复变函数复变函数保形映射讲稿.ppt

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1、复变函数课件复变函数保形映射1第一页，讲稿共七十三页哦 z 平面内的任一条有向曲线C可用 z=z(t),atb表示,它的正向取为t增大时点z移动的方向,z(t)为一条连续函数.如果z(t0)0,at0b,则表示z(t)的向量(把起点放取在z0.以下不一一说明)与C相切于点z0=z(t0).z(t0)z(a)z(b)z(t0)1 保形映射的概念2第二页，讲稿共七十三页哦 事实上,如果通过C上两点P0与P的割线P0P的正向对应于t增大的方向,则这个方向与表示的方向相同.Oxyz(t0)P0Pz(t0+Dt)C(z)当点P沿C无限趋向于点P0,割线P0P的极限位置就是C上P0处的切线.因此,表示的向

2、量与C相切于点z0=z(t0),且方向与C的正向一致.z(t0)3第三页，讲稿共七十三页哦我们有1)Arg z(t0)就是z0处C的切线正向与x轴正向间的夹角;2)相交于一点的两条曲线C1与C2正向之间的夹角就是它们交点处切线正向间夹角Ox(z)z04第四页，讲稿共七十三页哦1.解析函数的导数的几何意义 设函数w=f(z)在区域D内解析,z0为D内的一点,且f(z0)0.又设C为z平面内通过点z0的一条有向光滑曲线:z=z(t),atb,且z0=z(t0),z(t0)0,at00映射成单位圆|w|0映射成单位圆|w|0映射成单位圆|w|0映射成|w|0映射成单位圆|w|1且满 足w(2i)=0

3、,arg w(2i)=0的分式线性映射.故有从而得所求的映射为解：由条件w(2i)=0知,所求的映射要将上半平面中的点z=2i映射成单位圆周的圆心w=0.所以由(6.3.3)得48第四十八页，讲稿共七十三页哦例5 求将单位圆|z|1映射成单位圆|w|1的分式线 性映射.x1y(z)OOuv(w)1a49第四十九页，讲稿共七十三页哦解 设z平面上单位圆|z|1内部的一点a映射成w平 面上的单位圆|w|1的中心w=0.这时与50第五十页，讲稿共七十三页哦由于z平面上单位圆周上的点要映成w平面上单位圆周上的点,所以当|z|=1,|w|=1.将圆周|z|=1上的点z=1代入上式,得所以|k|=1,即k

4、=eij.这里j是任意实数.因此,将单位圆|z|1映射成单位圆|w|1的分式线性映射的一般表示式是51第五十一页，讲稿共七十三页哦 反之,形如上式的映射必将单位圆|z|1映射成单位圆|w|1.这是因为圆周|z|=1上的点z=eiq(q为实数)映射成圆周|w|=1上的点:同时单位圆|z|1内有一点z=a映射成w=0.所以(6.3.5)必将单位圆|z|1映射成单位圆|w|0的分式线性映射.解 由条件w(1/2)=0知,所求的映射要将z=1/2 映射成|w|0映射成|w-2i|2且满足条件w(2i)=2i,arg w(2i)=-p/2的分式线性映射.解 容易看出,映射z=(w-2i)/2将|w-2i

5、|2映射成|z|0映射成|z|1且满足z(2i)=0的映射易知为54第五十四页，讲稿共七十三页哦2i(z)O(z)2i(w)w=2(i+z)55第五十五页，讲稿共七十三页哦4 几个初等函数所构成的映射1.幂函数 w=zn(n2为自然数)在z平面内处处可导,它的导数是因而当z0时,所以,在z平面内除去原点外,由w=zn所构成的映射处处保形.映射的特点是:把以原点为顶点的角形域映射成以原点为顶点的角形域,但张角变成了原来的n倍.56第五十六页，讲稿共七十三页哦O(z)q0O(w)nq0w=zn(z)(w)OO上岸下岸w=zn57第五十七页，讲稿共七十三页哦例1 求把角形域0arg zp/4映射成单

6、位圆|w|1 的 一个映射.解 z=z4将所给角形域0arg z0.又从上节的例2知,映射58第五十八页，讲稿共七十三页哦(z)OO(z)1(w)z=z459第五十九页，讲稿共七十三页哦60第六十页，讲稿共七十三页哦例3 求把下图中由圆弧C2与C3所围成的交角为a的月牙域映射成角形域j0arg wj0+a的一个映射.aj0(w)O1C1C2a(z)O-ii61第六十一页，讲稿共七十三页哦aO(z)aj0(w)O1C1C2a(z)O-ii162第六十二页，讲稿共七十三页哦解 令C1,C2的交点z=i与z=-i分别映射成z平面中的z=0与z=,将所给月牙域映射成z平面中的角形域的映射是具有以下形式

7、的分式线性函数:其中k为待定的复常数.63第六十三页，讲稿共七十三页哦2.指数函数 w=e z由于在z平面内w=e z 0。所以,由 w=e z所构成的映射是0y2p上的保形映射.设z=x+iy,w=r e ij,则w=e z=e x+iy=r e ij 推出 r=e x：z平面上垂直线x映射成w平面上圆周r；（x=0-单位圆周,x0-单位圆外）j=y：z平面上水平直线y映射成w平面上射线j。带形域0Im(z)a映射成角形域0arg wa.特别是带形域0Im(z)2p 映射成沿正实轴剪开的w平面:0arg w2p.它们间的点是一一对应的.64第六十四页，讲稿共七十三页哦aiOxy(z)arg

8、w=auOv(w)2piOxy(z)Ouv(w)w=ezz=lnw65第六十五页，讲稿共七十三页哦由指数函数w=e z 所构成的映射的特点是:把水平的带形域0Im(z)a(ap)映射成角形域0arg wa.例4 求把带形域0Im(z)p映射成单位圆|w|1的 一个映射.z=e z66第六十六页，讲稿共七十三页哦例4 求映射把如图所示的半带状域映成上半单位圆。1-11-167第六十七页，讲稿共七十三页哦O(z)ab(w)Opi(z)Ow=ezO(s)b-a例5 求把带形域aRe(z)0 的一个 映射.O(t)(b-a)i68第六十八页，讲稿共七十三页哦例6 求把具有割痕Re(z)=a,0Im(z

9、)h的上半 平面映射成上半平面的一个映射.xOy(z)C(a+ih)B DaOuv(w)a-h a a+hBCD69第六十九页，讲稿共七十三页哦xOy(z)C(a+ih)B DaOuv(w)a-haa+hBCDO(z1)CBDih-h2COBD(z2)COBh2D(z3)O(z4)CBD-h+hz1=z-az2=z12z3=z2+h2w=z4+a70第七十页，讲稿共七十三页哦解 不难看出,解决本题的关键显然是要设法将垂直于x轴的割痕的两侧和x轴之间的夹角展平.由于映射w=z2能将顶点在原点处的角度增大到两倍,所以利用这个映射可以达到将割痕展平的目的.首先,把上半z平面向左平移一个距离a:z1=z-a.第二,由映射z2=z12,得到具有割痕-h2Re(z2)+,Im(z2)=0的z2平面.第三,把z2平面向右作一距离为h2的平移:z3=z2+h2,便得到去掉了正实轴的z3平面.71第七十一页，讲稿共七十三页哦72第七十二页，讲稿共七十三页哦73第七十三页，讲稿共七十三页哦