高考数学第九章平面解析几何第5讲椭圆第1课时椭圆及其性质高效演练分层突破文新人教A版15735.pdf

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1、第 1 课时 椭圆及其性质 基础题组练 1已知正数m是 2 和 8 的等比中项，则圆锥曲线x2y2m1 的焦点坐标为()A(3，0)B(0，3)C(3，0)或(5，0)D(0，3)或(5，0)解析：选 B.因为正数m是 2 和 8 的等比中项，所以m216，即m4，所以椭圆x2y241 的焦点坐标为(0，3)，故选 B.2(2019高考北京卷)已知椭圆x2a2y2b21(ab0)的离心率为12，则()Aa22b2 B3a24b2 Ca2b D3a4b 解析：选 B.由题意得，ca12，所以c2a214，又a2b2c2，所以a2b2a214，b2a234，所以4b23a2.故选 B.3曲线x21

2、69y21441 与曲线x2169ky2144k1(kb0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为23，过F2的直线l交C于A，B两点，若AF1B的周长为 12，则C的方程为()A.x23y21 B.x23y221 C.x29y241 Dx29y251 解析：选 D.由椭圆的定义，知|AF1|AF2|2a，|BF1|BF2|2a，所以AF1B的周长为|AF1|AF2|BF1|BF2|4a12，所以a3.因为椭圆的离心率eca23，所以c2，所以b2a2c25，所以椭圆C的方程为x29y251，故选 D.5(2020昆明市诊断测试)已知F1，F2为椭圆C：x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点

3、，B为C的短轴的一个端点，直线BF1与C的另一个交点为A，若BAF2为等腰三角形，则|AF1|AF2|()A.13 B.12 C.23 D3 解析：选 A.如图，不妨设点B在y轴的正半轴上，根据椭圆的定义，得|BF1|BF2|2a，|AF1|AF2|2a，由题意知|AB|AF2|，所以|BF1|BF2|a，|AF1|a2，|AF2|3a2.所以|AF1|AF2|13.故选 A.6若椭圆C：x2a2y2b21(ab0)的短轴长等于焦距，则椭圆的离心率为 解析：由题意可得bc，则b2a2c2c2，a 2c，故椭圆的离心率eca22.答案：22 7(2020贵阳模拟)若椭圆x2a2y2b21(ab0

4、)的离心率为32，短轴长为 4，则椭圆的标准方程为 解析：由题意可知eca32，2b4，得b2，所以ca32，a2b2c24c2，解得a4，c2 3，所以椭圆的标准方程为x216y241.答案：x216y241 8(2019高考全国卷)设F1，F2为椭圆C：x236y2201 的两个焦点，M为C上一点且在第一象限若MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为 解析：通解：由椭圆C：x236y2201，得ca2b24，不妨设F1，F2分别为左、右焦点，则由题意知|MF1|F1F2|2c8，于是由椭圆的定义得|MF1|MF2|12，所以|MF2|12|MF1|4，易知MF1F2的底边MF2上的高h|F1F

5、2|212|MF2|2 82222 15，所以12|MF2|h12|F1F2|yM，即1242 15128yM，解得yM 15，代入椭圆方程得xM3(舍去)或xM3，故点M的坐标为(3，15)优解：不妨设F1，F2分别为左、右焦点，则由题意，得|MF1|F1F2|8，由椭圆的焦半径公式得|MF1|exM623xM68，解得xM3，代入椭圆方程得yM 15，故点M的坐标为(3，15)答案：(3，15)9已知椭圆的长轴长为 10，两焦点F1，F2的坐标分别为(3，0)和(3，0)(1)求椭圆的标准方程；(2)若P为短轴的一个端点，求F1PF2的面积 解：(1)设椭圆的标准方程为x2a2y2b21(

6、ab0)，依题意得2a10，c3，因此a5，b4，所以椭圆的标准方程为x225y2161.(2)易知|yP|4，又c3，所以SF1PF212|yP|2c124612.10分别求出满足下列条件的椭圆的标准方程(1)与椭圆x24y231 有相同的离心率且经过点(2，3)；(2)已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且P到两焦点的距离分别为 5，3，过P且与长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点 解：(1)由题意，设所求椭圆的方程为x24y23t1或y24x23t2(t1，t20)，因为椭圆过点(2，3)，所以t1224（3）232，或t2（3）242232512.故所求椭圆的标准方程为x28y261 或y

7、2253x22541.(2)由于焦点的位置不确定，所以设所求的椭圆方程为x2a2y2b21(ab0)或y2a2x2b21(ab0)，由已知条件得2a53，（2c）25232，解得a4，c2，所以b212.故椭圆的方程为x216y2121 或y216x2121.综合题组练 1(2020合肥市第二次质量检测)已知椭圆x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，上顶点为B，以线段F1A为直径的圆交线段F1B的延长线于点P，若F2BAP，则该椭圆的离心率是()A.33 B.23 C.32 D22 解析：选 D.如图，由题意知，P为以F1A为直径的圆上一点，所以F1PAP，结合

8、F2BAP知F1PF2B.又|F1B|F2B|，所以BF1F2为等腰直角三角形，所以|OB|OF2|，即bc，所以a2b2c22c2，即a 2c，所以椭圆的离心率eca22，故选 D.2(2019高考全国卷)已知椭圆C的焦点为F1(1，0)，F2(1，0)，过F2的直线与C交于A，B两点若|AF2|2|F2B|，|AB|BF1|，则C的方程为()A.x22y21 B.x23y221 C.x24y231 Dx25y241 解析：选 B.由题意设椭圆的方程为x2a2y2b21(ab0)，连接F1A，令|F2B|m，则|AF2|2m，|BF1|3m.由椭圆的定义知，4m2a，得ma2，故|F2A|a

9、|F1A|，则点A为椭圆C的上顶点或下顶点 令OAF2(O为坐标原点)，则 sin 1a.在等腰三角形ABF1中，cos 2a23a213，所以1312(1a)2，得a23.又c21，所以b2a2c22，椭圆C的方程为x23y221.故选 B.3已知椭圆C：x22y24.(1)求椭圆C的离心率；(2)设O为原点若点A在直线y2 上，点B在椭圆C上，且OAOB，求线段AB长度的最小值 解：(1)由题意，椭圆C的标准方程为x24y221.所以a24，b22，从而c2a2b22.因此a2，c 2.故椭圆C的离心率eca22.(2)设点A，B的坐标分别为(t，2)，(x0，y0)，其中x00.因为OA

10、OB，所以OAOB0，即tx02y00，解得t2y0 x0.又x202y204，所以|AB|2(x0t)2(y02)2x02y0 x02(y02)2 x20y204y20 x204x204x2022（4x20）x204x2028x204(0 x204)因为x2028x204(0 x204)，当且仅当x204 时等号成立，所以|AB|28.故线段AB长度的最小值为 2 2.4(2019高考全国卷)已知F1，F2是椭圆C：x2a2y2b21(ab0)的两个焦点，P为C上的点，O为坐标原点(1)若POF2为等边三角形，求C的离心率；(2)如果存在点P，使得PF1PF2，且F1PF2的面积等于 16，求b的值和a的取值范围 解：(1)连接PF1.由POF2为等边三角形可知在F1PF2中，F1PF290，|PF2|c，|PF1|3c，于是 2a|PF1|PF2|(31)c，故C的离心率eca 31.(2)由题意可知，满足条件的点P(x，y)存在当且仅当 12|y|2c16，yxcyxc1，x2a2y2b21，即c|y|16，x2y2c2，x2a2y2b21.由及a2b2c2得y2b4c2，又由知y2162c2，故b4.由得x2a2c2(c2b2)，所以c2b2，从而a2b2c22b232，故a4 2.当b4，a4 2时，存在满足条件的点P.所以b4，a的取值范围为4 2，)