第三章导数及其应用(文数)第3讲1841.pdf

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1、基础巩固题组(建议用时：40 分钟)一、填空题 1.函数 f(x)2x36x218x7 在1，4上的最小值为_.解析 f(x)6x2 12x 18 6(x2 2x 3)6(x 3)(x 1)，由 f(x)0，得x 3 或 x1；由 f(x)0，得1 x 3，故函数f(x)在 1，3上单调递减，在3，4上单调递增，f(x)min f(3)227 69 183 761.答案 61 2.函数 f(x)x33x23xa 的极值点的个数是_.解析 f(x)3x2 6x 3 3(x2 2x 1)3(x 1)20，函数f(x)在R 上单调递增，故f(x)无极值点.答案 0 3.(2015泰州调研)函数 f(

2、x)x33bx3b 在(0，1)内有极小值，则 b 的取值范围是_.解析 由 f(x)x3 3bx 3b，得f(x)3x2 3b.由已知可得f(x)3x2 3b 在(0，1)上与x 轴有交点，且满足f（0）0，f（1）0，即b 0，3 3b 0.0 b 1.b 的取值范围是(0，1).答案(0，1)4.(2015扬州模拟)已知 f(x)x33ax2bxa2在 x1 时有极值 0，则 ab_.解析 由题意得f(x)3x2 6ax b，则 a2 3a b 1 0，b 6a 3 0，解得a 1，b 3或a 2，b 9，经检验当a 1，b 3 时，函数f(x)在 x1 处无法取得极值，而a 2，b 9

3、满足题意，故a b7.答案 7 5.(2016长沙模拟)已知函数 f(x)x3ax2(a6)x1 有极大值和极小值，则实数 a 的取值范围是_.解析 f(x)3x2 2ax(a 6)，由已知可得f(x)0 有两个不相等的实根，4a2 43(a 6)0，即a2 3a 18 0.a 6 或 a3.答案(，3)(6，)6.设 aR，若函数 yexax，xR 有大于零的极值点，则 a 的取值范围是_.解析 y ex ax，yex a.函数y ex ax 有大于零的极值点，则方程y ex a 0 有大于零的解，x 0 时，ex1，aex1.答案(，1)7.已知函数 f(x)x312x8 在区间3，3上的

4、最大值与最小值分别为 M，m，则 Mm_.解析 由题意，得f(x)3x2 12，令f(x)0，得x2，又f(3)17，f(2)24，f(2)8，f(3)1，所以M 24，m8，M m 32.答案 32 8.(2015苏、锡、常、镇模拟)函数 f(x)ax3bx2cxd 在 x0 处有极大值 1，在 x2 处有极小值 0，则常数 a，b，c，d 分别为_，_，_，_.解析 f(x)3ax2 2bx c，则f（2）0，f（2）0，f（0）1，f（0）0，即8a 4b 2c d 0，12a 4b c 0，d 1，c 0，解得a14，b34，c 0，d 1.答案 14 34 0 1 二、解答题 9.(

5、2016徐州一检)当 a，1e时，函数 f(x)ax1ln x 在区间(0，e)上的最大值为4，求 a 的值.解 由题意 f(x)a1x，令 f(x)0，解得 x1a.a，1e，01ae，由 f(x)0，解得 0 x1a，由 f(x)0，解得1axe.从而 f(x)的单调增区间为0，1a，减区间为1a，e.f(x)maxf1a11ln1a4，解得 ae2.10.(2015安徽卷)已知函数 f(x)ax（xr）2(a0，r0).(1)求 f(x)的定义域，并讨论 f(x)的单调性；(2)若ar400，求 f(x)在(0，)内的极值.解(1)由题意知 xr，所求的定义域为(，r)(r，).f(x)

6、ax（xr）2axx22rxr2，f(x)a（x22rxr2）ax（2x2r）（x22rxr2）2 a（rx）（xr）（xr）4.所以当 xr 时，f(x)0，当rx0.因此，f(x)的单调递减区间为(，r)，(r，)；f(x)的单调递增区间为(r，r).(2)由(1)的解答可知 f(r)0，f(x)在(0，r)上单调递增，在(r，)上单调递减.因此，xr 是 f(x)的极大值点，所以 f(x)在(0，)内的极大值为 f(r)ar（2r）2a4r4004100.能力提升题组(建议用时：25 分钟)11.已知函数 f(x)x3ax24 在 x2 处取得极值，若 m，n1，1，则 f(m)f(n)

7、的最小值是_.解析 对函数f(x)求导得f(x)3x2 2ax，由函数f(x)在 x 2 处取得极值知f(2)0，即34 2a2 0，a 3.由此可得f(x)x3 3x2 4，f(x)3x2 6x，易知f(x)在(1，0)上单调递减，在(0，1)上单调递增，当 m 1，1时，f(m)min f(0)4.又 f(x)3x2 6x 的图象开口向下，且对称轴为x 1，当n 1，1时，f(n)min f(1)9.故 f(m)f(n)的最小值为13.答案 13 12.(2016南通调研)若函数 f(x)x33a2x2x1 在区间12，3 上有极值点，则实数a 的取值范围是_.解析 若函数f(x)在区间1

8、2，3 上无极值，则当x12，3 时，f(x)x2 ax 10 恒成立或当x12，3 时，f(x)x2 ax 10 恒成立.当 x12，3 时，y x1x的值域是2，103；当 x12，3 时，f(x)x2 ax 10，即ax1x恒成立，a2；当 x12，3，f(x)x2 ax 10，即ax1x恒成立，a103.因此要使函数f(x)在12，3 上有极值点，实数 a 的取值范围是2，103.答案 2，103 13.(2015太原二模)已知 f(x)a(x1)(xa)是函数 f(x)的导函数，若 f(x)在 xa处取得极大值，则实数 a 的取值范围是_.解析 f(1)f(a)0，当a1 时，x a

9、 时，f(x)0，f(x)单调递减；a x1 时，f(x)0，f(x)单调递增；x1 时，f(x)0，f(x)单调递减，此时f(x)在 x a 处取得极小值，不符合题意.当1 a 0 时，x1 时，f(x)0，f(x)单调递减；1 x a 时，f(x)0，f(x)单调递增；x a 时，f(x)0，f(x)单调递减，此时f(x)在x a 处取得极大值，符合题意.当a 0 时，x1 时，f(x)0，f(x)单调递增；1 x a 时，f(x)0，f(x)单调递减；x a 时，f(x)0，f(x)单调递增，此时f(x)在x a 处取得极小值，不符合题意.实数a 的取值范围是(1，0).答案(1，0)1

10、4.(2015南京、盐城调研)已知 aR，函数 f(x)axln x1.(1)当 a1 时，求曲线 yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程；(2)求 f(x)在区间(0，e上的最小值.解(1)当 a1 时，f(x)1xln x1，x(0，)，所以 f(x)1x21xx1x2，x(0，).因此 f(2)14，即曲线 yf(x)在点(2，f(2)处的切线斜率为14.又 f(2)ln 212，所以曲线 yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为 yln 21214(x2)，即 x4y4ln 240.(2)因为 f(x)axln x1，所以 f(x)ax21xxax2，x(0，).令 f(x)0，得

11、 xa.若 a0，则 f(x)0，f(x)在区间(0，e上单调递增，此时函数 f(x)无最小值.若 0ae，当 x(0，a)时，f(x)0，函数 f(x)在区间(0，a)上单调递减，当 x(a，e时，f(x)0，函数 f(x)在区间(a，e上单调递增，所以当 xa 时，函数 f(x)取得最小值 ln a.若 ae，则当 x(0，e时，f(x)0，函数 f(x)在区间(0，e上单调递减，所以当 xe 时，函数 f(x)取得最小值ae.综上可知，当 a0 时，函数 f(x)在区间(0，e上无最小值；当 0ae 时，函数 f(x)在区间(0，e上的最小值为 ln a；当 ae 时，函数 f(x)在区间(0，e上的最小值为ae.