任意角的概念与弧度制讲稿.ppt

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1、关于任意角的概念与弧度制第一页，讲稿共十九页哦任意角的三角函数之一任意角的三角函数之一角的概念的推广角的概念的推广第二页，讲稿共十九页哦2.2.在数学上，我们规定，按逆时针方向旋转形成的角叫做在数学上，我们规定，按逆时针方向旋转形成的角叫做正正角角，按顺时针方向旋转形成的角叫做，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角负角。1.1.角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形。另一个位置所形成的图形。这样，钟表的指针在旋转时所形成的角总是负角。这样，钟表的指针在旋转时所形成的角总是负角。一、角的相关概念：一、角的相关概念：第三页

2、，讲稿共十九页哦3.3.在图在图1.6中，一条射线的端中，一条射线的端点是点是O，它从起始位置，它从起始位置OA按逆按逆时针方向旋转到终止位置时针方向旋转到终止位置OB，形成了一个正角，记作，形成了一个正角，记作。点点O是角的顶点，射线是角的顶点，射线OA、OB分别是分别是的的始边、终边始边、终边。4.4.如果一条射线它从起始位置如果一条射线它从起始位置OA没有作任何旋转，终止位置没有作任何旋转，终止位置OB与起始位置与起始位置OA重合，我们称这样形成的角为重合，我们称这样形成的角为零度角零度角，又称零又称零角，记作角，记作=0 第四页，讲稿共十九页哦角应包括正角、负角和零角角应包括正角、负角

3、和零角 第五页，讲稿共十九页哦为了研究问题方便，我们常在直角坐标系内讨论角，为为了研究问题方便，我们常在直角坐标系内讨论角，为此使此使角的顶点与原点重合角的顶点与原点重合，角的始边与角的始边与x轴的正半轴重合轴的正半轴重合图图1-9中的中的30，390，-330角，角，都是第一象限角；都是第一象限角；图图1-10中的中的300，-60角，都是第四角，都是第四象限角；象限角；585角是角是第三象限角。第三象限角。角的终边角的终边(除端点外除端点外)在第几象限，我们就说这个角是第在第几象限，我们就说这个角是第几象限角几象限角 二、象限角二、象限角终边在坐标轴的角，称为象限界角，它不属于象限角终边在

4、坐标轴的角，称为象限界角，它不属于象限角第六页，讲稿共十九页哦 所所有有与与角角终终边边相相同同的的角角，连连同同角角在在内内，可可构构成成一一个个集集合合 S=|=+k360，kZ，即即任任一一与与角角终终边边相同的角，都可以表示成相同的角，都可以表示成与周角的整数倍的和与周角的整数倍的和 注意以下几点注意以下几点（1）k Z ;（2）是任意角；是任意角；（3）终边相同的角不一定是等角；但相等的角一定是终边相）终边相同的角不一定是等角；但相等的角一定是终边相同的角；同的角；（4）终边相同的角有无数个，他们相差）终边相同的角有无数个，他们相差360的整数倍；的整数倍；（5）k360与与之之间为

5、间为“+”，k360-看作看作k360+（-）三、终边相同的角三、终边相同的角第七页，讲稿共十九页哦例例1 判定下列各角是第几象限角判定下列各角是第几象限角(1)-60；(2)585；(3)-95012 例例3 3 在直角坐标系中，写出终边在在直角坐标系中，写出终边在y轴上的角的集合轴上的角的集合(用用0到到360的角表示的角表示)例例2 2 设设P=P=锐角锐角，Q=Q=小于小于9090 的角的角，M M=第一象限角第一象限角，S=S=小于小于9090 的正角的正角，则下列六，则下列六个关系：个关系：P=Q P=M P=S PP=Q P=M P=S P Q PQ P M M Q Q M M中

6、，正确的有中，正确的有 个？个？（1）四）四（3）-95012=-2360+（-23012）（2）58012=360+225，三，三 （3）=|=n180+90，nZ第八页，讲稿共十九页哦例例7 7 设设 为第三象限角，求为第三象限角，求 所在象限，并画所在象限，并画图表示在该象限的什么区域内图表示在该象限的什么区域内.例例6 6 若若 是第四象限角，则是第四象限角，则180180-是第几象限角？是第几象限角？例例5 5 写出与写出与6060角终边相同的角的集合角终边相同的角的集合S S，并把，并把S S中中适合不等式适合不等式-360-360720720的元素的元素写出来：写出来：例例4 4

7、 在在0-3600-360间，找出下列各角终边相同的间，找出下列各角终边相同的角，并判断它是哪个象限的角角，并判断它是哪个象限的角.（1 1）-140 -140 （2 2）670 670 （3 3）-85036-85036第九页，讲稿共十九页哦任意角的三角函数之二任意角的三角函数之二弧度制弧度制在物理学和日常生活中，在物理学和日常生活中，一个量，常常需要用不一个量，常常需要用不同的方法进行度量，不同的方法进行度量，不同的度量方法可以满足同的度量方法可以满足我们的不同需要。我们的不同需要。第十页，讲稿共十九页哦周角，将它分为周角，将它分为360等分，把一等分确定为等分，把一等分确定为1个单个单位

8、，即位，即1度角。度角。当半径不同时（如图当半径不同时（如图1-13），同），同样的圆心角所对的弧长与半径之样的圆心角所对的弧长与半径之比是常数。我们称这个常数为该比是常数。我们称这个常数为该角度的角度的弧度值弧度值。我们规定，在单位圆中长为我们规定，在单位圆中长为1的弧所对应的圆心角称为的弧所对应的圆心角称为1弧弧度角，它的单位符号是度角，它的单位符号是rad，读作弧度。读作弧度。第十一页，讲稿共十九页哦一般地，任一正角的弧度数都是一个正数；任一负一般地，任一正角的弧度数都是一个正数；任一负角的弧度数都是一个负数；零角的弧度数是角的弧度数都是一个负数；零角的弧度数是0。这种以弧度作为单位来度

9、量角的单位制，叫这种以弧度作为单位来度量角的单位制，叫做弧度制。做弧度制。【角度与弧度的互化角度与弧度的互化】1.360=2rad，180=rad.第十二页，讲稿共十九页哦例例1（1）将）将112 30化为弧度；（化为弧度；（2）将）将 弧度化为度；弧度化为度；例例2、把下列角化为、把下列角化为2k +（0 2 ，k Z）的形式）的形式.（1）；（；（2）；并指出所在象限；并指出所在象限.例例3、用弧度制表示第一、用弧度制表示第一第四象限的角的集合第四象限的角的集合第十三页，讲稿共十九页哦特殊角的度数与弧度数的对应表特殊角的度数与弧度数的对应表 度度0 15 30 45 60 75 90 12

10、0 135 150 弧弧度度0度度180 210 225 240 270 300 315 330 360 弧弧度度第十四页，讲稿共十九页哦设设R是圆的半径，是圆的半径，l是所对的弧长，在使用弧度制是所对的弧长，在使用弧度制时，圆心角时，圆心角的弧度值通常也用的弧度值通常也用来表示，由弧来表示，由弧度的定义可知，角度的定义可知，角的弧度数的绝对值满足：的弧度数的绝对值满足：即即 l=|R 弧长等于弧所对的圆心角弧度数的绝对值与半径的积。弧长等于弧所对的圆心角弧度数的绝对值与半径的积。角度制时弧长公式为：角度制时弧长公式为：其中其中n表示角度数。表示角度数。弧度制时弧长公式为：弧度制时弧长公式为：

11、第十五页，讲稿共十九页哦例例4 4、利用弧度制证明扇形面积公式、利用弧度制证明扇形面积公式S=lR，其，其 中中l l是扇形的弧长，是扇形的弧长，R是圆的半径。是圆的半径。证明：如图证明：如图1-15，因为圆心角为，因为圆心角为1的扇形的面积为的扇形的面积为 而弧长为而弧长为l的扇形的圆心角的的扇形的圆心角的大小为大小为 rad所以所以扇形的面积为扇形的面积为 第十六页，讲稿共十九页哦几个需要注意的问题几个需要注意的问题：1.在表示角的集合时，一定要使用统一单位（统一制度），只能在表示角的集合时，一定要使用统一单位（统一制度），只能用角度制或弧度制的一种，绝对不能混用；用角度制或弧度制的一种，

12、绝对不能混用；2.用弧度制表示终边相同的角用弧度制表示终边相同的角 2k +(k Z)时，是时，是 的偶数倍，的偶数倍，而不是而不是 的整数倍；的整数倍；3.1弧度是等于半径长的圆弧所对的圆心角（或该弧）的大小，弧度是等于半径长的圆弧所对的圆心角（或该弧）的大小，而而1 是圆的是圆的 1/360 所对的圆心角（或该弧）的大小；所对的圆心角（或该弧）的大小；4.不管是以不管是以“弧度弧度”还是以还是以“度度”为单位的角的大小都是一为单位的角的大小都是一个与半径的大小无关的定值；个与半径的大小无关的定值；5.用弧度单位表示角的大小时，用弧度单位表示角的大小时，“弧度弧度”两字可以省略不写，两字可以

13、省略不写，如如sin2理解为理解为sin（2弧度）；一般弧度表示时，常写成多少弧度）；一般弧度表示时，常写成多少 的的形式；形式；但以度为单位，不能省略；但以度为单位，不能省略；第十七页，讲稿共十九页哦例例5、根据下列已知条件，解决扇形的有关问题根据下列已知条件，解决扇形的有关问题（1）已知扇形的周长为已知扇形的周长为10cm，面积为，面积为4cm2，求扇形中心角，求扇形中心角的弧度数。的弧度数。（2）已知一扇形的弧为已知一扇形的弧为72，半径为，半径为20 cm，求扇形的面积。，求扇形的面积。（3）已知一扇形的周长为已知一扇形的周长为40 cm，当它的半径和圆心角取，当它的半径和圆心角取什么值时，才能是扇形的面积最大？最大面积是多少？什么值时，才能是扇形的面积最大？最大面积是多少？第十八页，讲稿共十九页哦31.03.2023感感谢谢大大家家观观看看第十九页，讲稿共十九页哦