微分差分方程稳定性方法建模精.ppt

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1、微分差分方程稳定性方法建模第1页，本讲稿共77页微分、差分方程稳定性理论微分、差分方程稳定性理论n微分和差分方程的稳定理论，是研究方程微分和差分方程的稳定理论，是研究方程的解在自变量的解在自变量 t+时的发展趋势。反映时的发展趋势。反映在实际问题中，就是已知事物的现在状态，在实际问题中，就是已知事物的现在状态，希望了解其最终的发展趋势。希望了解其最终的发展趋势。n比如说准备修建拦河大坝，会对下游的河比如说准备修建拦河大坝，会对下游的河床及周围的生态系统产生怎样的影响？建床及周围的生态系统产生怎样的影响？建立稳定性模型可以对各种可能的最终结果立稳定性模型可以对各种可能的最终结果进行预测。进行预测

2、。第2页，本讲稿共77页微分、差分方程稳定性理论简介微分、差分方程稳定性理论简介常微分方程稳定性理论常微分方程稳定性理论差分方程稳定性理论差分方程稳定性理论第3页，本讲稿共77页一、常微分方程稳定性理论一、常微分方程稳定性理论1、一阶微分方程、一阶微分方程 方程右端不显含方程右端不显含t第4页，本讲稿共77页一阶微分方程一阶微分方程通常判断平衡点稳定性有两种方法，通常判断平衡点稳定性有两种方法，直接求解法直接求解法和和定性定性分析法分析法。定性分析法定性分析法1、若方程为线性，即、若方程为线性，即 f(x)=ax+b，则，则 a 0不稳定；不稳定；2、若方程为非线性，即、若方程为非线性，即 x

3、(t)=f(x)，考虑，考虑 f (x0)。f (x0)0不稳定。不稳定。第5页，本讲稿共77页2、二阶微分方程、二阶微分方程所以讨论二阶微分方程的稳定性往往就归结为对二维一阶方所以讨论二阶微分方程的稳定性往往就归结为对二维一阶方程组的讨论程组的讨论第6页，本讲稿共77页二阶微分方程二阶微分方程求方程组的平衡点，即求解求方程组的平衡点，即求解下面设法给出下面设法给出P0稳定的判断准则。稳定的判断准则。第7页，本讲稿共77页二阶微分方程二阶微分方程首先将方程组线性化：首先将方程组线性化：其系数矩阵为：其系数矩阵为：第8页，本讲稿共77页二阶微分方程二阶微分方程二阶微分方程的稳定性由二阶微分方程的

4、稳定性由 p 和和 q 的正负决定。的正负决定。p 0 且且 q 0 时平衡点时平衡点 P0 稳定；稳定；p 0 或或 q 0 时平衡点时平衡点 P0 不稳定不稳定.第9页，本讲稿共77页3、一阶线性差分方程、一阶线性差分方程第10页，本讲稿共77页4、二阶线性差分方程、二阶线性差分方程第11页，本讲稿共77页5、一阶非线性差分方程、一阶非线性差分方程第12页，本讲稿共77页微分方程稳定性模型微分方程稳定性模型n可再生资源管理可再生资源管理n生态系统建模生态系统建模n差分形式的阻滞增长模型差分形式的阻滞增长模型n经济发展的蛛网模型经济发展的蛛网模型n军备竞赛模型军备竞赛模型第13页，本讲稿共7

5、7页一、可再生资源管理模型一、可再生资源管理模型n可再生资源可再生资源：与无限资源和有限资源相对而言。无限资源指阳光、空气等；有限资源指煤、铁等矿物和石油等。可再生资源指木材、粮食、蔬菜、肉类等，虽然有限，但可以再生。n建模目的建模目的：研究如何管理可再生资源才能使人类最终有尽可能多的收获。第14页，本讲稿共77页1 1、问题背景、问题背景渔场的矛盾渔场的矛盾渔场如果很少捕捞，那么经济效益会减少；如果捕捞太频繁或者太多，又会导致鱼群总数大量减少，影响渔场今后的产量。问题分析问题分析只有在“捕捞量=鱼的增长量”时，渔场的鱼量才能保持稳定。设法给出渔场鱼量变化规律，分析鱼量稳定的条件，并据此讨论：

6、如何制订捕捞策略才能使渔场的效益实现最大化？第15页，本讲稿共77页2 2、渔业资源开发模型、渔业资源开发模型记x(t)为t时刻渔场中的鱼量。在没有捕捞的情况下，鱼量的增长可以视为有限环境中生物种群的增长，即可以用Logistic模型来描述：第16页，本讲稿共77页2.1 2.1 假设假设（1）在无捕捞条件下，鱼的自然增长量服从上面的Logistic规律；（2）在有捕捞情况下，需要在Logistic模型中减去一个h(x,t)，即单位时间的捕捞量。捕捞量函数反映的就是捕捞策略。通常的捕捞策略有两种：一是固定限额捕捞，即h(x,t)是一个常数；二是固定努力量捕捞，即取函数h(x,t)=Ex，E为常

7、数，表现的是捕捞努力程度。第17页，本讲稿共77页2.2 2.2 构造模型（构造模型（ScheaferScheafer模型）模型）对于这个模型，我们希望能分析出渔场应该使鱼量保持在怎样的一个水平上，以及怎样才能保持鱼量的稳定，即给出 t+时，x(t)的变化趋势。根据假设（根据假设（2），建立模型：），建立模型：第18页，本讲稿共77页2.3 2.3 平衡点与稳定性分析平衡点与稳定性分析令F(x)=r x(1-x/N)Ex=0（求平衡点）得到两个解：x0=N(1-E/r)，x1=0两个平衡点的稳定性及稳定条件：考虑F (x)=r-E-2rx/N：F(x0)=E-r，F(x1)=r-E。由此可知：

8、若Er，则F(x0)0，x0稳定而x1不稳定；若Er，则F(x0)0而F(x1)0，x0不稳定而x1稳定。第19页，本讲稿共77页2.4 2.4 捕捞策略捕捞策略有了捕捞原则Er，如何使每年的捕捞量Ex都能达到最高？设法给出明确的捕捞策略，即确定每年的最佳捕捞量。分别记f(x)=rx(1-x/N)，h(x)=Ex。直线族与抛物线的交点都是稳定平衡点。y=E1xy=E0 xy=r xOyxNx1N/2第20页，本讲稿共77页2.5 2.5 结论结论将捕捞能力控制在鱼群自然增长率的一半左将捕捞能力控制在鱼群自然增长率的一半左右，即右，即E r/2，或者单位时间内只捕捞总鱼量，或者单位时间内只捕捞总

9、鱼量的一半，都能保证渔场长期产量的最大化。的一半，都能保证渔场长期产量的最大化。根据这里的分析结果，我们可以调整捕捞努力量，根据这里的分析结果，我们可以调整捕捞努力量，实现长期的产量最大化。实现长期的产量最大化。可是产量最大化是渔场的目标吗？渔场的真正可是产量最大化是渔场的目标吗？渔场的真正目标是实现效益的最大化。这时需要对模型进目标是实现效益的最大化。这时需要对模型进行调整。行调整。第21页，本讲稿共77页3 3、最大经济效益模型、最大经济效益模型 综合考虑渔场捕捞成本捕捞成本和捕捞量捕捞量及鱼的鱼的市场价格市场价格，给出投入、产出之间的最优结合点。第22页，本讲稿共77页3.1 3.1 假

10、设假设（1）收获的单位鱼量价格为p（固定）；（2）渔场捕捞成本与捕捞能力投入成正比，单位捕捞能力投入的费用为C。根据假设，渔场收入=p h(x)，成本=C E，从而渔场的经济效益=pEx CE=(px C)E=R。现在的问题：求现在的问题：求E E，使渔场的经济效益最高。，使渔场的经济效益最高。第23页，本讲稿共77页3.2 3.2 模型分析模型分析产量稳定下来后，渔场的收益R=pExR-CE=pEN(1-E/r)-CE令R(E)=0，即R(E)=pN-C-2pNE/r=0E=1-C/(pN)r/2，xR=N(1-E/r)=N/2+C/2p，h(xR)=ExR=1-C2/(p2N2)rN/4。

11、E=r/2，x0=N/2h(x0)=rN/4第24页，本讲稿共77页3.3 3.3 结论结论在最大经济效益原则下，渔场的捕捞能力投在最大经济效益原则下，渔场的捕捞能力投入入 E 和长期产量和长期产量 h(x)都应该比最大产量模型都应该比最大产量模型稍低。同时，渔场鱼的保有总量略有增加。稍低。同时，渔场鱼的保有总量略有增加。也就是说，有的时候，产量最大并不能保证也就是说，有的时候，产量最大并不能保证收益最大，这在企业的经营当中是非常常见收益最大，这在企业的经营当中是非常常见的现象。的现象。第25页，本讲稿共77页4.4.盲目捕捞模型盲目捕捞模型假设经营者根本不顾长远利益，看到有利润就投入经营，没

12、有利润就放弃经营，这样会对渔场产生什么样的影响？这时经营者的决策完全是由利润决定的，只要有利润就捕捞，不考虑全局。考虑R(E)=pEN(1-E/r)-CE：令R(E)=0，得到Es=r(1-C/pN)。当E0，即有利可图，盲目经营者会继续增加捕捞能力，直到E Es，使R(E)0，即亏损经营。出现亏损，经营者又降低E第26页，本讲稿共77页盲目捕捞模型分析盲目捕捞模型分析Es=r(1-C/pN)是盲目捕捞情况下的临界状态，高于这个临界值则出现亏损，低于临界值则赢利。Es存在的条件：C C/N，相对于鱼的总量，鱼的价格必须大于成本才能保证临界点的存在。在没有科学经营策略的前提下，渔场应该始终把捕捞

13、能力控制在 Es 以下。在盲目捕捞情况下，渔场的稳定鱼量应该为：xs=C/p（将 Es 代入 x0 的表达式得到）第27页，本讲稿共77页盲目捕捞模型的结论盲目捕捞模型的结论在盲目捕捞情况下，渔场的稳定鱼量为：在盲目捕捞情况下，渔场的稳定鱼量为：xs=C/p注意：这个稳定鱼量由两个因素决定，一是捕捞成本，注意：这个稳定鱼量由两个因素决定，一是捕捞成本，二是鱼的价格。二是鱼的价格。这是一个典型的市场经济结果，捕捞量这是一个典型的市场经济结果，捕捞量(市场供应量市场供应量)、捕捞努力量、渔场最终稳定的保有量等等，完全由市捕捞努力量、渔场最终稳定的保有量等等，完全由市场的价格杠杆决定。场的价格杠杆决

14、定。完全自由的市场经济并不可取，现代经济应该是一完全自由的市场经济并不可取，现代经济应该是一种结合了宏观调控的市场经济。种结合了宏观调控的市场经济。第28页，本讲稿共77页二、两个生物种群的竞争模型二、两个生物种群的竞争模型考虑两个生物种群竞争同一种有限资源的问考虑两个生物种群竞争同一种有限资源的问题。在自然条件下，适应环境能力弱的种群题。在自然条件下，适应环境能力弱的种群将趋于灭亡，适应能力强的种群将增长到环将趋于灭亡，适应能力强的种群将增长到环境允许的最大数量。种群竞争模型现在已经境允许的最大数量。种群竞争模型现在已经被广泛地应用到描述企业、国家等社会实体被广泛地应用到描述企业、国家等社会

15、实体之间的竞争研究中。之间的竞争研究中。下面通过建立模型来解释这种现象，并分析下面通过建立模型来解释这种现象，并分析出现各种结局的条件。出现各种结局的条件。第29页，本讲稿共77页1.模型的建立模型的建立设同一环境中有甲、乙两个种群，设同一环境中有甲、乙两个种群，x1(t)、x2(t)分别记分别记t时刻时刻甲、乙种群的数量；甲、乙种群的数量；r1、r2为各自固有的增长率，为各自固有的增长率，N1、N2为各自环境最大容量。据此建立下面的模型：为各自环境最大容量。据此建立下面的模型：x1(t)=r1x1(1-x1/N1 -1x2/N2)x2(t)=r2x2(1-2x1/N1-x2/N2)其中其中

16、1，2 是非常关键的指标，反映一个种群对另是非常关键的指标，反映一个种群对另一种群的竞争能力。一种群的竞争能力。第30页，本讲稿共77页2.稳定性分析（竞争的结局）稳定性分析（竞争的结局）2.1 求平衡点求平衡点令令f(x1,x2)=g(x1,x2)=0，得到四个平衡点：，得到四个平衡点：P1(N1,0)，P2(0,N2)，P3(0,0)，第31页，本讲稿共77页pq稳定稳定条件条件P1r1-r2(1-2)-r1r2(1-2)P2-r1(1-1)+r2-r1r2(1-1)P3-(r1+r2)r1r2P4r1(1-1)+r2(1-2)(1-1 2)-1r1r2(1-1)(1-2)(1-1 2)-

17、1 21(11(21)不稳定不稳定 11 20而且而且q0第32页，本讲稿共77页2.2 平衡点的稳定性平衡点的稳定性根据前面的方法不能给出各个平衡点全部的稳定性条件。根据前面的方法不能给出各个平衡点全部的稳定性条件。下面对下面对 1 和和 2 分情况讨论平衡点的稳定性条件。分情况讨论平衡点的稳定性条件。考虑转到相平面上，即在考虑转到相平面上，即在 x1-x2 平面上研究平面上研究方程解沿着方程解沿着 t 增加所表现出的趋势。增加所表现出的趋势。x1(t)=r1x1(1-x1/N1-1x2/N2)x2(t)=r2x2(1-2x1/N1-x2/N2)可知，在任意时刻，可知，在任意时刻，x1(t)

18、和和x2(t)是增是减由是增是减由 =1-x1/N1-1x2/N2 和和 =1-2x1/N1-x2/N2 决定。决定。第33页，本讲稿共77页1、11S1S2S3O N1/2 N1 x1x2N2/1N2=0=0这时这时 =0 和和 =0 将相平将相平面分为三个区域：面分为三个区域：S1：x10,x20;S2：x10,x20;S3：x10,x21，21，P2稳定 3、11，21，21，方程的解不存在统一的发展趋势。第36页，本讲稿共77页二二(2)生物互惠共生模型生物互惠共生模型甲乙两甲乙两种群的相互依存有三种形式种群的相互依存有三种形式1)甲可以独自生存，乙不能独自生存；甲乙甲可以独自生存，乙

19、不能独自生存；甲乙一起生存时相互提供食物、促进增长。一起生存时相互提供食物、促进增长。2)甲乙均可以独自生存；甲乙一起生存甲乙均可以独自生存；甲乙一起生存 时时相互提供食物、促进增长。相互提供食物、促进增长。3)甲乙均不能独自生存；甲乙一起生存时相甲乙均不能独自生存；甲乙一起生存时相互提供食物、促进增长。互提供食物、促进增长。第37页，本讲稿共77页第一种情形第一种情形模型模型假设假设 甲可以独自生存，数量变化服从甲可以独自生存，数量变化服从Logistic规律规律;甲乙一起生存时甲乙一起生存时乙为甲提供食物、促进增长。乙为甲提供食物、促进增长。乙不能独自生存；甲乙一起生存时甲为乙提供食物、促

20、乙不能独自生存；甲乙一起生存时甲为乙提供食物、促进增长；乙的增长又受到本身的阻滞作用进增长；乙的增长又受到本身的阻滞作用(服从服从Logistic规规律律)。模型模型乙为甲提供食物乙为甲提供食物是甲消耗的是甲消耗的 1 倍倍甲为乙提供食物是甲为乙提供食物是乙消耗的乙消耗的 2 倍倍第38页，本讲稿共77页平衡点稳定性分析平衡点稳定性分析平衡点有三个：平衡点有三个：P1(N1,0),P3(0,0)第39页，本讲稿共77页种群依存模型的平衡点及稳定性种群依存模型的平衡点及稳定性P2是甲乙相互依存而共生的平衡点是甲乙相互依存而共生的平衡点稳定条件稳定条件不稳定不稳定平衡点平衡点第40页，本讲稿共77

21、页0 11,1 21 P2稳定稳定第41页，本讲稿共77页模型结果分析模型结果分析 1 21 前提下前提下P2存在的必要条件存在的必要条件 2 1 甲必须为乙提供足够的食物甲必须为乙提供足够的食物甲为乙提供的食物是乙消耗甲为乙提供的食物是乙消耗的的 2 倍倍 11,1 21条件下条件下使使 1 21 成立成立 P2稳定条件：稳定条件：11,1 2 0P:临界状态临界状态 q 0P 不稳定不稳定 第45页，本讲稿共77页tx(t)y(t)020.00004.00000.100021.24063.96510.200022.56493.94050.300023.97633.92695.10009.6

22、16216.72355.2000 9.017316.20649.500018.47504.04479.600019.61363.99689.700020.83113.9587用数学软件用数学软件MATLAB求求微分方程数值解微分方程数值解xy 平面上的相轨线平面上的相轨线第46页，本讲稿共77页计算结果（数值，图形）计算结果（数值，图形）x(t),y(t)是周期函数，相图是周期函数，相图(x,y)是封闭曲线是封闭曲线观察，猜测观察，猜测x(t),y(t)的周期约为的周期约为9.6xmax 65.5,xmin 6,ymax 20.5,ymin 3.9用数值积分可算出用数值积分可算出 x(t),y

23、(t)一周期的平均值：一周期的平均值：x(t)的平均值约为的平均值约为25,y(t)的平均值约为的平均值约为10。第47页，本讲稿共77页平衡点稳定性分析平衡点稳定性分析 消去消去dt用相轨线分析用相轨线分析 点稳定性点稳定性c 由初始由初始条件确定条件确定取指数取指数第48页，本讲稿共77页x0fmf(x)x0g(y)gmy0y0在相平面上讨论相轨线的图形在相平面上讨论相轨线的图形用相轨线分析用相轨线分析 点稳定性点稳定性相轨线相轨线时无相轨线时无相轨线以下设以下设第49页，本讲稿共77页稳定性分析稳定性分析Py0 x0 x2x1取定取定x x1,x2,xy2y1第50页，本讲稿共77页模型

24、结果分析模型结果分析Py0 x0对应于每一个对应于每一个c，都有一条闭轨线，都有一条闭轨线T3 T2T4 T1第51页，本讲稿共77页模型解释模型解释r 食饵增长率食饵增长率d 捕食者死亡率捕食者死亡率b 食饵供养捕食者能力食饵供养捕食者能力捕食者捕食者 数量数量食饵食饵数量数量a 捕食者掠取食饵能力捕食者掠取食饵能力捕食者数量与捕食者数量与r成正比成正比,与与a成反比成反比食饵食饵数量与数量与d成正比成正比,与与b成反比成反比Pr/ad/b第52页，本讲稿共77页模型模型解释解释一次大战期间地中海渔业的捕捞量下降，但是其中一次大战期间地中海渔业的捕捞量下降，但是其中鲨鲨鱼的比例却在增加，为什

25、么？鱼的比例却在增加，为什么？rr-1,dd+1捕捞捕捞战时战时捕捞捕捞rr-2,dd+2,2 0下面重点考虑非零平衡点下面重点考虑非零平衡点 x*的稳定条件。的稳定条件。根据稳定性理论，根据稳定性理论，|2 b|1，即，即1 b 3时时x*是是稳定平衡点。稳定平衡点。也就是说，也就是说，0 r 2时，时，y*=N是稳定平衡点。是稳定平衡点。这与连续型模型中，这与连续型模型中，r 取任何值取任何值N都是稳定不同都是稳定不同第60页，本讲稿共77页1 b 3时时x*是稳定的，即是稳定的，即 xk x*.在在 x-y 平面上分别做平面上分别做 y=bx(1-x)和和 y=x 的图形的图形O1 b

26、22 b 3O1/2 1 xy1/2第61页，本讲稿共77页差分形式阻滞增长模型差分形式阻滞增长模型图形分析表明：图形分析表明：当当1 b 2时，时，x*1/2，xk x*的过程是单调的的过程是单调的.当当2 b 1/2，xk x*的过程呈现交替的过程呈现交替.当当b 3时，虽然时，虽然 x*存在，但不稳定存在，但不稳定。第62页，本讲稿共77页差分形式阻滞增长模型差分形式阻滞增长模型另外，用计算机计算发现，当另外，用计算机计算发现，当3 b 3.449时，虽然时，虽然xk不不收敛，收敛，xk有两个收敛子列：有两个收敛子列：x2k和和x2k+1它们各自都有自己的收敛点：它们各自都有自己的收敛点

27、：x2k+1 x*1,x2k x*2如果说如果说1 b 3时，差分方程的解是单周期收敛的话，时，差分方程的解是单周期收敛的话，那么那么3 b 3.449时差分方程是双周期收敛的。时差分方程是双周期收敛的。这在这在实际问题中也有一定的实用背景。实际问题中也有一定的实用背景。第63页，本讲稿共77页四、市场经济中的蛛网模型四、市场经济中的蛛网模型在自由竟争的市场经济中，从生产者、消费者在自由竟争的市场经济中，从生产者、消费者两方面来讨论商品生产随价格变化的规律，即两方面来讨论商品生产随价格变化的规律，即讨论生产数量与产品价格之间的关系。讨论生产数量与产品价格之间的关系。第64页，本讲稿共77页市场

28、经济中的蛛网模型市场经济中的蛛网模型市场经济中的一个典型现象：市场经济中的一个典型现象：供大于求供大于求价格下跌价格下跌生产者减产生产者减产供不应求供不应求价格上升价格上升生产者增产生产者增产这样的震荡有两种发展趋势：这样的震荡有两种发展趋势：振幅越来越大导振幅越来越大导致经济崩溃；振幅趋于平稳致经济崩溃；振幅趋于平稳。推出新品推出新品第65页，本讲稿共77页下面设法建立模型来描述这个震荡过程，以及下面设法建立模型来描述这个震荡过程，以及影响其发展趋势的因素。影响其发展趋势的因素。一、图形法建模一、图形法建模记记 x 为生产数量，为生产数量，y 为产品单价。为产品单价。从消费者的角度出发，价格

29、是数量的减函数：从消费者的角度出发，价格是数量的减函数：y=f(x)需求函数，反映消费者对商需求函数，反映消费者对商 品的需求。品的需求。从生产者的角度出发，数量是价格的增函数：从生产者的角度出发，数量是价格的增函数：x=g(y)供应函数，与生产者的生产供应函数，与生产者的生产 能力、经营水平有关。能力、经营水平有关。第66页，本讲稿共77页蛛网模型蛛网模型时间是连续变化的，但有些商品是有季节性的，时间是连续变化的，但有些商品是有季节性的，比如一些农产品、牲畜等商品。比如一些农产品、牲畜等商品。下面我们可以将时间按照商品的生产周期离散化下面我们可以将时间按照商品的生产周期离散化处理。处理。k=

30、1,2,记记 xk,yk分别为第分别为第 k 时段商品的产量与价格。时段商品的产量与价格。第67页，本讲稿共77页在同一坐标系中画出需求函数和供给函数：在同一坐标系中画出需求函数和供给函数：O yx f g P1 P2 P3 P4问题：问题：k时，时，Pk(xk,yk)的变的变化趋势如何？化趋势如何？图中两条曲线有一交点，不妨图中两条曲线有一交点，不妨记之为记之为P0(x0,y0)，这就是，这就是蛛网蛛网模型差分方程组的平衡点模型差分方程组的平衡点。如果如果 f、g 是图中的情形，那是图中的情形，那么给定一个初始状态，最终么给定一个初始状态，最终经济将趋于稳定，经济将趋于稳定，Pk P0注意：

31、注意：f 单减，单减，g 单增单增第68页，本讲稿共77页如果如果 f、g 是图中的情形，那么给定一个初始状态，最终经是图中的情形，那么给定一个初始状态，最终经济将趋于不稳定，济将趋于不稳定，P0不是一个稳定的平衡点。不是一个稳定的平衡点。O yx f g 通过图示法中需求、供给函通过图示法中需求、供给函数的形式，分析市场经济的数的形式，分析市场经济的稳定，这样的模型就称为稳定，这样的模型就称为“蛛网模型蛛网模型”。那么究竟在什么情况下市那么究竟在什么情况下市场经济将趋于稳定？在什场经济将趋于稳定？在什么情况下市场经济将趋于么情况下市场经济将趋于不稳定？不稳定？第69页，本讲稿共77页对比两个

32、图形不难看出，稳定予否取决于对比两个图形不难看出，稳定予否取决于 P0 附近附近 f 和和 g 的的斜率。记斜率。记K f =|f 在在P0点的斜率点的斜率|，K g =|g 在在P0点的斜率点的斜率|。则：则：O yx f g P1 P2 P3 P4 f O yx g K f K g 时时P0 不稳定。不稳定。第70页，本讲稿共77页K f K g 时时P0 不稳定。不稳定。返回实际环境，这就意味着：需求越平缓，供给越陡，返回实际环境，这就意味着：需求越平缓，供给越陡，则越有利于经济的稳定发展。则越有利于经济的稳定发展。即要鼓励消费者保持健康的消费心理，理性消费，不要跟即要鼓励消费者保持健康

33、的消费心理，理性消费，不要跟风抢购或者长期持币等待最佳消费时机；同时鼓励企业关风抢购或者长期持币等待最佳消费时机；同时鼓励企业关注市场动态，随时根据市场价格情况调整生产。注市场动态，随时根据市场价格情况调整生产。第71页，本讲稿共77页二、差分法建模二、差分法建模关键是给出关键是给出 f 和和 g 的函数表示。的函数表示。在在P0附近将附近将 f(x)和和 g(y)线性化：线性化：从中消去从中消去 yk 我们得到：我们得到：第72页，本讲稿共77页五、军备竞赛五、军备竞赛第73页，本讲稿共77页模型构造第74页，本讲稿共77页趋势分析第75页，本讲稿共77页模型结果分析第76页，本讲稿共77页模型结果分析第77页，本讲稿共77页