高等数学幂级数.ppt

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1、高等数学幂级数高等数学幂级数现在学习的是第1页，共26页一、一、函数项级数的概念函数项级数的概念设设为定义在区间为定义在区间 I I上的上的函数项级数函数项级数.对对若常数项级数若常数项级数收敛点收敛点,所有收敛点的全体称为其所有收敛点的全体称为其收敛域收敛域;若常数项级数若常数项级数为定义在区间为定义在区间 I 上的函数上的函数,称称收敛收敛,发散发散,所有所有为其为其 为其为其发散点发散点,发散点的全体称为其发散点的全体称为其发散域发散域.现在学习的是第2页，共26页为级数的为级数的和函数和函数,并写成并写成若用若用令余项令余项则在收敛域上有则在收敛域上有表示函数项级数前表示函数项级数前n

2、项的和项的和,即即在收敛域上在收敛域上,函数项级数的和是函数项级数的和是x的函数的函数 称它称它现在学习的是第3页，共26页例如,函数函数项级数数它的收敛域是它的发散域是或写作有和函数 现在学习的是第4页，共26页二、幂级数及其收敛性二、幂级数及其收敛性1.1.定义定义:形如形如的函数项级数称为的函数项级数称为幂级数幂级数,其中其中下面着重讨论下面着重讨论例如例如,幂级数幂级数幂级数的幂级数的系数系数.即是此种情形即是此种情形.的情形的情形,即即称为称为现在学习的是第5页，共26页几何说明几何说明收敛收敛发散发散发散发散2.2.收敛性收敛性:现在学习的是第6页，共26页阿贝尔(1802 182

3、9)挪威数学家,近代数学发展的先驱者.他在22岁时就解决了用根式解5 次方程的不可能性问题,他还研究了更广的一 并称之为阿贝尔群.在级数研究中,他得 到了一些判敛准则及幂级数求和定理.论的奠基人之一,他的一系列工作为椭圆函数研究开拓了道路.数学家们工作150年.类代数方程,他是椭圆函数C.埃尔米特曾说:阿贝尔留下的思想可供 后人发现这是一类交换群,现在学习的是第7页，共26页正数正数R称为称为收敛半径收敛半径(-R,R)(-R,R)称为称为收敛区间收敛区间规定规定收敛收敛发散发散发散发散(R,R)加上收敛的端点称为加上收敛的端点称为收敛域收敛域.现在学习的是第8页，共26页1)1)当当 0 时

4、时,2)2)当当 0 时时,3)3)当当 时时,证:1)若 0,则根据比值审敛法可知:当原级数收敛;当原级数发散.即时,即时,系数模比值法（系数模根值法）现在学习的是第9页，共26页2)2)若若则根据比值审敛法可知则根据比值审敛法可知,绝对收敛绝对收敛 ,3)若若则对除则对除x=0以外的一切以外的一切x 原级发散原级发散 ,对任意对任意 x 原级数原级数因此因此因此因此 的收敛半径为说明明:据此定理因此级数的收敛半径因此级数的收敛半径现在学习的是第10页，共26页例例1 1 求下列幂级数的收敛域求下列幂级数的收敛域解解收敛收敛发散发散(2)现在学习的是第11页，共26页解解现在学习的是第12页

5、，共26页发散发散收敛收敛故收敛域为故收敛域为(0,1解解现在学习的是第13页，共26页级数收敛级数收敛级数发散级数发散发散发散发散发散故原级数的收敛域为故原级数的收敛域为解解:缺项缺项不能应用定理不能应用定理2可直接利用可直接利用修改后的修改后的比值判别法比值判别法现在学习的是第14页，共26页练习练习 求下列幂级数的收敛域求下列幂级数的收敛域现在学习的是第15页，共26页三、幂级数的运算三、幂级数的运算现在学习的是第16页，共26页现在学习的是第17页，共26页解解:现在学习的是第18页，共26页例2.求求级数数的和函数解解:现在学习的是第19页，共26页现在学习的是第20页，共26页解法解法2:现在学习的是第21页，共26页解法解法1:现在学习的是第22页，共26页例4.的和函数解解:现在学习的是第23页，共26页解解:级数的收敛半径 R+.例例5.则的和函数的和函数 .因此得设现在学习的是第24页，共26页解解:现在学习的是第25页，共26页内容小结1.求幂级数收敛域的方法1)对标准型幂级数先求收敛半径,再讨论端点的收敛性.2)对非标准型幂级数(缺项或通项为复合式)求收敛半径时直接用修改后的比值法或根值法,2.幂级数的性质1)两个幂级数在公共收敛区间内可进行加、减与也可通过换元化为标准型再求.乘法运算.现在学习的是第26页，共26页