第四章稳定性与李雅普诺夫方法精选文档.ppt

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1、第四章稳定性与李雅普诺夫方法1本讲稿第一页，共八十八页一个实际的系统必须是稳定的，不稳定的系统是不可能付诸于工程实施的。一个实际的系统必须是稳定的，不稳定的系统是不可能付诸于工程实施的。系系统统的的稳稳定定性性，表表示示系系统统在在遭遭受受外外界界绕绕扰扰动动偏偏离离原原来来的的平平衡衡状状态态，而而在在扰动消失后，系统自身仍有能力恢复到原来平衡状态的一种扰动消失后，系统自身仍有能力恢复到原来平衡状态的一种“顽性顽性”。可按两种方式来定义系统运动的稳定性：可按两种方式来定义系统运动的稳定性：通过输入通过输入输出关系来表征的外部稳定性输出关系来表征的外部稳定性通过零输入状态下的状态运动的响应来表

2、征的内部稳定性通过零输入状态下的状态运动的响应来表征的内部稳定性只只是是在在满满足足一一定定的的条条件件时时，系系统统的的内内部部稳稳定定性性和和外外部部稳稳定定性性之之间间才才存存在在等等价价关系。关系。2022/10/192本讲稿第二页，共八十八页在在经经典典控控制制理理论论中中，对对于于单单输输入入单单输输出出线线性性定定常常系系统统，应应用用劳劳斯斯(Routh)判判据据和和赫赫尔尔维维茨茨(Hurwitz)判判据据等等代代数数方方法法判判定定系系统统的的稳稳定定性，非常方便有效。性，非常方便有效。至至于于频频域域中中的的奈奈奎奎斯斯特特(Nyquist)判判据据则则是是更更为为通通用

3、用的的方方法法，它它不不仅用于判定系统是否稳定，而且还指明改善系统稳定性的方向。仅用于判定系统是否稳定，而且还指明改善系统稳定性的方向。上上述述方方法法都都是是以以分分析析系系统统特特征征方方程程在在根根平平面面上上根根的的分分布布为为基基础础的的。但但对于非线性和时变系统，这些判据不适用了。对于非线性和时变系统，这些判据不适用了。早早在在1892年年，俄俄国国数数学学家家李李雅雅普普诺诺夫夫就就提提出出将将判判定定系系统统稳稳定定性性的的问问题题归归纳纳为两种方法：李雅普诺夫第一法和李雅普诺夫第二法。为两种方法：李雅普诺夫第一法和李雅普诺夫第二法。前前者者是是通通过过求求解解系系统统微微分分

4、方方程程，然然后后根根据据解解的的性性质质来来判判定定系系统统的的稳稳定定性。它的基本思想和分析方法与经典理论是一致的。性。它的基本思想和分析方法与经典理论是一致的。2022/10/193本讲稿第三页，共八十八页本章重点讨论李雅普诺夫第二法。本章重点讨论李雅普诺夫第二法。它的特点是不求解系统方程，而是通过一个叫李雅普诺夫函数的标它的特点是不求解系统方程，而是通过一个叫李雅普诺夫函数的标量函数来直接判定系统的稳定性。量函数来直接判定系统的稳定性。因此，它特别适用于那些难以求解的非线性系统和时变系统。因此，它特别适用于那些难以求解的非线性系统和时变系统。李雅普诺夫第二法除了用于对系统进行稳定性分析

5、外，还可用于对系统瞬李雅普诺夫第二法除了用于对系统进行稳定性分析外，还可用于对系统瞬态响应的质量进行评价以及求解参数最优化问题。态响应的质量进行评价以及求解参数最优化问题。此外，在现代控制理论的许多方面，例如最优系统设计、最优估此外，在现代控制理论的许多方面，例如最优系统设计、最优估值、最优滤波以及自适应控制系统设计等，李雅普诺夫理论都有值、最优滤波以及自适应控制系统设计等，李雅普诺夫理论都有广泛的应用。广泛的应用。2022/10/194本讲稿第四页，共八十八页4.1 外部稳定性和内部稳外部稳定性和内部稳定性定性 2022/10/195本讲稿第五页，共八十八页的输入的输入u(t)，所产生的输出

6、，所产生的输出y(t)也是有界的，即成立：也是有界的，即成立：则称此因果系统是外部稳定的，也即是有界输入有界输出稳定的，并简称则称此因果系统是外部稳定的，也即是有界输入有界输出稳定的，并简称为为BIBO稳定。稳定。一、外部稳定性一、外部稳定性 考虑一个线性因果系统，如果对应于一个有界的输入考虑一个线性因果系统，如果对应于一个有界的输入u(t)，即满足条件：，即满足条件：2022/10/196本讲稿第六页，共八十八页在讨论外部稳定性时，必须假定系统的初始条件为零；在这种假定下，系统的输入输出描述才是唯一的和有意义的。对于零初始条件的线性定常系统，G(s)为其传递函数阵，则系统为BIBO稳定的充要

7、条件是：当G(s)为真的有理分式函数矩阵时，G(s)的每一个元传递函数的所有极点均具有负实部。2022/10/197本讲稿第七页，共八十八页如如果果外外输输入入u(t)0，初初始始状状态态x0为为任任意意，且且由由x0引引起起的的零零输输入入响响应应(t;0,x0,0)满足关系式：满足关系式：则称系统是内部稳定的，或称为是渐近稳定的。则称系统是内部稳定的，或称为是渐近稳定的。二、内部稳定性二、内部稳定性2022/10/198本讲稿第八页，共八十八页对于该式所描述的线性定常系统，其为渐近稳定的充分必要条件是矩对于该式所描述的线性定常系统，其为渐近稳定的充分必要条件是矩阵阵A的所有特征值均具有负实

8、部，即：的所有特征值均具有负实部，即：其中其中n为系统的维数。为系统的维数。那么就可利用劳斯赫尔维茨判据，直接由特征多项式的系数来判断系那么就可利用劳斯赫尔维茨判据，直接由特征多项式的系数来判断系统的渐近稳定性。统的渐近稳定性。当矩阵当矩阵A给定后，则一旦导出其特征多项式：给定后，则一旦导出其特征多项式：2022/10/199本讲稿第九页，共八十八页三、内部稳定性和外部稳定性间的关系三、内部稳定性和外部稳定性间的关系结论1：线性定常系统是内部稳定的，则其必是BIBO稳定的。结论2：线性定常系统是BIBO稳定的，不能保证系统必是渐近稳定的。证：由系统结构的规范分解定理可知，通过引入线性非奇异变换

9、，可将系统分解为能控能观、能控不能观、不能控能观和不能控不能观四个部分，而输入输出特性只能反映系统的能控能观部分。因此，系统的BIBO稳定只是意味着其能控能观部分为渐近稳定，它既不表明也不要求系统的其它部分是渐近稳定的。结论3：如果线性定常系统为能控和能观的，则其内部稳定性与外部稳定性必是等价的。2022/10/1910本讲稿第十页，共八十八页分析系统的外部稳定性与内部稳定性分析系统的外部稳定性与内部稳定性传递函数的极点传递函数的极点s=1位于位于s的左半的左半平面，故系统外部稳定。平面，故系统外部稳定。可得特征值可得特征值 1=1，2=+1。这是因为具有正实部的特征值这是因为具有正实部的特征

10、值 2=+1被系统的零点被系统的零点s=+1对消了，对消了，所以在系统的输入输出特性中没所以在系统的输入输出特性中没被表现出来。被表现出来。故系统不是内部稳定的。故系统不是内部稳定的。举例2022/10/1911本讲稿第十一页，共八十八页4.2 李雅普诺夫关于稳定性的定义 2022/10/1912本讲稿第十二页，共八十八页线性系统的稳定性只决定于系统的结构和参数，而与系统的初始条件及外界扰动的大小无关。非线性系统的稳定性则还与初始条件及外界扰动的大小有关。因此在经典控制理论中没有给出稳定性的一般定义。李雅普诺夫给出了对任何系统都普遍适用的稳定性的一般定义2022/10/1913本讲稿第十三页，

11、共八十八页一、系统状态的运动及平衡状态一、系统状态的运动及平衡状态设所研究的齐次状态方程为：设所研究的齐次状态方程为：f为与为与x同维的向量函数，是同维的向量函数，是x的各元素的各元素x1,x2,xn和时间和时间t的函数。的函数。2022/10/1914本讲稿第十四页，共八十八页设方程式在给定初始条件设方程式在给定初始条件(t0,x0)下，有唯一解：下，有唯一解：表示表示x在初始时刻在初始时刻t0的状态。的状态。x x描述了系统在描述了系统在n维状态空间中从初始条件维状态空间中从初始条件(t0,x0)出发的一条状态运动出发的一条状态运动的轨线，称系统的的轨线，称系统的运动运动或或状态轨线状态轨

12、线 运动、状态轨线运动、状态轨线2022/10/1915本讲稿第十五页，共八十八页成立，则称xe为系统的平衡状态。若系统存在状态向量xe，对所有t，都使：对于一个任意系统，不一定都存在平衡状态，有时即使存在也未必是唯一的。当A为非奇异矩阵时，满足Axe0的解xe=0是系统唯一存在的一个平衡状态。而当A为奇异矩阵时，则系统将有无穷多个平衡状态。平衡状态平衡状态2022/10/1916本讲稿第十六页，共八十八页对非线性系统，通常可有一个或多个平衡状态。稳定性问题都是相对于某个平衡状态而言的。线性定常系统，其所有平衡状态的稳定性都是一样的，所以才笼统地讲所谓的系统稳定性问题。对其余系统则由于可能存在

13、多个平衡点，而不同平衡点可能表现出不同的稳定性，因此必须逐个加以讨论。2022/10/1917本讲稿第十七页，共八十八页 ：状态向量x与平衡状态xe的距离为欧几里德范数在n维状态空间中 当很小时，则称s()为xe的邻域。二、稳定性的几个定义二、稳定性的几个定义 点集s()：以xe为中心，为半径的超球体xs()：如系统的解位于球域s()内，则：表明系统由初态x0或短暂扰动所引起的自由响应是有界的。李雅普诺夫根据系统自由响应是否有界把系统的稳定性定义为四种情况。2022/10/1918本讲稿第十八页，共八十八页如果系统对于任意选定的实数如果系统对于任意选定的实数 0，都存在另一实数，都存在另一实数

14、(，t0)0，使当：，使当：时，从任意初态时，从任意初态x0出发的解都满足：出发的解都满足：则称平衡状态则称平衡状态xe为李雅普诺夫意义下稳定。为李雅普诺夫意义下稳定。1、李雅普诺夫意义下稳定、李雅普诺夫意义下稳定 其中实数其中实数 与与 有关，一般情况下也与有关，一般情况下也与t0有关。有关。如果与如果与t0无关，则称这种平衡状态是一致稳定的。无关，则称这种平衡状态是一致稳定的。2022/10/1919本讲稿第十九页，共八十八页若对应于每一个s()，都存在一个s()，使当t无限增长使，从s()出发的状态轨线(系统的响应)总不离开s()，即系统响应的幅值是有界的，则称平衡状态xe为李雅普诺夫意

15、义下的稳定，简称为稳定。2022/10/1920本讲稿第二十页，共八十八页如果平衡状态如果平衡状态xe是稳定的，而且当是稳定的，而且当t无限增长时，轨线不仅不超出无限增长时，轨线不仅不超出s()，而，而且最终收敛于且最终收敛于xe，则称这种平衡状态，则称这种平衡状态xe渐近稳定。渐近稳定。2、渐近稳定、渐近稳定2022/10/1921本讲稿第二十一页，共八十八页从工程意义上说，渐近稳定比稳定更重要。但渐近稳定是一个局部概念，通常只确定某平衡状态的渐近稳定性并不意味着整个系统就能正常运行。因此，如何确定渐近稳定的最大区域，并且尽可能扩大其范围是尤其重要的。2022/10/1922本讲稿第二十二页

16、，共八十八页如果平衡状态xe是稳定的，而且从状态空间中所有初始状态出发的轨线都具有渐近稳定性，称这种平衡状态xe大范围渐近稳定。3、大范围渐近稳定显然，大范围渐近稳定的必要条件是在整个状态空间中只有一个平衡状态。对于线性系统来说，由于满足叠加原理，如果平衡状态是渐近稳定的，则必然是大范围渐近稳定的。对于非线性系统，使xe为渐近稳定平衡状态的球域s()一般是不大的，常称这种平衡状态为小范围渐近稳定。2022/10/1923本讲稿第二十三页，共八十八页如果对于某个实数0和任一实数0，不管这个实数多么小，由s()内出发的状态轨线，至少有一个轨线越过s()，则称这种平衡状态xe不稳定。4、不稳定、不稳

17、定2022/10/1924本讲稿第二十四页，共八十八页球域s()限制着初始状态x0的取值，球域s()规定了系统自由响应 的边界。则称xe渐近稳定如果x(t)为有界，则称xe稳定。如果x(t)不仅有界而且有：如果x(t)为无界，则称xe不稳定。在经典控制理论中，只有渐近稳定的系统才称做稳定系统。只在李雅普诺夫意义下稳定，但不是渐近稳定的系统则称临界稳定系统，这在工程上属于不稳定系统。渐近稳定稳定不稳定Lyapunov意义下稳定(Re(s)0)经典控制理论(线性系统）2022/10/1925本讲稿第二十五页，共八十八页4.3 李雅普诺夫第一法李雅普诺夫第一法 2022/10/1926本讲稿第二十六

18、页，共八十八页李雅普诺夫第一法又称间接法。它的基本思路是通过系统状态方程的解来判别系统的稳定性。对于线性定常系统，解出特征方程的根即可作出稳定性判断。对于非线性不很严重的系统，可通过线性化处理，取其一次近似得到线性化方程，然后根据其特征根来判断系统的稳定性。2022/10/1927本讲稿第二十七页，共八十八页xe=0为它的一个平衡状态。一、线性系统的稳定判据(特征值判据)考察没有外输入作用存在时的线性定常自治系统：对于该系统，其原点平衡状态的稳定性，完全由A决定。根据A的特征值的分布来判断系统的稳定性时，其判据为：结论1：系统的每一平衡状态是在李雅普诺夫意义下稳定的充分必要条件为，A的所有特征

19、值均具有非正(负或零)实部，且具有零实部的特征值为A的最小多项式的单根。结论2：系统的唯一平衡状态xe=0是渐近稳定的充分必要条件为，A的所有特征值均具有负实部。由于所讨论的系统为线性的和定常的，所有其为稳定时必是一致稳定的，当其为渐近稳定时必是大范围一致渐近稳定的。2022/10/1928本讲稿第二十八页，共八十八页考虑线性定常自治系统：其平衡状态为：其中，x2和x3为任意实数。也即，状态空间x2x3中平面上的每一个点均为平衡状态。举例2022/10/1929本讲稿第二十九页，共八十八页其最小多项式为s(s+1)A的特征值为1，0，0特征值0仅是最小多项式的一个单根。根据特征值判据，此系统的

20、每个平衡状态是李雅普诺夫意义下稳定的，但不是渐近稳定的。举例2022/10/1930本讲稿第三十页，共八十八页设系统的状态方程为：设系统的状态方程为：为讨论系统在为讨论系统在xe的稳定性，可将非线性向量函数的稳定性，可将非线性向量函数f(x,t)在在xe邻域内展邻域内展成泰勒级数，得：成泰勒级数，得：R(x)为级数展开为级数展开式中的高阶导数式中的高阶导数项。项。二、非线性系统的稳定性二、非线性系统的稳定性 称为雅可比称为雅可比(Jacobian)矩阵矩阵2022/10/1931本讲稿第三十一页，共八十八页若令若令 xxxe，并取一次近似式，可得系统的线性化方程：，并取一次近似式，可得系统的线

21、性化方程：在一次近似的基础上，李雅普诺夫给出下列结论：在一次近似的基础上，李雅普诺夫给出下列结论：1)如如果果系系数数矩矩阵阵A的的所所有有特特征征值值都都具具有有负负实实部部，则则原原非非线线性性系系统统在在平平衡衡状状态态xe是渐近稳定的，而且系统的稳定性与是渐近稳定的，而且系统的稳定性与R(x)无关。无关。2)如如果果A的的特特征征值值，至至少少有有一一个个具具有有正正实实部部，则则原原非非线线性性系系统统的的平平衡衡状状态态xe是是不稳定的。不稳定的。3)如如果果A的的特特征征值值，至至少少有有一一个个的的实实部部为为零零，系系统统处处于于临临界界情情况况，那那么么原原非非线线性性系系

22、统统的的平平衡衡状状态态xe的的稳稳定定性性将将取取决决于于高高阶阶导导数数项项R(x)，而而不能由不能由A的特征值符号来确定。的特征值符号来确定。2022/10/1932本讲稿第三十二页，共八十八页系统状态方程为：系统状态方程为：分析系统在平衡状态处的稳定性。分析系统在平衡状态处的稳定性。举例举例2022/10/1933本讲稿第三十三页，共八十八页在在xe1处线性化：处线性化：系统有两个平衡状态：系统有两个平衡状态：1=1，2=+1，可见原非线性系统在，可见原非线性系统在xe1处是不稳定的。处是不稳定的。12=j，实部为零，因而不能由线性化方程得出原非线性系统在，实部为零，因而不能由线性化方

23、程得出原非线性系统在xe2处稳定性的结论。处稳定性的结论。在在xe2处线性化：处线性化：这种情况要应用李雅普诺夫第二法进行判定。这种情况要应用李雅普诺夫第二法进行判定。2022/10/1934本讲稿第三十四页，共八十八页4.4 李雅普诺夫第二法李雅普诺夫第二法 2022/10/1935本讲稿第三十五页，共八十八页李雅普诺夫第二法又称直接法。它的基本思想不是通过求解系统的运动方程，而是借助于一个李雅普诺夫函数来直接对系统平衡状态的稳定性作出判断。它是从能量观点进行稳定性分析的。如果一个系统被激励后，其存储的能量随着时间的推移逐渐衰减，到达平衡状态时，能量将达最小值，那么，这个平衡状态是渐近稳定的

24、。反之，如果系统不断地从外界吸收能量，储能越来越大，那么这个平衡状态就是不稳定的。如果系统的储能既不增加，也不消耗，那么这个平衡状态就是李雅普诺夫意义下的稳定。2022/10/1936本讲稿第三十六页，共八十八页如图所示曲面上的小球B，受到扰动作用后，偏离平衡点A到达状态C，获得一定的能量，(能量是系统状态的函数)然后便开始围绕平衡点A来回振荡。BAC如果曲面表明绝对光滑，运动过程不消耗能量，也不再从外界吸收能量，储能对时间便没有变化，那么，振荡将等幅地一直维持下去，这就是李雅普诺夫意义下的稳定。如果曲面表面有摩擦，振荡过程将消耗能量，储能对时间的变化率为负值。那么振荡幅值将越来越小，直至最后

25、小球又回复到平衡点A。根据定义，这个平衡状态便是渐近稳定的。2022/10/1937本讲稿第三十七页，共八十八页由此可见，按照系统运动过程中能量变化趋势的观点来分析系统的稳定性是直观而方便的。但是，由于系统的复杂性和多样性，往往不能直观地找到一个能量函数来描述系统的能量关系，于是李雅普诺夫定义一个正定的标量函数V(x)，作为虚构的广义能量函数，然后，根据 的符号特征来判别系统的稳定性。对一个给定系统，若能找到一个正定的标量函数V(x)，而 是负定的，则这个系统是渐近稳定的。这个V(x)叫做李雅普诺夫函数。实际上，任何一个标量函数只有满足李雅普诺夫稳定性判据所假设的条件，均可作为李雅普诺夫函数。

26、2022/10/1938本讲稿第三十八页，共八十八页由此可见，应用李雅普诺夫第二法的关键问题便可归结为寻找李雅普诺夫函数V(x)的问题。过去，寻找李雅普诺夫函数主要是靠试探，几乎完全凭借设计者的经验和技巧。这严重地阻碍着李雅普诺夫第二法的推广应用。现在，随着计算机技术的发展，凭借数字计算机不仅可以找到所需要的李雅普诺夫函数，而且还能确定系统的稳定区域。但是要想找到一套对任何系统都普遍适用的方法仍很困难。2022/10/1939本讲稿第三十九页，共八十八页一、预备知识 1、标量函数的符号性质 设V(x)为由n维向量x所定义的标量函数，x，且在x=0处，恒有V(x)=0。对所有在域中的任何非零向量

27、x，如果成立：(1)V(x)0，称V(x)为正定的。(2)V(x)0，称V(x)为半正定(或非负定)的。(3)V(x)0或V(x)0。(2)若若V(x)负定，则称负定，则称P为负定，记做为负定，记做P0。(3)若若V(x)半正定半正定(非负定非负定)，称，称P为半正定为半正定(非负定非负定)，记做，记做P 0。(4)若若V(x)半负定半负定(非正定非正定)，称，称P为半负定为半负定(非正定非正定)，记做，记做P 0。由上可见，矩阵由上可见，矩阵P的符号性质与其所决定的二次型函数的符号性质完全一的符号性质与其所决定的二次型函数的符号性质完全一致。致。因此，要判别因此，要判别V(x)的符号只要判别

28、的符号只要判别P的符号即可。而后者可由希尔维斯特的符号即可。而后者可由希尔维斯特(Sylvester)判据进行判断。判据进行判断。2022/10/1945本讲稿第四十五页，共八十八页3、希尔维斯特、希尔维斯特(Sylvester)判据判据 为其各阶主子行列式：为其各阶主子行列式：设实对称矩阵：设实对称矩阵：2022/10/1946本讲稿第四十六页，共八十八页矩阵矩阵P(或或V(x)定号性的充要条件定号性的充要条件则称则称P(或或V(x)为正定的。为正定的。(2)、则称则称P(或或V(x)为负定的。为负定的。(3)、称称P(或或V(x)为半正定为半正定(非负定非负定)(4)、称称P(或或V(x)

29、为半负定为半负定(非正定非正定)的。的。(1)、2022/10/1947本讲稿第四十七页，共八十八页二、李雅普诺夫第二法的主要定理二、李雅普诺夫第二法的主要定理 对一切对一切t成立成立f(0,t)=0，即状态空间的原点为系统的平衡状态。，即状态空间的原点为系统的平衡状态。1、大范围一致渐近稳定的判别定理、大范围一致渐近稳定的判别定理考虑连续时间的非线性时变自由系统：考虑连续时间的非线性时变自由系统：对该系统，如果存在一个对对该系统，如果存在一个对x和和t具有连续一阶偏导数的标量函数具有连续一阶偏导数的标量函数V(x,t)，V(0,t)=0，且满足：，且满足：(1)、V(x,t)正定且有界正定且

30、有界(2)、V(x,t)对时间对时间t的导数的导数 负定且有界负定且有界(3)、当、当 时，有时，有V(x,t)则系统的原点平衡状态为大范围一致渐近稳定。则系统的原点平衡状态为大范围一致渐近稳定。原点平衡状态为大范围渐近稳定的判别定理，通常称其为李雅普诺夫主原点平衡状态为大范围渐近稳定的判别定理，通常称其为李雅普诺夫主稳定性定理。稳定性定理。2022/10/1948本讲稿第四十八页，共八十八页由由该该结结论论给给出出的的条条件件，只只是是保保证证系系统统为为大大范范围围一一致致渐渐近近稳稳定定的的充充分分条件。条件。充充分分条条件件的的局局限限性性在在于于，如如果果对对给给定定系系统统找找不不

31、到到一一个个标标量量函函数数V(x,t)使使满满足足结结论论中中所所指指出出的的条条件件，那那么么将将不不能能对对判判断断系系统统的的稳稳定定性性提提供供任任何何信信息。息。而且，在实际问题中，这样的情况是相当常见的。而且，在实际问题中，这样的情况是相当常见的。进进而而，不不难难看看出出，若若结结论论中中的的条条件件(3)不不满满足足，且且条条件件(1)和和(2)仅仅对对原原点点一一个个邻邻域域 内内满满足足，则则相相应应地地只只能能导导出出局局部部一一致致渐渐近近稳稳定定的的结结论论，同同时时进一步的问题是要确定出吸引区进一步的问题是要确定出吸引区，通常这不是一件容易的事。，通常这不是一件容

32、易的事。2022/10/1949本讲稿第四十九页，共八十八页因因为为V(x,t)为为正正定定且且有有界界，所所以以不不妨妨将将其其看看成成是是一一种种“能能量量”，而而 则相应地为能量随时间的变化率。则相应地为能量随时间的变化率。在物理上很容易理解，如果一个系统的能量是有限的，并且能量的变化在物理上很容易理解，如果一个系统的能量是有限的，并且能量的变化率总是负的，那么系统的所有运动都必是有界的，并最终返回到原点平率总是负的，那么系统的所有运动都必是有界的，并最终返回到原点平衡状态。衡状态。李雅普诺夫主稳定定理正是这一明显的物理事实的推广形式。但是毕竟李雅普诺夫主稳定定理正是这一明显的物理事实的

33、推广形式。但是毕竟V(x,t)不能等同于能量，而且随着系统的不同，不能等同于能量，而且随着系统的不同，V(x,t)的含义和形式各不的含义和形式各不相同，故通常将相同，故通常将V(x,t)称为李雅普诺夫函数。称为李雅普诺夫函数。对于简单的系统，通常把李雅普诺夫函数取为系统状态的一个二次型函数；对于简单的系统，通常把李雅普诺夫函数取为系统状态的一个二次型函数；对于复杂的系统，其李雅普诺夫函数的构造尚无一般的方法，只能根据研对于复杂的系统，其李雅普诺夫函数的构造尚无一般的方法，只能根据研究者的经验而试选，而且实例表明此时李雅普诺夫函数的形式也远比二次究者的经验而试选，而且实例表明此时李雅普诺夫函数的

34、形式也远比二次型要复杂得多。型要复杂得多。大范围一致渐近稳定的直观含义2022/10/1950本讲稿第五十页，共八十八页2、定常系统的大范围渐近稳定判别定理一、定常系统的大范围渐近稳定判别定理一 如果存在一个具有连续一阶导数的标量函数如果存在一个具有连续一阶导数的标量函数V(x)，V(0)=0，且对状态空，且对状态空间中的一切非零点间中的一切非零点x满足：满足：(1)、V(x)正定且有界正定且有界(2)、V(x)对时间对时间t的导数的导数 负定负定(3)、当、当 时，有时，有V(x)则系统的原点平衡状态为大范围一致渐近稳定。则系统的原点平衡状态为大范围一致渐近稳定。对于定常系统：对于定常系统：

35、对对t 0成立成立f(0)=0。2022/10/1951本讲稿第五十一页，共八十八页V(x)为正定为正定负定负定因此该系统大范围一致渐近稳定。因此该系统大范围一致渐近稳定。且当且当时，时，举例2022/10/1952本讲稿第五十二页，共八十八页一一般般地地说说，对对于于相相当当一一些些系系统统，要要构构造造一一个个李李雅雅普普诺诺夫夫函函数数V(x)，使使其其满满足足 为为负负定定，常常常常是是不不易易做做到到的的。同同时时，从从直直观观上上也也容容易易理理解解，要要求求 为负定不免过于保守。为负定不免过于保守。判别定理一的局限性2022/10/1953本讲稿第五十三页，共八十八页3、定常系统

36、的大范围一致渐近稳定判别定理二、定常系统的大范围一致渐近稳定判别定理二 对于定常系统：对于定常系统：如果存在一个具有连续一阶导数的标量函数如果存在一个具有连续一阶导数的标量函数V(x)，V(0)=0，且对状态空，且对状态空间中的一切非零点间中的一切非零点x满足：满足：(1)V(x)正定正定(2)为半负定为半负定(3)对任意对任意x0，不恒为不恒为0(4)当当 时，有时，有V(x)t 0，f(0)=0则系统的原点平衡状态是大范围一致渐近稳定的。则系统的原点平衡状态是大范围一致渐近稳定的。2022/10/1954本讲稿第五十四页，共八十八页由于由于 半负定，所以在半负定，所以在x 0时会出现时会出

37、现 ，这时系统可能，这时系统可能有两种有两种运动情况：运动情况：x1x2x0 xex1x2x0 xe 恒为恒为0，这时运动轨线落在某个特定曲面，这时运动轨线落在某个特定曲面V(x)=C上，这意味着运动轨线不会收敛于原点。上，这意味着运动轨线不会收敛于原点。不恒为不恒为0，运动轨线只在某个时刻与某个曲面，运动轨线只在某个时刻与某个曲面V(x)=C相切，运动轨线通过切点后向原点收敛，属渐近稳定。相切，运动轨线通过切点后向原点收敛，属渐近稳定。2022/10/1955本讲稿第五十五页，共八十八页U(s)Y(s)系统是一个结构不稳定系统。系统是一个结构不稳定系统。它的自由解是一个等幅的正弦振荡。要想使

38、这个系统稳定，必须改变它的自由解是一个等幅的正弦振荡。要想使这个系统稳定，必须改变系统的结构。系统的结构。举例2022/10/1956本讲稿第五十六页，共八十八页 在任意在任意x 0的值上均为的值上均为0，V(x)为常数：为常数：系统运动的轨线是一系列以原点为圆心，系统运动的轨线是一系列以原点为圆心，C C为半径的圆。为半径的圆。系统为李雅普诺夫意义下的稳定。系统为李雅普诺夫意义下的稳定。举例2022/10/1957本讲稿第五十七页，共八十八页(1)V(x)为正定为正定(2)(a)、x1任意，任意，x2=0(b)、x1任意，任意，x2=1 其他：其他：为半负定为半负定故故举例2022/10/1

39、958本讲稿第五十八页，共八十八页考察情况考察情况(a)：x2(t)=0除了原点除了原点不是系统的受扰运动解。不是系统的受扰运动解。(3)检查是否检查是否 恒为恒为0。归结为判断这两种情况是否为系统的受扰运动解。归结为判断这两种情况是否为系统的受扰运动解。2022/10/1959本讲稿第五十九页，共八十八页再考察情况再考察情况(b)：x2(t)=1矛盾，不是系统的受扰运动解矛盾，不是系统的受扰运动解不恒为不恒为0(4)因此，此系统的原点平衡状态是大范围渐近稳定的。因此，此系统的原点平衡状态是大范围渐近稳定的。2022/10/1960本讲稿第六十页，共八十八页4、时变系统、时变系统(李雅普诺夫意

40、义下的李雅普诺夫意义下的)稳定的判别定理稳定的判别定理如果存在一个对如果存在一个对x和和t具有连续一阶偏导数的标量函数具有连续一阶偏导数的标量函数V(x,t)，V(0,t)=0，和围绕原点的一个吸引区，和围绕原点的一个吸引区，使对一切，使对一切x和一切和一切t t0，且满足：且满足：(1)、V(x,t)正定且有界正定且有界(2)、V(x,t)对时间对时间t的导数半负定且有界的导数半负定且有界 则系统的原点平衡状态为则系统的原点平衡状态为 域内一致稳定。域内一致稳定。考虑连续时间的非线性时变自由系统：考虑连续时间的非线性时变自由系统：对一切对一切t成立成立f(0,t)=0，即状态空间的原点为系统

41、的平衡状态。，即状态空间的原点为系统的平衡状态。2022/10/1961本讲稿第六十一页，共八十八页5、定常系统稳定的判别定理、定常系统稳定的判别定理 如果存在一个具有连续一阶导数的标量函数如果存在一个具有连续一阶导数的标量函数V(x)，V(0)=0，和围绕原点的一，和围绕原点的一个吸引区个吸引区，使对一切，使对一切x和一切和一切t 0满足：满足：(1)V(x)正定正定(2)为半负定为半负定 则称系统原点平衡状态为则称系统原点平衡状态为 域内稳定。域内稳定。由于上述给出的所有判别定理都只提供了充分条件，因此如果经多次由于上述给出的所有判别定理都只提供了充分条件，因此如果经多次试取李雅普诺夫函数

42、都得不到确定的答案时，就要考虑其为不稳定的试取李雅普诺夫函数都得不到确定的答案时，就要考虑其为不稳定的可能性。可能性。对于定常系统：对于定常系统：对一切对一切t 0成立成立f(0)=02022/10/1962本讲稿第六十二页，共八十八页6、不稳定的判别定理、不稳定的判别定理 如果存在一个具有连续一阶导数的标量函数如果存在一个具有连续一阶导数的标量函数V(x,t)或或V(x)，V(0,t)=0和和V(0)=0，和围绕原点的一个吸引区，和围绕原点的一个吸引区，使对一切，使对一切x和一切和一切t t0，满足如下的条件：满足如下的条件：(1)V(x,t)为正定且有界或为正定且有界或V(x)为正定为正定

43、(2)也为正定且有界或也为正定且有界或 也为正定也为正定则系统平衡状态为不稳定。则系统平衡状态为不稳定。或定常系统或定常系统对于时变系统对于时变系统由此结论可以看出，当由此结论可以看出，当V(x,t)和和 同号时，系统的受扰运动同号时，系统的受扰运动轨线理论上将发散到无穷大。轨线理论上将发散到无穷大。2022/10/1963本讲稿第六十三页，共八十八页举例举例确定确定xe=0处的稳定性。处的稳定性。所以系统在所以系统在xe=0处是不稳定的。处是不稳定的。由特征方程：由特征方程：可知，方程各系数不同号，系统必然不稳定。可知，方程各系数不同号，系统必然不稳定。2022/10/1964本讲稿第六十四

44、页，共八十八页三、对李雅普诺夫函数的讨论三、对李雅普诺夫函数的讨论 运运用用李李雅雅普普诺诺夫夫第第二二法法的的关关键键在在于于寻寻找找一一个个满满足足判判据据条条件件的的李李雅雅普诺夫函数普诺夫函数V(x)。李雅普诺夫稳定性理论本身并没有提供构造李雅普诺夫稳定性理论本身并没有提供构造V(x)的一般方法。的一般方法。尽管第二法原理上很简单，但应用起来却很不容易。尽管第二法原理上很简单，但应用起来却很不容易。1)、V(x)是是满满足足稳稳定定性性判判据据条条件件的的一一个个正正定定的的标标量量函函数数，且且对对x应应具具有有连连续的一阶偏导数。续的一阶偏导数。2)、对对于于一一个个给给定定的的系

45、系统统，如如果果V(x)是是可可找找到到的的，那那么么通通常常是是非非唯唯一一的的，但但这并不影响结论的一致性。这并不影响结论的一致性。3)、V(x)的最简单形式是二次型函数：的最简单形式是二次型函数：其中其中P为实对称方阵，它的元素可以是定常的或时变的。为实对称方阵，它的元素可以是定常的或时变的。但但V(x)并不一定都是简单的二次型。并不一定都是简单的二次型。2022/10/1965本讲稿第六十五页，共八十八页4)、如果、如果V(x)为二次型，且可表示为：为二次型，且可表示为：则则V(x)=Ck=常常数数，CkCk+1，k=1,2,在在几几何何上上表表示示状状态态空空间间中中以以原原点点为为

46、中中心心，以以Ck为为半半径径的的超超球球面面，Ck必必位位于于Ck+1的的球球面面内内。V(x)就就表表示示从从原原点至点至x点的距离。点的距离。便表示了系统相对原点运动的速度。便表示了系统相对原点运动的速度。若这个距离随着时间的推移而减小，即若这个距离随着时间的推移而减小，即 0，则原点不稳定，则原点不稳定2022/10/1966本讲稿第六十六页，共八十八页5)、V(x)函数只表示系统在平衡状态附近某邻域内局部运动的稳定情函数只表示系统在平衡状态附近某邻域内局部运动的稳定情况。但丝毫不能提供域外运动的任何信息。况。但丝毫不能提供域外运动的任何信息。6)、由由于于构构造造V(x)函函数数需需

47、要要较较多多的的技技巧巧，因因此此李李雅雅普普诺诺夫夫第第二二法法主主要要用用于于确确定定那那些些使使用用别别的的方方法法无无效效或或难难以以判判别别其其稳稳定定性性的的问问题题。例例如如高高阶阶的的非非线线性性系系统或时变系统。统或时变系统。2022/10/1967本讲稿第六十七页，共八十八页4.5 线性系统的状态运动线性系统的状态运动稳定性的李雅普诺夫判据稳定性的李雅普诺夫判据 2022/10/1968本讲稿第六十八页，共八十八页则平衡状态则平衡状态xe=0为大范围渐近稳定的充要条件是：对任意给定的正定实为大范围渐近稳定的充要条件是：对任意给定的正定实对称矩阵对称矩阵Q，如下形式的李雅普诺

48、夫矩阵方程：，如下形式的李雅普诺夫矩阵方程：有有唯一正定对称唯一正定对称矩阵解矩阵解P。讨论线性系统中受扰运动即状态的零输入响应的稳定性问题。讨论线性系统中受扰运动即状态的零输入响应的稳定性问题。一、线性定常连续系统渐近稳定判据一、线性定常连续系统渐近稳定判据 2022/10/1969本讲稿第六十九页，共八十八页P正定，欲证正定，欲证xe=0为渐近稳定。为渐近稳定。P=PT0，V(x)为正定为正定Q=QT0，为负定为负定由李雅普诺夫稳定性定理，零平衡状态由李雅普诺夫稳定性定理，零平衡状态xe=0为渐近稳定。为渐近稳定。充分性2022/10/1970本讲稿第七十页，共八十八页xe=0为渐近稳定，

49、欲证为渐近稳定，欲证P为为唯一唯一且且正定正定、对称对称。由由t=0到到t=积分，可得：积分，可得：系统为渐近稳定，当系统为渐近稳定，当t时有时有eAt0。X(X()0 必要性且已知且已知X(0)=Q，并表，并表 ，则可进而表为：，则可进而表为：这表明这表明 即为李雅普诺夫方程的解矩阵。即为李雅普诺夫方程的解矩阵。2022/10/1971本讲稿第七十一页，共八十八页X(t)存在且唯一和存在且唯一和X()=0，存在且存在且唯一唯一。可知可知 为为对称对称。2022/10/1972本讲稿第七十二页，共八十八页对任意的对任意的x0 0，可有：，可有：由于由于Q为正定，故可将其表为为正定，故可将其表为

50、 ，其中，其中N为非奇异，于是：为非奇异，于是：也即也即P为为正定正定2022/10/1973本讲稿第七十三页，共八十八页说明 第第一一，实实际际应应用用时时，通通常常是是选选择择一一个个正正定定矩矩阵阵Q，代代入入李李雅雅普普诺诺夫夫方方程程，解解出出P，然然后后按按希希尔尔维维斯斯特特判判据据判判断断P的的正正定定性性，进进而而作作出出系系统统渐渐近近稳稳定定的的结论。结论。第第二二，在在利利用用李李雅雅普普诺诺夫夫判判据据时时，对对Q的的唯唯一一限限制制是是其其应应为为对对称称正正定定。显显然然，满满足足这这种种限限制制的的Q可可有有无无穷穷多多个个，但但可可以以断断言言，判判断断的的结