图形学第七章.ppt

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1、图形学第七章现在学习的是第1页，共76页27.1变换的数学基础 矢量矢量和 现在学习的是第2页，共76页37.1变换的数学基础矢量的数乘 矢量的点积性质现在学习的是第3页，共76页47.1变换的数学基础矢量的长度 单位矢量 矢量的夹角矢量的叉积 现在学习的是第4页，共76页57.1变换的数学基础矩阵 阶矩阵n阶方阵零矩阵行向量与列向量单位矩阵矩阵的加法 矩阵的数乘 矩阵的乘法 矩阵的转置 矩阵的逆 现在学习的是第5页，共76页6矩阵的含义矩阵：由mn个数按一定位置排列的一个 整体，简称mn矩阵。A=其中，aij称为矩阵A的第i行第j列元素7.1变换的数学基础现在学习的是第6页，共76页7矩阵运

2、算加法设A，B为两个具有相同行和列元素的矩阵A+B=数乘kA=k*aij|i=1.m,j=1,.n7.1变换的数学基础现在学习的是第7页，共76页8乘法设A为32矩阵，B为23矩阵 C=A B=C=Cmp=Am n Bnp cij=aik*bkj单位矩阵 在一矩阵中，其主对角线各元素aii=1,其余皆为0的矩阵称为单位矩阵。n阶单位矩阵通常记作In。Am n=Am n In k=1,n7.1变换的数学基础现在学习的是第8页，共76页9逆矩阵若矩阵A存在AA-1=A-1A=I，则称A-1为A的逆矩阵矩阵的转置 把矩阵A=(aij)mn的行和列互换而得到的nm矩阵称为A的转置矩阵,记作AT。(AT

3、)T=A (A+B)T=AT+BT (aA)T =aAT (AB)T =BT AT 当A为n阶矩阵，且A=AT，则 A是对称矩阵。7.1变换的数学基础现在学习的是第9页，共76页10矩阵运算的基本性质交换律与结合律师 A+B=B+A;A+(B+C)=(A+B)+C数乘的分配律及结合律 a(A+B)=aA+aB;a(A B)=(aA)B=A(aB)(a+b)A=aA+bA a(bA)=(ab)A7.1变换的数学基础现在学习的是第10页，共76页11矩阵乘法的结合律及分配律 A(B C)=(A B)C (A+B)C=A C+B C C(A+B)=C A+C B矩阵的乘法不适合交换律7.1变换的数学

4、基础现在学习的是第11页，共76页12所谓齐次坐标表示法就是由n+1维向量表示一个n维向量。如n维向量(P1,P2,Pn)表示为（hP1,hP2,hPn,h），其中h称为哑坐标。1、h可以取不同的值，所以同一点的齐次坐标不是唯一的。如普通坐标系下的点（2,3）变换为齐次坐标可以是(1,1.5,0.5)(4,6,2)(6,9,3)等等。2、普通坐标与齐次坐标的关系为“一对多”由普通坐标h齐次坐标由齐次坐标h普通坐标3、当h=1时产生的齐次坐标称为“规格化坐标”，因为前n个坐标就是普通坐标系下的n维坐标。齐次坐标现在学习的是第12页，共76页13齐次坐标(x,y)点对应的齐次坐标为 (x,y)点对

5、应的齐次坐标为三维空间的一条直线 现在学习的是第13页，共76页141.将各种变换用阶数统一的矩阵来表示。提供了用矩阵运算把二维、三维甚至高维空间上的一个点从一个坐标系变换到另一坐标系的有效方法。2.便于表示无穷远点。例如：（x h,y h,h)，令h等于03.齐次坐标变换矩阵形式把直线变换成直线段，平面变换成平面，多边形变换成多边形，多面体变换成多面体。(图形拓扑关系保持不变）4.变换具有统一表示形式的优点便于变换合成便于硬件实现齐次坐标的作用现在学习的是第14页，共76页15第七章图形变换 7.1数学基础：矢量、矩阵及 运算7.2窗口到视区的变换7.3图形几何变换现在学习的是第15页，共7

6、6页167.2窗口视图变换用户域和窗口区1用户域：程序员用来定义草图的整个自然空间(WD)a人们所要描述的图形均在用户域中定义。b用户域是一个实数域，理论上是连续无限的。2窗口区：用户指定的任一区域(W)a窗口区W小于或等于用户域WDb小于用户域的窗口区W叫做用户域的子域。c窗口可以有多种类型，矩形窗口、圆形窗口、多边形窗口等等 d 窗口可以嵌套，即在第一层窗口中可再定义第二层窗口，在第I层窗口中可再定义第I+1层窗口等等。现在学习的是第16页，共76页17窗口视图变换1屏幕域(DC)：设备输出图形的最大区域，是有限的 整 数 域。如 图 形 显 示 器 分 辨 率 为1024768DC0.1

7、0230.7672视图区：任何小于或等于屏幕域的区域a视图区用设备坐标定义在屏幕域中b窗口区显示在视图区，需做窗口区到视图区的坐标转换。c视图区可以有多种类型：圆形、矩形、多边形等。d 视图区也可以嵌套。现在学习的是第17页，共76页18窗口区和视图区的坐标变换 设窗口的四条边界WXL,WXR,WYB,WYT视图的四条边界VXL,VXR,VYB,VYT则用户坐标系下的点（即窗口内的一点）(Xw,Yw)对 应 屏 幕 视 图 区 中 的 点（Xs,Ys），其变换公式为现在学习的是第18页，共76页19窗口区和视图区的坐标变换简化为：1)当ac时，即x 方向的变化与y方向的变化不同时，视图中的图形

8、会有伸缩变化，图形变形。2)当a=c=1，b=d=0则Xs=Xw,Ys=Yw,图形完全相同。现在学习的是第19页，共76页20第七章图形变换 7.1数学基础：矢量、矩阵及 运算7.2窗口到视区的变换7.3图形几何变换现在学习的是第20页，共76页21图形变换是计算机图形学基础内容之一。几何变换，投影变换，视窗变换线性变换，属性不变，拓扑关系不变。作用：把用户坐标系与设备坐标系联系起来；可由简单图形生成复杂图形；可用二维图形表示三维形体；动态显示。7.3图形变换现在学习的是第21页，共76页22二维图形的显示流程图从应用程序得到图形的用户坐标对窗口区进行裁剪窗口区到视图区的规格化变换视图区从规格

9、化坐标系到设备坐标系的变换WCWCNDCDC在图形设备上输出现在学习的是第22页，共76页23图形的几何变换图形变换：对图形的几何信息经过几何变换后产生新的图形。图形变换的两种形式：1.图形不变，坐标系改变；2.图形改变，坐标系不变。现在学习的是第23页，共76页24二维图形的几何变换 设二维图形变换前坐标为(x,y,1),变换后为(x*,y*,1)1二维变换矩阵注意：T2D可看作三个行向量，其中100：表示x轴上的无穷远点010：表示y轴上的无穷远点001：表示原点现在学习的是第24页，共76页25二维图形的几何变换从变换功能上可把T2D分为四个子矩阵现在学习的是第25页，共76页26二维基

10、本变换-平移变换 平移变换 平移变换只改变图形的位置，不改变图形的大小和形状 现在学习的是第26页，共76页27现在学习的是第27页，共76页28二维基本变换-旋转变换注意；是逆时针旋转角度。(x,y)(x,y)现在学习的是第28页，共76页29现在学习的是第29页，共76页30二维基本变换-比例变换以坐标原点为放缩参照点当Sx=Sy=1时：恒等比例变换当Sx=Sy1时：沿x,y方向等比例放大。当Sx=Sy0：图 形 沿+x方 向 作 错 切 位 移。ABCDA1B1C1D1当b0：图形沿+y方向作错切位移。ABCDA1B1C1D1当d0，大拇指指向轴的方向，其它手指指的方向为旋转方向。现在学

11、习的是第63页，共76页64三维变换矩阵-旋转变换绕Y轴旋转 此时，Y坐标不变，X，Z坐标相应变化。x=sin(+)=x*cos+z*sin y=y z=cos(+)=z*cos-x*sinXYZ(x,z)(xz)XZOOZ现在学习的是第64页，共76页65三维变换矩阵-旋转变换矩阵表示为现在学习的是第65页，共76页66三维变换矩阵-旋转变换绕Z轴旋转 此时，Z坐标不变，X，Y坐标相应变化。x=cos(+)=x*cos-y*sin y=sin(+)=x*sin+y*cos z=zXYZ(x,y)(xy)XYOO现在学习的是第66页，共76页67三维变换矩阵-旋转变换矩阵表示为：现在学习的是第

12、67页，共76页68绕任意轴的旋转变换基基本本思思想想：因任意轴不是坐标轴，应设法旋转该轴，使之与某一坐标轴重合，然后进行旋转角的变换，最后按逆过程，恢复该轴的原始位置。现在学习的是第68页，共76页69绕任意轴的旋转变换（1）将空间直线平移，使之通过坐标原点T=01000010-X1-Y1-Z111000（2）绕x轴旋转角使之位于XOZ平面内现在学习的是第69页，共76页70 直线段L在YOZ平面上的投影L L2=B2+C2 Sin=B/L cos=C/LzxyBCALLP PQ QD D绕任意轴的旋转变换现在学习的是第70页，共76页710cossin 00-sin cos00001100

13、0Rx=(3)绕y轴顺时针旋转角(使之与Z轴重合)由于绕x轴旋转时，x坐标不变ALLSin=A/L cos=L/LL2-A2=B2+C2=L2绕任意轴的旋转变换现在学习的是第71页，共76页720100-sin0cos00001cos0sin0Ry=-sincos0000100001cossin00Rz=(4)绕z轴旋转角绕任意轴的旋转变换现在学习的是第72页，共76页73(5)绕y轴逆时针旋转角(使之位于XOZ平面内)sin0cos00001Ry=cos0-sin00100(6)绕x轴顺时针旋转(使之恢复通过原点的直线)0sincos00001Rx=10000cos-sin0绕任意轴的旋转变换现在学习的是第73页，共76页74(7)平移使坐标原点返回到它原始位置0010X1y1z11T=10000100因此，绕空间任意轴旋转角的变换矩阵R=T.Rx.Ry.Rz.Ry.Rx.T绕任意轴的旋转变换现在学习的是第74页，共76页75三维变换矩阵-错切变换以z轴为依赖轴的错切变换保持图形上各点z坐标不变，x,y 坐标依z坐标呈线性变化，变换矩阵为对三维空间中一点（x,y,z）施以该变换，其结果为（x+cz,y+fz,z）。相应地可写出以x或y 轴为依赖轴的错切变换现在学习的是第75页，共76页谢谢！现在学习的是第76页，共76页