.点(3，2)不在椭圆

4、上 C.点(3,2)在椭圆上 D.以上都不正确 命题角度 2 直线与椭圆位置关系的判断 例 2(1)直线ykxk1 与椭圆x22y231 的位置关系是()A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定(2)在平面直角坐标系xOy中，经过点(0，2)且斜率为k的直线l与椭圆x22y21 有两个不同的交点P和Q.求k的取值范围.反思与感悟 直线与椭圆的位置关系判别方法(代数法)联立直线与椭圆的方程，消元得到一元二次方程(1)0直线与椭圆相交有两个公共点.(2)0直线与椭圆相切有且只有一个公共点.(3)0直线与椭圆相离无公共点.跟踪训练 2(1)已知直线l过点(3，1)，且椭圆C：x225y2361，则直

5、线l与椭圆C的公共点的个数为()A.1 B.1 或 2 C.2 D.0(2)若直线ykx2 与椭圆x23y221 相切，则斜率k的值是()A.63 B.63 C.63 D.33 类型二 弦长及中点问题 例 3 已知椭圆x216y241 的弦AB的中点M的坐标为(2,1)，求直线AB的方程.引申探究 在本例中求弦AB的长.反思与感悟 直线与椭圆的交点问题，一般考虑直线方程与椭圆方程组成的方程组的解的问题，即判断消元后所得的一元二次方程的根的判别式.解决弦长问题，一般应用弦长公式.而用弦长公式时，若能结合根与系数的关系“设而不求”，可大大简化运算过程.跟踪训练 3 已知椭圆x236y291 和点P

6、(4,2)，直线l经过点P且与椭圆交于A、B两点.(1)当直线l的斜率为12时，求线段AB的长度；(2)当点P恰好为线段AB的中点时，求l的方程.类型三 椭圆中的最值(或范围)问题 例 4 已知椭圆 4x2y21 及直线yxm.(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；(2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程.反思与感悟 求最值问题的基本策略(1)求解形如|PA|PB|的最值问题，一般通过椭圆的定义把折线转化为直线，当且仅当三点共线时|PA|PB|取得最值.(2)求解形如|PA|的最值问题，一般通过二次函数的最值求解，此时一定要注意自变量的取值范围.(3)求解形如axby的最值问题，一

7、般通过数形结合的方法转化为直线问题解决.(4)利用不等式，尤其是基本不等式求最值或取值范围.跟踪训练4 已知动点P(x，y)在椭圆x225y2161 上，若点A的坐标为(3,0)，|AM|1，且PMAM0，求|PM|的最小值.1.若点A(a,1)在椭圆x24y221 的内部，则a的取值范围是()A.2a 2 B.a 2 C.2a2 D.1a32，故点在椭圆外.思考 2 当P在椭圆外时，x20a2y20b21；当P在椭圆上时，x20a2y20b21；当P在椭圆内时，x20a2y20b20 相切 一解 0 相离 无解 0，解得k22.即k的取值范围为，2222，.跟踪训练 2(1)C(2)C 例

8、3 解 方法一 根与系数的关系、中点坐标公式法 由椭圆的对称性，知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y1k(x2).将其代入椭圆方程并整理，得(4k21)x28(2k2k)x4(2k1)2160.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2是上述方程的两根，于是x1x282k2k4k21.又M为线段AB的中点，x1x2242k2k4k212，解得k12.故所求直线的方程为x2y40.方法二 点差法 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1x2.M(2,1)为线段AB的中点，x1x24，y1y22.又A，B两点在椭圆上，则x214y2116，x224y2216，两式相减，得(x21x

9、22)4(y21y22)0，于是(x1x2)(x1x2)4(y1y2)(y1y2)0.y1y2x1x2x1x24y1y244212，即kAB12.故所求直线的方程为x2y40.方法三 对称点法(或共线法)设所求直线与椭圆的一个交点为 A(x，y)，由于点M(2,1)为线段AB的中点，则另一个交点为B(4x,2y).A，B两点都在椭圆上，x24y216，4x242y216.，得x2y40.即点A的坐标满足这个方程，根据对称性，点B的坐标也满足这个方程，而过A，B两点的直线只有一条，故所求直线的方程为x2y40.引申探究 解 由上例得直线AB方程为x2y40.联立方程组 x2y40，x216y24

10、1，消去y并整理，得x(x4)0，得x0 或x4，得两交点坐标A(0,2)，B(4,0)，故|AB|0422022 5.跟踪训练 3 解(1)由已知可得直线l的方程为y212(x4)，即y12x.由 y12x，x236y291，消去y可得x2180，若设A(x1，y1)，B(x2，y2).则x1x20，x1x218.于是|AB|x1x22y1y22 x1x2214x1x22 52x1x224x1x2526 23 10.所以线段AB的长度为 3 10.(2)方法一 设l的斜率为k，则其方程为 y2k(x4).联立 y2kx4，x236y291，消去y得(14k2)x2(32k216k)x(64k

11、264k20)0.若设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x232k216k14k2，由于AB的中点恰好为P(4,2)，所以x1x2216k28k14k24，解得k12，且满足0.这时直线的方程为y212(x4)，即x2y80.方法二 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有 x2136y2191，x2236y2291，两式相减得x22x2136y22y2190，整理得kABy2y1x2x19x2x136y2y1，由于P(4,2)是AB的中点，x1x28，y1y24，于是kAB9836412，于是直线AB的方程为y212(x4)，即x2y80.例 4 解(1)由 4x2y21，yxm得

12、 5x22mxm210，因为直线与椭圆有公共点，所以4m220(m21)0，解得52m52.(2)设直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，由(1)知：5x22mxm210，所以x1x22m5，x1x215(m21)，所以|AB|x1x22y1y22 2x1x22 2x1x224x1x2 24m22545m21 25 108m2.所以当m0 时，|AB|最大，此时直线方程为yx.跟踪训练 4 解 由|AM|1，A(3,0)，知点M在以A(3,0)为圆心，1 为半径的圆上运动，PMAM0 且P在椭圆上运动，PMAM，即PM为A的切线，连接PA(如图)，则|PM|PA|2|AM|2|P A|21，当|PA|minac532 时，|PM|min 3.当堂训练 1.A 2.C 3.2 7 4.(2,2)5.解 设直线l与椭圆的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)，由 ykx1，x22y21，消去y并化简，得(12k2)x24kx0，所以x1x24k12k2，x1x20.由|MN|4 23，得(x1x2)2(y1y2)2329，所以(1k2)(x1x2)2329，所以(1k2)(x1x2)24x1x2329，即(1k2)(4k12k2)2329，化简得k4k220，所以k21，所以k1.所以所求直线l的方程是yx1 或yx1.