第二章函数概念与基本初等函数(文数)第2讲1671.pdf

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1、基础巩固题组(建议用时：40 分钟)一、填空题 1.(2015苏北四市调研)下列四个函数：ylog2x；yx13；y12x；y1x.其中在区间(0，1)上是减函数的是_(填序号).解析 y log2x 在(0，)上为增函数；y x13在(0，)上是增函数；y12x在(0，)上是减函数，y12x在(0，)上是增函数；y1x在(0，)上是减函数，故y1x在(0，1)上是减函数.答案 2.已知函数 f(x)2ax24(a3)x5 在区间(，3)上是减函数，则 a 的取值范围是_.解析 当a 0 时，f(x)12x 5，在(，3)上是减函数；当a0 时，由a0，4（a 3）4a3，得 0”、“”、“”

2、、“”).解析 因为函数f(x)log2x11 x在(1，)上为增函数，且f(2)0，所以x1(1，2)时，f(x1)f(2)0，当x2(2，)时，f(x2)f(2)0，即f(x1)0，f(x2)0.答案 8.设 xR，若函数 f(x)为单调递增函数，且对任意实数 x，都有 f(f(x)ex)e1(e 是自然对数的底数)，则 f(ln 2)的值等于_.解析 由 f(x)的单调性知存在唯一的实数k 使 f(k)e 1，即f(x)ex k，令x k 得 f(k)ek k e 1，所以k 1，从而f(x)ex 1，则f(ln 2)eln 2 1 3.答案 3 二、解答题 9.已知函数 f(x)1a1

3、x(a0，x0).(1)求证：f(x)在(0，)上是增函数；(2)若 f(x)在12，2 上的值域是12，2，求 a 的值.(1)证明 设 x2x10，则 x2x10，x1x20，f(x2)f(x1)1a1x21a1x11x11x2x2x1x1x20，f(x2)f(x1)，f(x)在(0，)上是增函数.(2)解 f(x)在12，2 上的值域是12，2，又由(1)得 f(x)在12，2 上是单调增函数，f1212，f(2)2，易知 a25.10.讨论函数 f(x)xax(a0)的单调性.解 函数的定义域为x|x0.任取 x1，x2x|x0，且 x1x2，则 f(x1)f(x2)x1ax1x2ax

4、2（x1x2）（x1x2a）x1x2(x1x2)1ax1x2.令 x1x2x0，1ax200 可得到 x0 a，这样就把 f(x)的定义域分为(，a，a，0)，(0，a，a，)四个区间，下面讨论它的单调性.若 0 x1x2 a，则 x1x20，0 x1x2a，所以 x1x2a0.所以 f(x1)f(x2)x1ax1x2ax2（x1x2）（x1x2a）x1x20，即 f(x1)f(x2)，所以 f(x)在(0，a上单调递减.同理可得，f(x)在 a，)上单调递增，在(，a上单调递增，在 a，0)上单调递减.故函数 f(x)在(，a和 a，)上单调递增，在 a，0)和(0，a上单调递减.能力提升题

5、组(建议用时：20 分钟)11.(2016泰州一检)已知函数 f(x)（a3）x5，x1，2ax，x1是(，)上的减函数，那么 a 的取值范围是_.解析 由题意得a 3 0，a 0，a 3 52a，解得0 a2.答案(0，2 12.已知函数 f(x)x22axa 在区间(，1)上有最小值，则函数 g(x)f（x）x在区间(1，)上一定是_函数(填“增”、“减”).解析 由题意知a 1，又函数g(x)xax 2a 在|a|，)上为增函数，故g(x)在区间(1，)上一定是增函数.答案 增 13.对于任意实数 a，b，定义 mina，ba，ab，b，ab.设函数 f(x)x3，g(x)log2x，则

6、函数 h(x)minf(x)，g(x)的最大值是_.解析 依题意，h(x)log2x，0 x2，x 3，x 2.当 0 x2 时，h(x)log2x 是增函数，当 x 2 时，h(x)3 x 是减函数，h(x)在 x 2 时，取得最大值h(2)1.答案 1 14.(2015昆明模拟)已知函数 f(x)x22xax，x1，).(1)当 a12时，求函数 f(x)的最小值；(2)若对任意 x1，)，f(x)0 恒成立，试求实数 a 的取值范围.解(1)当 a12时，f(x)x12x2，设 1x1x2，则 f(x2)f(x1)(x2x1)112x1x2，1x1x2，x2x10，2x1x22，012x1x212，112x1x20，f(x2)f(x1)0，f(x1)f(x2).f(x)在区间1，)上为增函数，f(x)在区间1，)上的最小值为 f(1)72.(2)在区间1，)上 f(x)0 恒成立x22xa0 恒成立.设 yx22xa，x1，)，则函数 yx22xa(x1)2a1 在区间1，)上是增函数.所以当 x1 时，y 取最小值，即 ymin3a，于是当且仅当 ymin3a0 时，函数 f(x)0 恒成立，故 a3，即实数 a的取值范围是(3，)