线性方程组的矩阵求法13421.pdf

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1、-线性方程组的矩阵求法 摘要：关键词：第一章 引言 矩阵及线性方程组理论是高等代数的重要容,用矩阵 方法解线性方程组又是人们学习高等代数必须掌握的根本 技能,本文将给出用矩阵解线性方程组的几种方法，通过对线性方程组的系数矩阵或增广矩阵进展初等变换得到其解，并列举出几种用矩阵解线性方程组的简便方法。第二章 用矩阵消元法解线性方程组 第一节 预备知识 定义1：一个矩阵中不等于零的子式的最大阶数叫作这个矩阵的秩。定理 1：初等变换把一个线性方程组变为一个与它同解的线性方程组。定义2：定义假设阶梯形矩阵满足下面两个条件：1B的任一非零行向量的第一个非零分量称为的 一个主元为1；2B中每一主元是其所在列

2、的唯一非零元。则称矩阵为行最简形矩阵。第二节 1对一个线性方程组施行一个初等变换，相当于对它的增广矩阵施行一个对应的行初等变换，而化简线性方程组相当于用行初-等变换化简它的增广矩阵，因此，我们将要通过花间矩阵来讨论化简线性方程组的问题。这样做不但讨论起来比拟方便，而且能给我们一种方法，就一个线性方程组的增广矩阵来解这个线性方程组，而不必每次都把未知量写出来。下面以一般的线性方程组为例，给出其解法：111 11221121 1222221 122,.nnnnmmmnnma xa xa xba xa xa xba xaxaxb 根据方程组可知其系数矩阵为：2111212122212nnmmmnaa

3、aaaaaaa 其增广矩阵为：311121121222212nnmmmnmaaabaaabaaab 根据2及矩阵的初等变换我们可以得到和它同解的线性方程组，并很容易得到其解。定理 2：设 A 是一个 m 行 n 列矩阵 A=111212122212nnmmmnaaaaaaaaa-通过行初等变换和第一种列初等变换能把 A 化为以下形式 41*0 1*0 0 01*0000进而化为51,112,12,11 0 000 1 000 0 010000rnrnr rrncccccc 这里 r0,rm,rn,表示矩阵的元素，但不同位置上的表示的元素未必相等。即任何矩阵都可以通过初等变换化为阶梯形，并进而化

4、为行最简形 现在考察方程组 1 的增广矩阵 3，由定理 2 我们可以对 1的系数矩阵2施行一次初等变换，把它化为矩阵5，对增广矩阵3施行同样的初等变换，则3可以化为以下形式：61,1112,122,111 0 000 1 000 0 010000rnrnr rrnrrmccdccdccddd 与6相当的线性方程组是：-7112111,1112,122,11,0,0,rnrnrrniriniiriniir rirnirrmxcxc xdxcxc xdxcxc xddd 这里1i，2i，ni是 1，2，n 的一个排列，由于方程组7可以由方程组1通过方程组的初等变换以及交换未知量的位置而得到，所以由

5、定理 1，方程组7与方程组1同解。因此，要求方程组1，只需解方程组7，但方程组7是否有解以及有怎样的解很容易看出:情形1，rm,而1rd,md不全为零，这时方程组7无解，因为它的后 m-r 个方程中至少有一个无解。因此方程组1也无解。情形1，r=m 或 rm 而1rd,md全为零，这时方程组7与方程组8112111,1112,122,1,rnrnrrniriniiriniir rirnirxcxc xdxcxc xdxcxc xd同解。当 r=n 时，方程组8有唯一解,就是tix=td,t=1,2,n.这也是方程组1的唯一解 当 rn 时方程组8可以改写为-91121111,1122,12,1

6、,rnrnrrniriniiriniirr rirnixdcxc xxdcxc xxdcxc x 于是,给予未知量1rix,nix以任意一组数值1rik,nik，就得到8的一个解：1111111,11,1,.rnrrnrrnniriniirr rirniiiiixdckc kxdckc kxkxk 这也是1的一个解。由于1rik,nik可以任选，用这一方法可以得到1的无穷多解。另一方面，由于8的任一解都必须满足9，所以8的全部解，亦即1的全部解都可以用以上方法得到。例 1：解线性方程组 解：方程组的增广矩阵是 进展初等行变换可得到矩阵最简形 对应的线性方程组是 把移到右边作为自由未知量，得原方

7、程组的一般解 第三章 用初等变换解线性方程组 定义 2：设 B 为 mn 行最简形矩阵,按以下方法作 sn 矩阵 C:对任一 i:1is,假设有 B 的*一主元位于第 i 列,则将其所在行称为C 的第 i 行,否则以 n 维单位向量(0,0,1,0,0)ie 作为 C 的第 i-行,称 C 为 B 的 sn 单位填充矩阵(其中1is).显然,单位填充矩阵的主对角线上的元素只能是1或-1,假设主对角线上*一元素为-1,则该元素所在列之列向量称为C的J一列向量。定义3：设B为行最简形矩阵,假设B的单位填充矩阵C的任一J一列向量均为以B为系数矩阵的齐次线性方程组:(1)11 1122121 1222

8、21 1220,0,0.nnnnmmmnnb xb xb xb xb xb xb xbxb x (1)的解向量，则C与B是匹配的也说B与C是匹配的。引理1：设B为行最简形矩阵，假设将B的第i列与第j列交换位置所得矩阵仍为行最简形矩阵，则：将的单位填充矩阵的第行与第行交换位置，第列与第列交换位置所得矩阵为单位填充矩阵，其中 假设C与B是匹配的，则C与B也是匹配。证明：结论显然成立，下证，因为C与B是匹配的，故C只能是nn矩阵,从而C也是nn矩阵,设以B为系数矩阵的方程组为(1),以B为系数矩阵的方程组为(1),以B为系数矩阵的方程组为：11 1122121 122221 1220,0,0.nnn

9、nmmmnnb xb xb xb xbxbxbxbxbx (2)则由B与B的关系可知对方程组1进展变量代换。就得到方程组2,于是方程组1的任一解向量交换i、j-两个分量的位置后就是方程组2的一个解向量,又从C与C的关系可知,C的任一J一列向量均可由C的*一J一列向量交换i、j两个分量的位置后得到,从而由C与B匹配知C与B也是匹配的。引理2：任一mn行最简形矩阵与其nn单位填充矩阵C是匹配的。证明:1设 1,11,212,12,22,1,21 000 100 010 000000 00000rrnrrnr rr rrnn nbbbbbbBbbb(3)则以为系数矩阵的齐次线性方程组为:11,111

10、,22122,112,222,11,220,0,0rrrrnnrrrrnnrr rrr rrmnnxbxbxb xxbxbxb xxbxbxb x (4)而B的单位填充矩阵为:1,11,212,12,22,1,21 000 100 010 001000 00001rrnrrnr rr rrnn nbbbbbbCbbb (5)其所有 J 一列向量为 显然它们都是方程组(4)的解,即 B 与 C 是匹配的.2，一般形式的行最简形矩阵B显然总可以通过一系列的第二类初等列变换(变换两列的位置)化为(3)的形式,从而B的单位填充矩阵C-通过相应的初等行、列变换就变成矩阵(5),由于这种变换是可递的,据引

11、理2及引理1知B与C是匹配的。定理3:设齐次线性方程组 11 1122121 122221 1220,0,0.nnnnmmmnna xa xa xa xa xa xa xaxax (6)的系数矩阵A经一系列初等行变换化为行最简形矩阵B,则B的nn单位填充矩阵C的所有J一列向量构成方程组(6)的一个根底解系。证明：设以B为系数矩阵的齐次线性方程组为(1),则(1)与(6)同解,据引理2知C的所有J一列向量都是方程组(1)的解,且是n-r个线性无关的解向量,(这里r=秩(B)=秩(A),从而构成方程组(1)的一个根底解系,也是方程组(6)的一个根底解系.定理3：设非齐次线性方程组 11 11221

12、121 1222221 122,.nnnnmmmnnna xa xa xba xa xa xba xaxaxb (7)有解,其增广矩阵A经一系列初等行变换化为行最简形矩阵B,则B的n(n+1)单位填充矩阵C的所有J一列向量构成方程组的导出组的一个根底解系,而C的最后一个列向量为方程组(7)的一个特解。证明：由定理3,前一结论显然,下证C的最后一个列向量为方程组(7)的一个特解。作齐次线性方程组-11 112211121 12222211 1221000nnnnnnmmmnnmna xa xa xb xa xa xa xb xa xaxaxb x(8)则方程组(8)的系数矩阵即为方程组(7)的增

13、广矩阵A,于是B的(n+1)(n+1)单位填充矩阵为 由定理3知C的最后一个列向量是方程组(8)的一个解,从而易知C的最后一个列向量即为方程组(7)的一个特解.例2:求线性方程组 123451234513451345333245424234232xxxxxxxxxxxxxxxxxx (9)的一般解。解:方程组(9)的增广矩阵为 用初等行变换将变为行最简形矩阵。写出B的56单位填充矩阵：于是,方程组的导出组的根底解系为12(2,1,1,0,0)(0,2,0,1,1)而方程的一个特解为 3(2,1,0,0,0)从而方程组9的一般解为1 1223kk其中1k,2k为任意常数.第四章 线性方程组通解的

14、一种简便求法 1 齐次线性方程组根底解系的一种简便求法 设有齐次线性方程组-11 1122121 122221 1220,0,0.nnnnmmmnna xa xa xa xa xa xa xaxax (1)矩阵形式为0TXA,其中12,(,),nXx xx A=111212122212nnmmmnaaaaaaaaa 求方程组0TXA 的一个根底解系的方法如下:,()0r nTn mnn rmDAEP 行初等变换 其中r=r(A),r(r mD)=r,即r mD为一个行满秩矩阵,nE为n 阶单位矩阵,P 为n 阶可逆矩阵。则矩阵P 的后(n-r)行即为方程组(1)的一个根底解系。下面证明此结论。

15、证明:对于n m 矩阵TA,必存在n 阶和m 阶可逆矩阵P,Q,使PTAQ=000rE,所以PTA=000rE1Q=()0r nn rmD，因为P为可逆矩阵,P的行向量组线性无关,所以P的后(n-r)行行向量线性无关,而矩阵P的后(n-r)行为(0,n rE)P,因为(0,n rE)PTA=(0,n rE)()0r nn rmD=0,所以*=(0,n rE)P为方程组0TXA 一个解,即P 的后(n-r)行为方程组(1)的一个根底解系。因为TTnP AEPAP=()0r nn rmDP也就是对矩阵TAP施行初等行变-换,将其转变为()0r nn rmDP,则P 的后(n-r)行即为方程组(1)

16、的一个根底解系。例3 求齐次线性方程组 的一个根底解系。解 因为r(A)=2,所以P的后3 行,即1=(-2,1,1,0,0),2=(-1,-3,0,1,0),3=(2,1,0,0,1)为方程组的一个根底解系。2 非齐次线性方程组通解的一种简便求法 设有非齐次线性方程组 11 11221121 1222221 122,.nnnnmmmnnma xa xa xba xa xa xba xaxaxb (2)其矩阵方程为TTXAb,其中12mbbbb.求方程组TTXAb的通解的方法如下:1(1)001r nTnnTnrmDPAEb 行初等变换,其中np为n 阶可逆矩阵,()Trr A,则(1)矩阵P

17、n 的后(n-r)行即为方程组*AT=0 的一个根底解系;(2)*=3为方程组*AT=bT 一个特解。-结论(1)的正确性在前面已经得到证明,下面证明结论(2)。当r(AT)=rATbT 时,方程组有解,对此情况进展证明。则矩阵Pn 的后(n-r)行即为方程组*AT=0 的一个根底解系,*=3为方程组*AT=bT 一个特解。作两点说明:(1)对矩阵ATbT En+1 作初等行变换后,假设最后一行的前m 个元素不能全部变为零,即r(AT)rATbT,此时方程组无解;(2)对矩阵ATbT En+1 作初等行变换时,最后一行不能与其它各行交换位置。例2 解线性方程组 解 所以方程组*AT=0 的一个根底解系为 方程组*AT=bT 的一个特解为3=所以方程组*AT=bT 的通解为=3+c11+c22,其中c1,c2 为任意常数。用这种方法求齐次线性方程组的根底解系,或求非齐次线性方程组的通解只需施行矩阵的初等行变换,省掉了写矩阵对应的方程组,以及设自由未知量等繁杂过程,简单而实用,且易于掌握。