第四章热传导方程精选文档.ppt

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1、第四章热传导方程2022/10/191本讲稿第一页，共二十七页例2 解定解问题解：对x求傅氏变换对t求拉氏变换2022/10/192本讲稿第二页，共二十七页2022/10/193本讲稿第三页，共二十七页例1 解定解问题解：对t求拉氏变换4.1.2 半无限长杆上初值问题的拉普拉斯变换法2022/10/194本讲稿第四页，共二十七页4.2.1 无热源有限长杆上初边值问题的分离变量法令代入方程：解：4.2 4.2 一维初边值问题一维初边值问题2022/10/195本讲稿第五页，共二十七页由例由例4知，以上特征值问题的特知，以上特征值问题的特征值和特征函数分别为征值和特征函数分别为满足方程满足方程于是

2、得到一系列分离变量形式的于是得到一系列分离变量形式的特解特解这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程的叠加这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程的叠加原理，设原问题的解为原理，设原问题的解为故原问题的形式级数解为故原问题的形式级数解为2022/10/196本讲稿第六页，共二十七页分离变量流程图2022/10/197本讲稿第七页，共二十七页令代入方程：令例2 求下列定解问题解：由例由例1中的方法知，以上特征值问题的特中的方法知，以上特征值问题的特征值和特征函数分别为征值和特征函数分别为2022/10/198本讲稿第八页，共二十七页于是得到一系列分离变量于

3、是得到一系列分离变量形式的特解形式的特解这些特解满足方程和齐次边界条件，但不这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程的叠加原理，满足初始条件。由线性方程的叠加原理，设原问题的解为设原问题的解为2022/10/199本讲稿第九页，共二十七页例3 求下列定解问题解：令2022/10/1910本讲稿第十页，共二十七页于是得到一系列分离变量形式的特解于是得到一系列分离变量形式的特解2022/10/1911本讲稿第十一页，共二十七页若 ，则u为多少？为什么会出现这样的现象？思考这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件

4、。由线性方程的叠加原理，设原问题的解为的叠加原理，设原问题的解为若2022/10/1912本讲稿第十二页，共二十七页例4 求下列热传导方程的定解问题解法一：令2022/10/1913本讲稿第十三页，共二十七页解法二：令由例由例1中的方法知，以上特征值问题中的方法知，以上特征值问题的特征值和特征函数分别为的特征值和特征函数分别为2022/10/1914本讲稿第十四页，共二十七页于是得到一系列分离变量形式的特解于是得到一系列分离变量形式的特解这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程的这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程的叠加原理，设原问题的解为叠加原理，

5、设原问题的解为2022/10/1915本讲稿第十五页，共二十七页例1 求下列定解问题解：先考虑对应的齐次问题其特征值和特征函数为其特征值和特征函数为由分离变量法可得特由分离变量法可得特征值问题征值问题4.2.2 有热源有限长杆上初边值问题的特征函数展开法2022/10/1916本讲稿第十六页，共二十七页2022/10/1917本讲稿第十七页，共二十七页4.2.3 具有非齐具有非齐次边界条件的次边界条件的热传导问题热传导问题解：令可以用分离变量法求解以上问题。可以用分离变量法求解以上问题。2022/10/1918本讲稿第十八页，共二十七页求定解问题解：令可以用分离变量法求解以上问题。可以用分离变

6、量法求解以上问题。2022/10/1919本讲稿第十九页，共二十七页求定解问题解：令2022/10/1920本讲稿第二十页，共二十七页例例1 求解下列二维热传导方程的定解问题求解下列二维热传导方程的定解问题解：由例由例1中的方法知，以上特征值问题的中的方法知，以上特征值问题的特征值和特征函数分别为特征值和特征函数分别为4.3.1 矩形域上热传导问题矩形域上热传导问题4.3 高维初边值问题2022/10/1921本讲稿第二十一页，共二十七页于是得到一系列分离变量形式的特解于是得到一系列分离变量形式的特解这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方这些特解满足方程和齐次边界条件，但不

7、满足初始条件。由线性方程的叠加原理，设原问题的解为程的叠加原理，设原问题的解为2022/10/1922本讲稿第二十二页，共二十七页 设有半径为设有半径为R的圆形薄盘，上下两面绝热，圆的圆形薄盘，上下两面绝热，圆盘边界上的温度始终保持为零，且圆盘上的初始温盘边界上的温度始终保持为零，且圆盘上的初始温度已知，求圆盘内的瞬时温度分布规律。度已知，求圆盘内的瞬时温度分布规律。问题归结为求解如下定解问题：问题归结为求解如下定解问题：4.3.2 圆形薄盘上热传导问题圆形薄盘上热传导问题2022/10/1923本讲稿第二十三页，共二十七页令：令：2022/10/1924本讲稿第二十四页，共二十七页n阶贝塞尔

8、方程阶贝塞尔方程 周期特征值问题周期特征值问题 的特征值和特征函数分别为的特征值和特征函数分别为 令令 2022/10/1925本讲稿第二十五页，共二十七页4.3.3 圆形薄盘上轴对称热传导问题圆形薄盘上轴对称热传导问题 设有半径为设有半径为1的圆形薄盘，上下两面绝热，的圆形薄盘，上下两面绝热，圆盘边界上的温度始终保持为零，且圆盘上的圆盘边界上的温度始终保持为零，且圆盘上的初始温度分布为初始温度分布为 ，其中，其中r为圆盘内任一点的为圆盘内任一点的极半径，求圆盘内的瞬时温度分布规律。极半径，求圆盘内的瞬时温度分布规律。2022/10/1926本讲稿第二十六页，共二十七页令：2022/10/1927本讲稿第二十七页，共二十七页