定积分及其应用.ppt

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1、关于定积分及其应用现在学习的是第1页，共113页第一节第一节 定积分的概念定积分的概念v重点：定积分的概念和性质重点：定积分的概念和性质v难点：定积分概念的理解难点：定积分概念的理解现在学习的是第2页，共113页abxyo实例实例1 1 （求曲边梯形的面（求曲边梯形的面 积）积）一、两个实例一、两个实例现在学习的是第3页，共113页 在初等数学中，以矩形面积为基础，解决了较复杂在初等数学中，以矩形面积为基础，解决了较复杂的直边图形的面积问题的直边图形的面积问题.现在的曲边梯形有一条边是现在的曲边梯形有一条边是曲线，所以其面积就不能按照初等数学的方法来计曲线，所以其面积就不能按照初等数学的方法来

2、计算算.困难就在于曲边梯形底边（区间）上的高是变化的，困难就在于曲边梯形底边（区间）上的高是变化的，而且这种变化规律不是线性的而且这种变化规律不是线性的.但由于曲线是连续的，所但由于曲线是连续的，所以当在上的变化很小时，相应的高的变化也很小以当在上的变化很小时，相应的高的变化也很小.由于由于这个想法，可以用一组平行于轴的直线把曲边梯形分割这个想法，可以用一组平行于轴的直线把曲边梯形分割成若干个小曲边梯形，只要分割的充分细，每个小曲边成若干个小曲边梯形，只要分割的充分细，每个小曲边梯形就很窄，则其高的变化就很小，梯形就很窄，则其高的变化就很小，现在学习的是第4页，共113页abxyoabxyo用

3、矩形面积近似取代曲边梯形面积用矩形面积近似取代曲边梯形面积显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积形面积（四个小矩形）（四个小矩形）（九个小矩形）（九个小矩形）现在学习的是第5页，共113页曲边梯形如图所示，曲边梯形如图所示，现在学习的是第6页，共113页曲边梯形面积的近似值为曲边梯形面积的近似值为曲边梯形面积为曲边梯形面积为现在学习的是第7页，共113页实例二、求变速直线运动的路程实例二、求变速直线运动的路程思路：把整段时间分割成若干个小段，每小段思路：把整段时间分割成若干个小段，每小段上速度看作不变。求出各小段的路程再相加，上速度看作不变。求出

4、各小段的路程再相加，便得到路程的近似值。最后通过对时间的无限便得到路程的近似值。最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值。细分过程求得路程的精确值。现在学习的是第8页，共113页（1）分割）分割部分路程值部分路程值某时刻的速度某时刻的速度（2）求和）求和（3）取极限）取极限路程的精确值路程的精确值现在学习的是第9页，共113页二、定积分的定义二、定积分的定义定义定义现在学习的是第10页，共113页被被积积函函数数被被积积表表达达式式积积分分变变量量记为记为积分上限积分上限积分下限积分下限积分和积分和现在学习的是第11页，共113页注意：注意：现在学习的是第12页，共113页定理定理1 1定

5、理定理2 2三、存在定理三、存在定理现在学习的是第13页，共113页四、定积分的几何意义四、定积分的几何意义现在学习的是第14页，共113页几何意义：几何意义：ab现在学习的是第15页，共113页 例例1、用定积分表示下列图中阴影部分的面积、用定积分表示下列图中阴影部分的面积现在学习的是第16页，共113页现在学习的是第17页，共113页解：根据定积分的几何意义，解题如下：解：根据定积分的几何意义，解题如下：现在学习的是第18页，共113页现在学习的是第19页，共113页对定积分的对定积分的补充规定补充规定:说明说明 在下面的性质中，假定定积分都存在，在下面的性质中，假定定积分都存在，且不考虑

6、积分上下限的大小且不考虑积分上下限的大小五五 定积分的性质定积分的性质现在学习的是第20页，共113页证证性质性质1 1现在学习的是第21页，共113页证证性质性质2 2现在学习的是第22页，共113页例例 若若（定积分对于积分区间具有可加性）（定积分对于积分区间具有可加性）则则性质性质3 3现在学习的是第23页，共113页证证性质性质4 4现在学习的是第24页，共113页证证由闭区间上连续函数的介值定理知由闭区间上连续函数的介值定理知性质性质5 5（定积分中值定理）（定积分中值定理）积分中值公式积分中值公式现在学习的是第25页，共113页使使即即积分中值公式的几何解释：积分中值公式的几何解释

7、：现在学习的是第26页，共113页 第二节第二节 微积分基本公式微积分基本公式重点：牛顿重点：牛顿莱布尼兹公式莱布尼兹公式难点：难点：积分上限的函数积分上限的函数现在学习的是第27页，共113页变速直线运动中位置函数与速度函数的联系变速直线运动中位置函数与速度函数的联系变速直线运动中路程为变速直线运动中路程为另一方面这段路程可表示为另一方面这段路程可表示为一、问题的提出一、问题的提出现在学习的是第28页，共113页考察定积分考察定积分记记积分上限函数积分上限函数二、积分上限函数及其导数二、积分上限函数及其导数现在学习的是第29页，共113页积分上限函数的性质积分上限函数的性质证证现在学习的是第

8、30页，共113页由积分中值定理得由积分中值定理得现在学习的是第31页，共113页现在学习的是第32页，共113页现在学习的是第33页，共113页现在学习的是第34页，共113页 （2）现在学习的是第35页，共113页现在学习的是第36页，共113页分母的导数为分母的导数为所以有所以有现在学习的是第37页，共113页定理定理 3 3（微积分基本公式）（微积分基本公式）证证三、牛顿三、牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式现在学习的是第38页，共113页令令令令牛顿牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式现在学习的是第39页，共113页微积分基本公式表明：微积分基本公式表明：注意注意求定积分问题转化为求原函数的问题求

9、定积分问题转化为求原函数的问题.现在学习的是第40页，共113页例计算下列定积分例计算下列定积分（1）(2)(3)(4)(5)现在学习的是第41页，共113页现在学习的是第42页，共113页现在学习的是第43页，共113页现在学习的是第44页，共113页 第三节第三节 积分的换元法积分的换元法 重点与难点：重点与难点：掌握定积分的换元积分公式掌握定积分的换元积分公式 牛顿莱布尼茨公式把定积分的计算问转化为求牛顿莱布尼茨公式把定积分的计算问转化为求原函数（不定积分）的问题，因而求不原函数（不定积分）的问题，因而求不定积分的各种具体方法经过适当的变化，都可定积分的各种具体方法经过适当的变化，都可用

10、于求定积分，本节我们来学习定积分的换元用于求定积分，本节我们来学习定积分的换元法法.现在学习的是第45页，共113页现在学习的是第46页，共113页现在学习的是第47页，共113页 解法解法2要比解法要比解法1简便些，因为它省去了变量回代这简便些，因为它省去了变量回代这一步。一步。一般的，定积分的换元法可表述为：一般的，定积分的换元法可表述为：现在学习的是第48页，共113页定积分的换元法有两个特点：定积分的换元法有两个特点：换成新变量换成新变量时，积分限也要换成相应于新变量时，积分限也要换成相应于新变量的积分限的积分限.即所谓的即所谓的“换元必换限换元必换限.”（）求出（）求出的一个原函数后

11、，不必象不定积分那样再把原变量的一个原函数后，不必象不定积分那样再把原变量回代，而直接代入新变量回代，而直接代入新变量的上下限，然后相减就的上下限，然后相减就把原变量把原变量（1）用）用可以了。可以了。现在学习的是第49页，共113页现在学习的是第50页，共113页现在学习的是第51页，共113页现在学习的是第52页，共113页现在学习的是第53页，共113页现在学习的是第54页，共113页现在学习的是第55页，共113页 第四节第四节 定积分的分部积分法定积分的分部积分法重点与难点：重点与难点：熟练掌握定积分的分部积分公式熟练掌握定积分的分部积分公式现在学习的是第56页，共113页把不定积分

12、的分部积分公式把不定积分的分部积分公式添加上积分限，就得到定积添加上积分限，就得到定积 分的分部积分公式：分的分部积分公式：现在学习的是第57页，共113页现在学习的是第58页，共113页现在学习的是第59页，共113页现在学习的是第60页，共113页现在学习的是第61页，共113页 例例 求求 解：由例解：由例4的结果知的结果知当当时时，当当时，时，现在学习的是第62页，共113页现在学习的是第63页，共113页现在学习的是第64页，共113页现在学习的是第65页，共113页令令则则当当时，时，当当时时代入到代入到中得：中得：现在学习的是第66页，共113页 第五节第五节 无穷区间上的广义积

13、分无穷区间上的广义积分 重点与难点：重点与难点：广义积分的概念与计算广义积分的概念与计算现在学习的是第67页，共113页现在学习的是第68页，共113页现在学习的是第69页，共113页显然，当显然，当在在内变化时，内变化时，曲边体形的面积曲边体形的面积也随着也随着b的变化而变化的变化而变化 时，这个曲边梯形面积的极限就应该是时，这个曲边梯形面积的极限就应该是“开口曲边梯形开口曲边梯形”的面积，即的面积，即当当现在学习的是第70页，共113页现在学习的是第71页，共113页二、二、广义积分的定义广义积分的定义现在学习的是第72页，共113页现在学习的是第73页，共113页现在学习的是第74页，共

14、113页现在学习的是第75页，共113页现在学习的是第76页，共113页为了书写方便起见，我们规定：为了书写方便起见，我们规定：记为记为写为写为现在学习的是第77页，共113页现在学习的是第78页，共113页第六节第六节 定积分应用举例定积分应用举例重点与难点：重点与难点：正确理解定积分的元素法；正确理解定积分的元素法；熟练掌握用元素法求平面图形的面积和旋熟练掌握用元素法求平面图形的面积和旋转体的体积；转体的体积；会求平面曲线的弧长、变力作功和函数的会求平面曲线的弧长、变力作功和函数的平均值。平均值。现在学习的是第79页，共113页 回顾回顾曲边梯形求面积的问题曲边梯形求面积的问题一、问题的提

15、出一、问题的提出ab xyo现在学习的是第80页，共113页（3）求和求和 得得A的近似值的近似值 面积表示为定积分的步骤是：面积表示为定积分的步骤是：现在学习的是第81页，共113页ab xyo（4）求极限求极限 得得A的精确值的精确值提示提示面面积积元元素素现在学习的是第82页，共113页现在学习的是第83页，共113页微元法的一般步骤：微元法的一般步骤：现在学习的是第84页，共113页这个方法通常叫做这个方法通常叫做微元法微元法应用方向：应用方向：平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；功；平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；功；水压力；引力和平均值等水压力；引力和平均值等现在学习的是第

16、85页，共113页曲边梯形的面积曲边梯形的面积平面图形的面积平面图形的面积二、平面图形的面积二、平面图形的面积现在学习的是第86页，共113页解解 两曲线的交点为两曲线的交点为面积元素面积元素选选 为积分变量为积分变量现在学习的是第87页，共113页现在学习的是第88页，共113页现在学习的是第89页，共113页现在学习的是第90页，共113页现在学习的是第91页，共113页 旋转体旋转体就是由一个就是由一个平面图形平面图形饶这平面内一条饶这平面内一条直线直线旋转一周而成的立体这直线叫做旋转一周而成的立体这直线叫做旋转轴旋转轴圆柱圆柱圆锥圆锥圆台圆台三、旋转体的体积三、旋转体的体积现在学习的是

17、第92页，共113页xyo旋转体的体积为旋转体的体积为现在学习的是第93页，共113页解解直线直线 方程为方程为现在学习的是第94页，共113页现在学习的是第95页，共113页现在学习的是第96页，共113页现在学习的是第97页，共113页现在学习的是第98页，共113页弧长元素弧长元素弧长弧长 四、平面曲线的弧长四、平面曲线的弧长现在学习的是第99页，共113页解解所求弧长为所求弧长为现在学习的是第100页，共113页现在学习的是第101页，共113页如图所示如图所示现在学习的是第102页，共113页现在学习的是第103页，共113页点击图片任意处播放点击图片任意处播放暂停暂停解解建立坐标系

18、如图建立坐标系如图现在学习的是第104页，共113页这一薄层水的重力为这一薄层水的重力为功元素为功元素为(千焦千焦)现在学习的是第105页，共113页现在学习的是第106页，共113页等份，每个小区间的长度为等份，每个小区间的长度为由于由于连续，所以当连续，所以当足够大时，我们可把足够大时，我们可把在区间在区间上看作常数上看作常数，先把区间先把区间用分点用分点现在学习的是第107页，共113页现在学习的是第108页，共113页现在学习的是第109页，共113页现在学习的是第110页，共113页现在学习的是第111页，共113页 这就是说，纯电阻电路中正弦交流电的平这就是说，纯电阻电路中正弦交流电的平均功率等于电流电压峰值乘积的一半均功率等于电流电压峰值乘积的一半.通常交流电器上注明的功率就是平均功率通常交流电器上注明的功率就是平均功率现在学习的是第112页，共113页感感谢谢大大家家观观看看现在学习的是第113页，共113页