若干数学观点中的数学文化课件.ppt

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1、关于若干数学观点中的数学文化1现在学习的是第1页，共45页2 一、一、我们身边的对称我们身边的对称 人体人体人体人体 雪花雪花雪花雪花 鼠标鼠标鼠标鼠标现在学习的是第2页，共45页3数学公式中的对称数学公式中的对称 海伦公式海伦公式 其中 正弦定理正弦定理 对称多项式对称多项式现在学习的是第3页，共45页4对称对称 照镜子照镜子 夫妻夫妻 比赛循环赛比赛循环赛 足球足球非对称非对称 照哈哈镜照哈哈镜 父子父子 比赛淘汰制比赛淘汰制 非对称战争非对称战争其它的一些例子其它的一些例子现在学习的是第4页，共45页5阿拉伯建筑物的外墙阿拉伯建筑物的外墙 美国哈佛大学曾发表一份研究报美国哈佛大学曾发表一

2、份研究报告称，伊斯兰世界对数学有过重要告称，伊斯兰世界对数学有过重要贡献。研究人员认为，中世纪伊斯贡献。研究人员认为，中世纪伊斯兰世界的外墙砖设计图案说明它们兰世界的外墙砖设计图案说明它们的设计者掌握了西方世界的设计者掌握了西方世界500年后年后才掌握的数学概念。才掌握的数学概念。现在学习的是第5页，共45页6文学中的对仗文学中的对仗 上联对下联：明月-清泉 自然景物 明-清（形容词）；月-泉（名词）明月松间照清泉石上流现在学习的是第6页，共45页7碳碳 富勒烯富勒烯现在学习的是第7页，共45页8作为多面体的足球作为多面体的足球 亚正多面体中的一种 足球多足球多面体，它的侧面由正面体，它的侧面

3、由正五边形和正六边形组五边形和正六边形组成。成。现在学习的是第8页，共45页9u 碳富勒烯介绍：碳富勒烯，即笼状的碳原子团簇，是一类新的有机化学物种。由于它具有特殊的分子构型以及量子尺寸效应，因而表现出了异常高的化学活性、催化活性，以及奇特的导电性，在化工、光电材料等领域具有广阔的应用前景。现在学习的是第9页，共45页10 1985 1985，一位来自英国的天文学家克鲁托（，一位来自英国的天文学家克鲁托（H.W.KrotoH.W.Kroto），和两位美国物理学家斯莫），和两位美国物理学家斯莫利（利（R.E.SmalleyR.E.Smalley），柯尔（），柯尔（R.F.CurlR.F.Curl

4、）走进美国赖斯大学化学实验室，希望能探讨）走进美国赖斯大学化学实验室，希望能探讨宇宙中长链碳分子的形成和光谱。在他们短短几个星期的合作过程中意外地发现（宇宙中长链碳分子的形成和光谱。在他们短短几个星期的合作过程中意外地发现（9 9月月4 4日）：在强烈的激光脉冲辐照下产生的碳团簇中，日）：在强烈的激光脉冲辐照下产生的碳团簇中，C60C60具有超常的稳定性。他们并具有超常的稳定性。他们并不知道化学的理论游戏不知道化学的理论游戏C60C60，所以这样的实验结果让他们一筹莫展。后来受著名建筑学，所以这样的实验结果让他们一筹莫展。后来受著名建筑学家家BB富勒最牢固的薄壳拱形结构的启发，他们最终才为其设

5、想了一种与上述理论结果富勒最牢固的薄壳拱形结构的启发，他们最终才为其设想了一种与上述理论结果不谋而合的球形结构，并将不谋而合的球形结构，并将C60C60命名为富勒烯。当他们满怀喜悦向数学家们请教时，命名为富勒烯。当他们满怀喜悦向数学家们请教时，得到的回答却是得到的回答却是“孩子们，你们所发现的，就是一个足球啊！孩子们，你们所发现的，就是一个足球啊！”。一经别人点破，他。一经别人点破，他们也诧异地发现他们所醉心的最完美、最对称的分子结构竟然是一个简单得让人哭笑不得的们也诧异地发现他们所醉心的最完美、最对称的分子结构竟然是一个简单得让人哭笑不得的常识。一个现代足球正是由常识。一个现代足球正是由20

6、20块白色的六边形球皮和块白色的六边形球皮和1212块黑色的五边形球皮缝成的。在足球块黑色的五边形球皮缝成的。在足球上你恰好可以数出上你恰好可以数出6060个顶点。他们的努力是制造了一个全碳分子的、世界上最小的、最精致的个顶点。他们的努力是制造了一个全碳分子的、世界上最小的、最精致的“足球足球”！由此，这三位科学家因其天才式的开创性工作共享了！由此，这三位科学家因其天才式的开创性工作共享了19961996年度诺贝尔化学奖。年度诺贝尔化学奖。富勒烯的发现富勒烯的发现现在学习的是第10页，共45页11克鲁托克鲁托(H.W.Kroto,1939-)19961996年诺贝尔化学奖得主年诺贝尔化学奖得主

7、斯莫利斯莫利(R.E.Smalley,1943-2005)现在学习的是第11页，共45页12 柯尔柯尔柯尔柯尔（RobertF.CurlJr.RobertF.CurlJr.）的自传的自传的自传的自传我我1933年年8月月23日出生在美国德州的日出生在美国德州的Alice.我的父亲是一我的父亲是一个卫理公会的牧师个卫理公会的牧师,母亲是家庭主妇母亲是家庭主妇.我有一个姐姐我有一个姐姐,她叫玛丽她叫玛丽.在在过去过去,卫理公会的牧师游动频繁卫理公会的牧师游动频繁,因此我的孩提时代的大部分因此我的孩提时代的大部分时间在德州南部的一个又一个的小镇中度过时间在德州南部的一个又一个的小镇中度过:Alice

8、,Brady,SanAntonio,Kingsville,DelRio,Brownsville,McAllen,Austin,然后又回到然后又回到SanAntonio.在此期间教会管理层渐渐在此期间教会管理层渐渐认识到我父亲具有组织群众活动及解决冲突方面的管理才能认识到我父亲具有组织群众活动及解决冲突方面的管理才能.所以从我九岁起我父亲就不再当教会牧师所以从我九岁起我父亲就不再当教会牧师,而成了一名地而成了一名地区教会活动的主管区教会活动的主管.这就将我解脱了这就将我解脱了,使我有时间担当使我有时间担当“儿童传儿童传道士道士”并成为人们关注的中心并成为人们关注的中心19961996年诺贝尔化学

9、奖得主年诺贝尔化学奖得主现在学习的是第12页，共45页13Richard Buckminster Fuller(1895-1983)建筑学家建筑学家 富勒富勒富勒富勒(R.B.Fuller)(R.B.Fuller)，美国建筑学家。，美国建筑学家。1967 1967 年蒙特利尔世界博览会的美国馆由年蒙特利尔世界博览会的美国馆由他设计。富勒的结构设计思想被称之为综他设计。富勒的结构设计思想被称之为综合主义。综合主义是表示将结构单位组合合主义。综合主义是表示将结构单位组合起来，以承受更大的结构力量；结构单位起来，以承受更大的结构力量；结构单位组合后承受的力量比结构单位分立所能承组合后承受的力量比结构

10、单位分立所能承受的力量大。这原理被富勒用于建筑设计，受的力量大。这原理被富勒用于建筑设计，蒙特利尔世界博览会的美国馆即是这一综蒙特利尔世界博览会的美国馆即是这一综合主义的代表作品。合主义的代表作品。现在学习的是第13页，共45页1415 二、平面图形的对称二、平面图形的对称 问：问：正三角形与正方形谁正三角形与正方形谁“更更”对称一些？对称一些？现在学习的是第15页，共45页161.1.在运动中看在运动中看“对称对称”可以把可以把“平面图形的对称平面图形的对称”轴轴 对对 称称、n次次 中中 心心 对对 称称、平平 移移 对对 称称 中中 用用 到到 的的运动分为三类：运动分为三类：反射反射

11、旋转旋转 平移平移现在学习的是第16页，共45页17 2 从不变性看从不变性看“对称对称”18 变中有不变变中有不变 注注意意，在在上上述述“保保距距变变换换”的的定定义义下下,“不不 动动”也也是是一一种种“保保 距距变变 换换”,它它可可以以看看成成旋旋转转0o的的“保保距距变变换换”,也也可可以以看看成成平平移移 a=0 的的“保保距距变变换换”.这这样样，任任何何平平面面图图形形都都 会会在在某某种种“保保距距变变换换”下下不不变变,因因为为它它至至少少在在“不不 动动”下下不不变变.如如果果一一种种平平面面图图形形（例例如如一一般般三三角角形形）只只在在“不不 动动”这这 种种“保保

12、距距变变换换”下下才才不不变变,那那么么我我们们就就认认为为该该平平 面面 图图 形形 的的 对对 称称 性性 最最 差差,或或者者干干脆脆说说它它“不不对称对称”.现在学习的是第18页，共45页19 由由这这一一观观点点自自然然的的延延伸伸,就就可可以以想想到到描描述述平平面面图图形形对对称称性性强强弱弱的的一一种种量量化化的的方方法法.这这 就就 是是 把把所所有有使使某某平平面面图图形形 K 不不变变的的“保保距距变变换换”放放在在一一起起,构构 成成 一一 个个 集集 合合,记记 为为S(K)并并 称称 其其 为为K的的 对对 称称 集集.现在学习的是第19页，共45页203.抽象观点

13、与具体例子的对照抽象观点与具体例子的对照现在学习的是第20页，共45页21正三角形与正方形谁更对称一些？正三角形与正方形谁更对称一些？答：正方形比正三角形更对称一些。答：正方形比正三角形更对称一些。现在学习的是第21页，共45页22 4.小结小结 从从“对称对称”的现象，到发现的现象，到发现“变中有不变变中有不变”的本质，再提的本质，再提出出“保距变换保距变换”；把保持图形；把保持图形K不变的不变的“保距变换保距变换”放到一起，构放到一起，构成一个集合，称之为成一个集合，称之为“K 的对称集的对称集”，用它来描述，用它来描述K的对称性的对称性；最；最后，我们把其中元素的个数，作为衡量平面图形的

14、对称性强弱的一个后，我们把其中元素的个数，作为衡量平面图形的对称性强弱的一个量化指标。然后，再对照例子，验证我们的理论。量化指标。然后，再对照例子，验证我们的理论。“从实践中来，又到实践中去从实践中来，又到实践中去”反观前面关于反观前面关于“对称对称”的例子。的例子。现在学习的是第22页，共45页23 我们身边的对称我们身边的对称 人体人体人体人体 雪花雪花雪花雪花 鼠标鼠标鼠标鼠标现在学习的是第23页，共45页24数学公式中的对称数学公式中的对称海伦公式海伦公式 其中 正弦定理正弦定理对称多项式对称多项式现在学习的是第24页，共45页25对称对称 照镜子照镜子 夫妻夫妻 比赛循环赛比赛循环赛

15、 足球足球非对称非对称 照哈哈镜照哈哈镜 父子父子 比赛淘汰制比赛淘汰制 非对称战争非对称战争其它的一些例子其它的一些例子现在学习的是第25页，共45页26文学中的对仗文学中的对仗 上联对下联：明月-清泉 自然景物 明-清（形容词）；月-泉（名词）明月松间照清泉石上流现在学习的是第26页，共45页27作为多面体的足球作为多面体的足球n 亚正多面体中的一种 足球多面体，它的侧面由正五边形和正六边形组成。现在学习的是第27页，共45页28 思思 ：请你用运动的观点，：请你用运动的观点，“变中有不变变中有不变”的语言，叙述氯化钠和金刚石分子结构的语言，叙述氯化钠和金刚石分子结构的对称性。的对称性。现

16、在学习的是第28页，共45页29 三、子集的对称三、子集的对称 把把讨讨论论 “平平面面图图形形的的对对称称”中中形形成成的的数数 学学 思思 想想 提提炼炼出出 来来，用用“子子 集集 的的对对称称”的的语语言言 来来统统一一 地地 描描 述述 任任 一一 客客观观事事 物物 的的“对对称称”。现在学习的是第29页，共45页30任一客任一客观观事物都可以看作某一个集合事物都可以看作某一个集合M的子集的子集 MN现在学习的是第30页，共45页31 1.集合上的可逆变换集合上的可逆变换 设设M是是一一个个集集合合，则则M到到自自身身的的一一个个映映射射称称为为“M上上的的一一个个变变换换”；M到

17、到自自身身的的一一个个可可逆逆映射称为映射称为“M上的一个可逆变换上的一个可逆变换”。现在学习的是第31页，共45页322.子集的对称子集的对称MN考虑考虑M上的上的有特点的有特点的可逆变换可逆变换现在学习的是第32页，共45页33 变变中中有有不不变变，“变变”,是是指指集集合合M上上有有特特点点的的一一些些可可逆逆变变换换,每每个个可可逆逆变变换换 都都“改改变变”了了集集合合M中中的的元元素素和和子子集集.这这里里的的“不不变变”,是是指指对对于于M的的一一个个具具体体的的子子集集N,有有些些 在在整整体体上上保保持持N不不变变,即即 称称这这样样的的 为为“N的的对对称称变变换换”.把

18、把所所有有这这样样的的“对对称称变变换换”放放到到一一起起,构构成成一一个个集集合合,记记为为称为称为“N的对称集的对称集”，用来描述用来描述N的对称性的对称性。与 对照，基本精神是一致的。现在学习的是第33页，共45页34 3.小结小结 这里用大量篇幅，从特殊到一般，把这里用大量篇幅，从特殊到一般，把“对称对称”的本质抽象的本质抽象出来，定义了数学意义上的对称；又从一般到特殊，用抽象观出来，定义了数学意义上的对称；又从一般到特殊，用抽象观点来返观客观实际中点来返观客观实际中“对称对称”的例子，看到抽象观点与感性认的例子，看到抽象观点与感性认识是吻合的。所以说，抽象来源于直观，高于直观，而且能

19、反识是吻合的。所以说，抽象来源于直观，高于直观，而且能反映直观，指导直观，并通过直观来检验。这是一种映直观，指导直观，并通过直观来检验。这是一种数学方式的理数学方式的理性思维性思维。这一点在哲学上的叙述为：理论来源于实践，高于实践，。这一点在哲学上的叙述为：理论来源于实践，高于实践，而且能反映实践，指导实践，并通过实践来检验。而且能反映实践，指导实践，并通过实践来检验。现在学习的是第34页，共45页35四、对称变换群四、对称变换群 上上面面把把“对对称称”这这一一概概念念，用用集集合合及及变变 换换 的的 语语 言言 严严 格格 叙叙 述述 出出 来来 了了，并并 由由此此 给给 出出 了了“

20、子子 集集N的的 对对 称称 变变 换换”和和“子子集集N的对称集的对称集 ”的概念，并用它们来的概念，并用它们来描描述述N的对称性的对称性。现在学习的是第35页，共45页36 子子集集 的的 对对 称称 集集 ，不不 是是 一一 个个 普普通通 的的 集集 合合，而而 是是 一一 个个具具 有有 代代 数数 结结 构构 的的 集集 合合。它它的的结结构构表表现现在在：中中有有运运算算，即即 S(N)中中任任意意两两个个元元素素的的相相继继作作用用，记记为为 ；运运算算还还有有规规律律，这些规律如下：这些规律如下：现在学习的是第36页，共45页37S(N)中中任任意意两两个个元元素素 ,相相继

21、继作作用用的的结结果果仍仍保保持持N整整体体不不变变，故故 仍仍 在在S(N)中中,称称之之为为S(N)中中的的运运算算满满足足封封闭闭律律(一一般般说说“运运算算”,就就隐隐含封含封闭闭,为为强强调调,单单列一条列一条)；S(N)中中任任意意三三个个元元素素 ，的的运运算算，是是先先做做 的的运运算算还还是是先先做做 的的运运算算，效效果果是是一一样样的的，即即（）=(),称称之之为为S(N)中中的的运运算算满满足足结结合合律律；现在学习的是第37页，共45页38S(N)中中总总有有一一个个特特殊殊的的元元素素即即恒恒等等变变换换，它它如如同同数数的的 乘乘 法法 中中 的的1，与与 任任

22、何何 元元 素素 作作 运运 算算 都都 保保 持持 该该元元 素素 不不 变变，称称 之之 为为S(N)中中 的的 运运 算算 满满 足足幺幺 元元 律律；对对S(N)中中任任一一元元素素 ，S(N)中中一一定定有有一一个个元元素素 ，使使 与与 相相继继作作用用的的效效果果，恰恰相相当当于于中中的的恒恒等等变变换换，即即不不动动，称称为为 的的逆逆元元，这这称称为为S(N)中的运算中的运算满满足足逆元律逆元律。N的对称集的对称集S(N)叫作叫作“N的对称变换群的对称变换群”。“对称即群对称即群”现在学习的是第38页，共45页39五、群的定义五、群的定义定义定义 设设G是是一一个个带带有有运

23、运算算“”的的非非空空集集合合，且且其其中中的的运运 算算 满满 足足 以以 下下 四四 个个 条条 件件，则则 称称 G；是是 一一 个个 群群结合律结合律 有封闭律封闭律 有有幺元律幺元律 存在存在 使使 ，有有 ，称，称 为为幺元幺元；逆元律逆元律 ，存在，存在 ，使，使 称称b为为a的的逆元逆元。群群 G；也也简记为简记为G G 现在学习的是第39页，共45页40与与“N的对称变换群的对称变换群”S(N)相对照相对照 现在学习的是第40页，共45页41 举举 例例现在学习的是第41页，共45页42应应 用用在晶体分类上的应用在晶体分类上的应用 (230种种)用变换群下不变量的观点统一地

24、考察几何学用变换群下不变量的观点统一地考察几何学在讨论在讨论“5次方程根式解次方程根式解”问题上的应用问题上的应用现在学习的是第42页，共45页43群群 在讨论在讨论“5次方程根式解次方程根式解”上的应用上的应用1.伽罗瓦探寻伽罗瓦探寻“方程可用根式解方程可用根式解”的总思路的总思路：不再去寻找求根公式，而是从“根集的置换”的角度去考虑问题。拉格朗日、高斯、鲁菲尼、阿贝尔引入“根集的置换”。伽罗瓦引入”群”、“域”，创立“伽罗瓦理论”现在学习的是第43页，共45页442方程在系数域上的群方程在系数域上的群 次 不妨设无重根，根集的置换，又保持根之间在F中的全部“关系”不变 （小于等于 个元素）如 ，在 作用下变为 现在学习的是第44页，共45页感谢大家观看现在学习的是第45页，共45页