数学建模主成分分析 (2).ppt
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1、数学建模主成分分析数学建模主成分分析现在学习的是第1页，共63页常见相关模型及其常见相关模型及其建模方法建模方法2.专题求解模型专题求解模型1.发散思维模型发散思维模型现在学习的是第2页，共63页 近几年赛题近几年赛题 为例为例v2009年年A题题 制动器试验台的控制方法分析制动器试验台的控制方法分析 B题题 眼科病床的合理安排眼科病床的合理安排 v2010年年A题题 储油罐的变位识别与罐容表标定储油罐的变位识别与罐容表标定 B题题 上海世博会影响力的定量评估上海世博会影响力的定量评估 v2011年年A题题 城市表层土壤重金属污染分析城市表层土壤重金属污染分析 B题题 交巡警服务平台的设置与调
2、度交巡警服务平台的设置与调度v2012年年A题题 葡萄酒的评价葡萄酒的评价 B题题 太阳能小屋的设计太阳能小屋的设计 近几年全国数学建模竞赛题现在学习的是第3页，共63页v2010年年B题题 上海世博会影响力的上海世博会影响力的 定量评估定量评估 v2009年年B题题 眼科病床的合理安排眼科病床的合理安排 v2011年年A题题 城市表层土壤重金属城市表层土壤重金属 污染分析污染分析v2012年年A题题 葡萄酒的评价葡萄酒的评价 均可归属为均可归属为-基于数据分析的综合评价模型基于数据分析的综合评价模型现在学习的是第4页，共63页两类模型常用建模方法两类模型常用建模方法综合评价法综合评价法测试分
3、析法测试分析法专题建模法专题建模法信息合理运用法信息合理运用法现在学习的是第5页，共63页综合评价基本方法综合评价基本方法n n简易的方法有简易的方法有：n n常用的方法有常用的方法有：现在学习的是第6页，共63页测试分析法测试分析法v回归分析回归分析v曲线拟合曲线拟合v计算机模拟与仿真计算机模拟与仿真现在学习的是第7页，共63页专题建模法专题建模法v数学规划（线性规划与非线性规划）数学规划（线性规划与非线性规划）v概率论与数理统计概率论与数理统计v图论图论v微分方程微分方程v各学科实际问题各学科实际问题现在学习的是第8页，共63页信息合理运用法信息合理运用法v将与问题相关的论文合理运用将与问
4、题相关的论文合理运用v将其他问题的论文合理运用将其他问题的论文合理运用07年选区的重新划分与统计物理年选区的重新划分与统计物理现在学习的是第9页，共63页 现在学习的是第10页，共63页v问题实际背景问题实际背景，在众多评价问题中，在众多评价问题中，人们往往会人们往往会对评价样品收集尽可能多的指标，例如人口普查对评价样品收集尽可能多的指标，例如人口普查往往要调查每个人的姓名、年龄、性别、文化程往往要调查每个人的姓名、年龄、性别、文化程度、住房、职业、收入、消费等几十项指标；再度、住房、职业、收入、消费等几十项指标；再如，如，2012年葡萄评价有年葡萄评价有24指标。指标。v从收集资料的角度来看
5、，收集较多的数据有利于从收集资料的角度来看，收集较多的数据有利于完整反映样品的特征，但是这些指标从统计角度完整反映样品的特征，但是这些指标从统计角度来看相互之间具有一定的依赖关系，从而使所观来看相互之间具有一定的依赖关系，从而使所观测的数据在反映信息上有一定测的数据在反映信息上有一定重叠，重叠，同时又使得同时又使得问题变得问题变得复杂复杂。现在学习的是第11页，共63页思考思考：如何如何减少减少变量，变量，但信息量保留得但信息量保留得较多较多。由由此产生了此产生了主成分分析主成分分析法法。主成分分析也称主分量分析主成分分析也称主分量分析（principal components analysi
6、s,PCA）是由美国的是由美国的科学家哈罗德科学家哈罗德霍特林（霍特林（Harold otelling）于）于1933年首先提出的。年首先提出的。现在学习的是第12页，共63页现在学习的是第13页，共63页现在学习的是第14页，共63页 现在学习的是第15页，共63页 现在学习的是第16页，共63页一、降维的两个准则一、降维的两个准则准则准则1：信息量损失尽可能少。：信息量损失尽可能少。准则准则2：新主成分之间相关性低、重叠少。：新主成分之间相关性低、重叠少。现在学习的是第17页，共63页二、明确信息量的二、明确信息量的数学数学意义意义 我们知道，当一个变量所取数据相近时，这个变量我们知道，当
7、一个变量所取数据相近时，这个变量（数据）提供的信息量较为单一，当这个变量取数据（数据）提供的信息量较为单一，当这个变量取数据差异较大时，差异较大时，说明它对各种场景的说明它对各种场景的“遍历性遍历性”越强越强，提供的信息就更加充分提供的信息就更加充分，从数学角度来论，变量从数学角度来论，变量的的标准差或方差越大，变量涵盖的信息标准差或方差越大，变量涵盖的信息越足越足。现在学习的是第18页，共63页三、明确重叠少三、明确重叠少数学数学意义意义 我们知道，当一个变量与有关联时我们知道，当一个变量与有关联时难免表达信息有重复，难免表达信息有重复，没关联反映在数学没关联反映在数学上最好是两变量独立，而
8、这一要求过强，上最好是两变量独立，而这一要求过强，较难满足，这里我们就要求新主成分之间较难满足，这里我们就要求新主成分之间无线性关系就好无线性关系就好，反映在概率理论上就是反映在概率理论上就是每两个主成分之间的每两个主成分之间的协协方差为方差为“0”或相或相关系数为关系数为“0”。现在学习的是第19页，共63页现在学习的是第20页，共63页引引例：例：假设共有n个样品，每个样品都测量了两个指标（X1，X2），在坐标系 中，观察散点的分布，假设共有n个样品，每个样品都测量了两个指标（X1，X2），在坐标系 中，观察散点的分布，假设共有n个样品，每个样品都测量了两个指标（X1，X2），在坐标系 中
9、，观察散点的分布，假设共有n个样品，每个样品都测量了两个指标（X1，X2），在坐标系 中，观察散点的分布，现在学习的是第21页，共63页引例：引例：单独看这单独看这n个点的分量个点的分量 ，它们沿着，它们沿着 方方向和向和 方向都具有相近的离散性，如果方向都具有相近的离散性，如果仅考仅考虑虑其其中的任何一个分量，那么包含在另一分中的任何一个分量，那么包含在另一分量中的信息将会损失量中的信息将会损失，因此，直接舍弃某个，因此，直接舍弃某个分量不是分量不是“确定主成分确定主成分”的有效办法。的有效办法。现在学习的是第22页，共63页结论：结论：为第一主成分，为第一主成分，为第二主成分。为第二主成分
10、。换个角度观察换个角度观察 事实上，散点的分布总有可能沿着某一个方向事实上，散点的分布总有可能沿着某一个方向略显扩张，这里沿椭圆的长轴方向数据变化跨略显扩张，这里沿椭圆的长轴方向数据变化跨度就明显大于椭圆的短轴方向。度就明显大于椭圆的短轴方向。现在学习的是第23页，共63页结论：结论：为第一主成分，为第一主成分，为第二主成分。为第二主成分。换个角度观察换个角度观察 结论：长轴方向变量为第一主成分；短轴方结论：长轴方向变量为第一主成分；短轴方向变量为第二主成分。向变量为第二主成分。现在学习的是第24页，共63页结论：结论：为第一主成分，为第一主成分，为第二主成分。为第二主成分。当当 新旧变量间夹
11、角为新旧变量间夹角为 时，由坐标变换公式可得时，由坐标变换公式可得主成分获得的数学模型主成分获得的数学模型现在学习的是第25页，共63页确定主成分的数学模型：确定主成分的数学模型：现在学习的是第26页，共63页推广一般主成分确定的模型推广一般主成分确定的模型或或其中其中T T是正交矩阵是正交矩阵现在学习的是第27页，共63页主成分满足的约束主成分满足的约束要求：要求：Y的各分量是的各分量是不相关的不相关的；并且并且Y的第的第一个分量的一个分量的方差是最大的方差是最大的；第二个分量的方；第二个分量的方差次之，差次之，等等。，等等。为了保持信息不丢失，为了保持信息不丢失，Y的各分量的各分量方差和方
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