数值分析方程求根的迭代法.ppt
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1、数值分析方程求根的迭代法现在学习的是第1页,共43页远在公元前在公元前1700年的古巴比年的古巴比伦人就已有关于一、二次方程的解法。人就已有关于一、二次方程的解法。九章算九章算术(公元前公元前50100年年)其中其中“方程方程术”有有联立一次方程立一次方程组的一般解法。的一般解法。1535年意大利数学家坦特格里年意大利数学家坦特格里亚(TorTaglia)发现了三次方程的解法,卡当了三次方程的解法,卡当(HCardano)从他那里得到了从他那里得到了这种解法,于种解法,于1545年在其名著年在其名著大法大法中公布了三次中公布了三次方程的公式解,称方程的公式解,称为卡当算法。卡当算法。后来卡当的
2、学生弗瑞里后来卡当的学生弗瑞里(Ferrari)又提出了四次方程的解法。此成果更激又提出了四次方程的解法。此成果更激发了了数学家数学家们的情的情绪,但在以后的二个世,但在以后的二个世纪中,求索工作始中,求索工作始终没有成效,没有成效,导致致人人们对高次代数方程解的存在性高次代数方程解的存在性产生了生了怀疑。疑。现在学习的是第2页,共43页1799年,高斯年,高斯证明了代数方程必有一个明了代数方程必有一个实根或复根的定理,称此根或复根的定理,称此为代数基代数基本定理,并由此可以立刻推理本定理,并由此可以立刻推理n次代数方程必有次代数方程必有n个个实根或复根。根或复根。但在以后的几十年中仍然没有找
3、出高次代数方程的公式解。一直到但在以后的几十年中仍然没有找出高次代数方程的公式解。一直到18世世纪,法国数学家拉格朗日用根置法国数学家拉格朗日用根置换方法方法统一了二、三、四方程的解法。一了二、三、四方程的解法。但求解五次方程但求解五次方程时未能如愿未能如愿,开始意开始意识到有潜藏其中的奥妙到有潜藏其中的奥妙,用用现代代术语表示就是表示就是置置换群理群理论问题。在在继续探索探索5次以上方程解的次以上方程解的艰难历程中,第一个重大突破的是挪威数学家阿程中,第一个重大突破的是挪威数学家阿贝尔(NAbel1802-1829)1824年阿年阿贝尔发表了表了“五次方程代数解法不可能存在五次方程代数解法不
4、可能存在”的的论文,但并未受到重文,但并未受到重视,连数学大数学大师高斯也未理解高斯也未理解这项成果的重要意成果的重要意义。现在学习的是第3页,共43页1828年年17岁的法国数学家伽的法国数学家伽罗华(EGalois 1811-1832)写出了划写出了划时代的代的论文文“关关于五次方程的代数解法于五次方程的代数解法问题”,指出即使在公式中容,指出即使在公式中容许用用n次方根,并用次方根,并用类似似算法求五次或更高次代数方程的根是不可能的算法求五次或更高次代数方程的根是不可能的文章呈交法文章呈交法兰西科学院后,因西科学院后,因辈份太低遭到冷遇,且文稿份太低遭到冷遇,且文稿丢失。失。1830年伽
5、年伽罗华再再进科学院科学院递稿,得到泊松院士的判稿,得到泊松院士的判词“完全不能理解完全不能理解”。后来伽后来伽罗华命运不佳,投考名校巴黎工科大学落榜,屈就高等命运不佳,投考名校巴黎工科大学落榜,屈就高等师院,并卷入政事两院,并卷入政事两次入次入狱,被开除学籍,又决斗受,被开除学籍,又决斗受伤,死于,死于1832年。决斗前,他把关于五次代数求年。决斗前,他把关于五次代数求解的研究成果写成解的研究成果写成长信,留了下来。信,留了下来。现在学习的是第4页,共43页十四年后,法国数学家刘十四年后,法国数学家刘维尔(JLiouville)整理并整理并发表了伽表了伽罗华的的遗作,人作,人们才意才意识到到
6、这项近代数学近代数学发展史上的重要成果的宝展史上的重要成果的宝贵。38年后,即年后,即1870年,法国数学家若当年,法国数学家若当(CJordan)在在专著著论置置换与代数方程与代数方程中中阐发了伽了伽罗华的思想,一的思想,一门现代数学的分支代数学的分支群群论诞生了。生了。在前几个世在前几个世纪中,曾开中,曾开发出一些求解代数方程的有效算法,它出一些求解代数方程的有效算法,它们构成构成了数了数值分析中的古典算法。至于超越方程分析中的古典算法。至于超越方程则不存在一般的求根方式。不存在一般的求根方式。现在学习的是第5页,共43页在在科科学学研研究究的的数数学学问题中中更更多多的的是是非非线性性问
7、题,它它们又又常常常常归结为非非线性方程或非性方程或非线性方程性方程组的求解的求解问题。现在学习的是第6页,共43页4.1 方程求根与二分法方程求根与二分法 4.1.1 引言引言(1.1)单变量非量非线性方程的一般形式性方程的一般形式 其中其中也可以是无也可以是无穷区区间.f(x)是是高次多高次多项式函数式函数或或超越函数超越函数(1.2)如果函数如果函数是多是多项式函数,即式函数,即其中其中为实数,数,则称方程称方程(1.1)为次代数方程次代数方程.超越函数超越函数不能表示不能表示为多多项式的函数式的函数如如 (x)=3x5-2x4+8x2-7x+1 (x)=e2x+1-xln(sinx)-
8、2高次代数方程高次代数方程超越方程超越方程现在学习的是第7页,共43页若若是是的的重零点,且重零点,且充分光滑,充分光滑,则次方程在复数域有且只有次方程在复数域有且只有个根(含重根,个根(含重根,重根重根为个根)个根).超越方程超越方程它在整个它在整个轴上有无上有无穷多个解,若多个解,若取取值范范围不同,解也不同,解也不同,因此不同,因此讨论非非线性方程性方程(1.1)的求解必的求解必须强调的定的定义域,即域,即的求解区的求解区间如果如果实数数满足足,则称称是方程是方程(1.1)的的根根,或称,或称是是的的零点零点.若若可分解可分解为 其中其中为正整数,且正整数,且则称称为方程方程(1.1)的
9、的重根重根,或,或为的的重零点重零点,时为单根根.结论结论现在学习的是第8页,共43页通常方程根的数通常方程根的数值解法大致分解法大致分为三个步三个步骤进行:行:非非线性性问题一般不存在直接的求解公式,要使用迭代法一般不存在直接的求解公式,要使用迭代法.本章将介绍常用的求解非线性方程的近似根的几种数值解法本章将介绍常用的求解非线性方程的近似根的几种数值解法 判定根的存在性。即方程有没有根?如果有根,有几个根?判定根的存在性。即方程有没有根?如果有根,有几个根?判定根的存在性。即方程有没有根?如果有根,有几个根?判定根的存在性。即方程有没有根?如果有根,有几个根?确定根的分布范确定根的分布范确定
10、根的分布范确定根的分布范围围。即将每一个根用区。即将每一个根用区。即将每一个根用区。即将每一个根用区间间隔离开来,隔离开来,隔离开来,隔离开来,这这个个个个过过程程程程实际实际上是上是上是上是获获得方程各根的初始近似得方程各根的初始近似得方程各根的初始近似得方程各根的初始近似值值。根的精确化。将根的初始近似根的精确化。将根的初始近似根的精确化。将根的初始近似根的精确化。将根的初始近似值值按某种方法逐步精确化,直到按某种方法逐步精确化,直到按某种方法逐步精确化,直到按某种方法逐步精确化,直到满满足足足足预预先要求的精度先要求的精度先要求的精度先要求的精度为为止止止止.现在学习的是第9页,共43页
11、如何求方程如何求方程的有根区的有根区间?设 f(x)Ca,b,且且 f(a)f(b)0,存在存在(a,b),使,使 f()=0.根的存在性定理根的存在性定理闭区间上连续函数的介值定理闭区间上连续函数的介值定理有根区有根区间如果如果f(x)在在a,b上上还是是单调递增增或或递减减的,的,则f(x)=0仅有一有一个个实根。根。(1)描描图法法画出画出y=f(x)的略的略图,从而看出曲,从而看出曲线与与x轴交点的大致位置。也可将交点的大致位置。也可将f(x)=0等价等价变形形为g1(x)=g2(x)的形式,的形式,y=g1(x)与与y=g2(x)两曲两曲线交点交点的横坐的横坐标所在的子区所在的子区间
12、即即为含根区含根区间。例例1 求方程求方程3x-1-cosx=0的有根区的有根区间。方程等价方程等价变形形为3x-1=cosx,y=3x-1与与y=cosx的的图像只有一个交点位于像只有一个交点位于0.5,1内内。现在学习的是第10页,共43页对的根的根进行搜索行搜索计算,算,例例2求方程求方程的有根区的有根区间.由此可知方程的有根区由此可知方程的有根区间为(2)逐步搜索法逐步搜索法 先确定方程先确定方程f(x)=0的所有的所有实根所在的区根所在的区间为a,b,从从x0=a 出出发,以步以步长 h=(b-a)/n 其中其中n是正整数,在是正整数,在a,b内取定内取定节点:点:xi=x0ih (
13、i=0,1,2,n)计算算f(xi)的的值,依据函数依据函数值异号及异号及实根的个数确定有根区根的个数确定有根区间,通通过调整步整步长,总可找到所有有根区可找到所有有根区间。解解 现在学习的是第11页,共43页4.1.2 二分法二分法求解方程求解方程f(x)=0的的近似根近似根的一种常用的的一种常用的简单方法。方法。原理原理基本思想基本思想设函数函数f(x)在在闭区区间a,b上上连续,且且f(a)f(b)0,则 f(x)=0在在(a,b)内必有内必有实根区根区间。逐步将区逐步将区间二等分二等分,通通过判断区判断区间端点端点f(x)的符号的符号,逐步将有根逐步将有根区区间缩小小,直至有根区直至有
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