高等数学课件 函数.ppt

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1、高等数学课件高等数学课件 函数函数现在学习的是第1页，共22页一、基本概念一、基本概念1.1.集合集合:具有某种特定性质的事物的具有某种特定性质的事物的全体全体.组成这个集合的事物称为该集合的组成这个集合的事物称为该集合的元素元素.描述法描述法枚举法枚举法不含任何元素的集合称为不含任何元素的集合称为空集空集.现在学习的是第2页，共22页是 B 的子集子集,或称 B 包含 A,集合之间的关系：集合之间的关系：则称 A若且则称 A 与 B 相等相等,显然有下列关系:若设有集合记作记作必有规定空集为任何集合的子集.若且则称 A 是B 的真子集的真子集,记作现在学习的是第3页，共22页并集交集且差集但

2、集合运算集合运算:余集或补集卡氏积特例:记为平面上的全体点集或现在学习的是第4页，共22页2.2.区间区间:是指介于某两个实数之间的全体实数是指介于某两个实数之间的全体实数.这两个这两个实数叫做区间的端点实数叫做区间的端点.称为开区间称为开区间,称为闭区间称为闭区间,现在学习的是第5页，共22页半开半闭区间：半开半闭区间：有限区间有限区间无限区间无限区间区间长度的定义区间长度的定义:两端点间的距离两端点间的距离(线段的长度线段的长度)称为区间的长度称为区间的长度.现在学习的是第6页，共22页3.3.邻域邻域:现在学习的是第7页，共22页4.4.常量与变量常量与变量:在某过程中数值保持不变的量称

3、为在某过程中数值保持不变的量称为常量常量,通常用字母通常用字母a,b,c等表示常量等表示常量,而数值变化的量称为而数值变化的量称为变量变量.常量与变量的表示方法：常量与变量的表示方法：用字母用字母x,y,t等表示等表示变变量量.在数轴上，常量表示定点，而变量表示动点在数轴上，常量表示定点，而变量表示动点.现在学习的是第8页，共22页设 X,Y 是两个非空集合,若存在一个对应法则 f,使得有唯一确定的与之对应,则称 f 为从 X 到 Y 的映射映射,记作元素 y 称为元素 x 在映射 f 下的 像像,记作元素 x 称为元素 y 在映射 f 下的 原像原像.集合 X 称为映射 f 的定义域定义域;

4、Y 的子集称为 f 的 值域值域.注意注意:元素 x 的像 y 是唯一的,但 y 的原像不一定唯一.二、函数概念二、函数概念1.1.映射映射现在学习的是第9页，共22页对映射,则称 f 为满射满射;若有 则称 f 为单射单射;若 f 既是满射又是单射,则称 f 为双射双射 或一一映射一一映射.现在学习的是第10页，共22页X(数集 或点集)说明:在不同数学分支中有不同的惯用 X()Y(数集)f 称为X 上的泛函X()X f 称为X 上的变换 R f 称为定义在 X 上的函数映射又称为算子.名称.例如,一元函数是一种特殊的映射，即非空集合X与Y均为实数集.现在学习的是第11页，共22页2.2.函

5、数函数设数集则称映射为定义在D 上的函数,记为 f(D)称为值域(对应法则)(值域)(定义域)定义域定义域使表达式及实际问题都有意义的自变量集合.定义域自变量因变量现在学习的是第12页，共22页 (1)符号函数符号函数几个特殊的函数举例几个特殊的函数举例1-1xyo现在学习的是第13页，共22页(2)取整函数取整函数 y=xx表示不超过表示不超过 的最大整数的最大整数 1 2 3 4 5 -2-4-4-3-2-1 4 3 2 1 -1-3xyo阶梯曲线阶梯曲线(3)狄利克雷函数狄利克雷函数现在学习的是第14页，共22页(4)取最值函数取最值函数yxoyxo现在学习的是第15页，共22页在自变量

6、的不同变化范围中在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同的对应法则用不同的式子来表示的函数式子来表示的函数,称为称为分段函数分段函数.现在学习的是第16页，共22页例例解解故故现在学习的是第17页，共22页三三.函数特性函数特性设函数且有区间(1)有界性有界性使称 使称(2)单调性单调性为有界函数.在 I 上有界，使若对任意正数 M,均存在 则称 f(x)无界无界.称 为有上界有上界称 为有下界有下界当时,称 为 I 上的称 为 I 上的单调增加函数;单调减少函数.现在学习的是第18页，共22页(3)奇偶性且有若则称 f(x)为偶函数;若则称 f(x)为奇函数.说明说明:若在 x=0 有定义,

7、为奇函数奇函数时,则当必有yxox-xyxox-x现在学习的是第19页，共22页(4)周期性且则称为周期函数,若称 l 为周期周期为 周期为注注:周期函数不一定存在最小正周期.例如,常量函数狄里克雷函数x 为有理数x 为无理数（通常说周期函数的周期是指其最小正（通常说周期函数的周期是指其最小正周期周期）.现在学习的是第20页，共22页四四.反函数反函数若函数为单射,则存在逆映射习惯上,的反函数记成称此映射为 f 的反函数.其反函数(减)(减).1)yf(x)单调递增且也单调递增 性质:2)函数与其反函数的图形对称.关于直线现在学习的是第21页，共22页内容小结1.集合及映射的概念定义域对应法则3.函数的特性有界性,单调性,奇偶性,周期性2.函数的定义及函数的二要素4.反函数的概念现在学习的是第22页，共22页