行进中的数学第八课时课件.ppt

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1、行进中的数学第八课时第1页，此课件共35页哦 二、第二次数学危机二、第二次数学危机 第二次数学危机发生在牛顿创立微积分第二次数学危机发生在牛顿创立微积分的十七世纪。第一次数学危机是由毕达哥拉的十七世纪。第一次数学危机是由毕达哥拉斯学派内部提出的，第二次数学危机则是由斯学派内部提出的，第二次数学危机则是由牛顿学派的外部、贝克莱大主教提出的，是牛顿学派的外部、贝克莱大主教提出的，是对牛顿对牛顿“无穷小量无穷小量”说法的质疑引起的。说法的质疑引起的。2第2页，此课件共35页哦 1危机的引发危机的引发 1）牛顿的）牛顿的“无穷小无穷小”牛顿的微积分是一项划时代的科学成就，蕴含着巨大牛顿的微积分是一项划

2、时代的科学成就，蕴含着巨大的智慧和创新，但也有逻辑上的问题。我们来看一个例子。的智慧和创新，但也有逻辑上的问题。我们来看一个例子。微积分的一个来源，是想求运动物体在某一时刻微积分的一个来源，是想求运动物体在某一时刻的的瞬时速度瞬时速度。在牛顿之前，只能求一段时间内的。在牛顿之前，只能求一段时间内的平均速度平均速度，无法求某一时刻的瞬时速度。无法求某一时刻的瞬时速度。3第3页，此课件共35页哦 例如，设自由落体在时间例如，设自由落体在时间 下落的距离为下落的距离为 ，有公式有公式 ，其中，其中 是固定的重力加速度。我是固定的重力加速度。我们要求物体在们要求物体在 的瞬时速度，先求的瞬时速度，先求

3、 。（*）4第4页，此课件共35页哦 当当 变成无穷小时，右端的变成无穷小时，右端的 也变成无穷小，因而上式右端就可以认为也变成无穷小，因而上式右端就可以认为是是 ，这就是物体在，这就是物体在 时的瞬时速度，时的瞬时速度，它是两个无穷小之比。它是两个无穷小之比。牛顿的这一方法很好用，解决了大量过牛顿的这一方法很好用，解决了大量过去无法解决的科技问题。但是逻辑上不严去无法解决的科技问题。但是逻辑上不严格，遭到责难。格，遭到责难。5第5页，此课件共35页哦 2）贝克莱的发难）贝克莱的发难 英国的贝克莱大主教发表文章猛烈攻击英国的贝克莱大主教发表文章猛烈攻击牛顿的理论。牛顿的理论。贝克莱问道：贝克莱

4、问道：“无穷小无穷小”作为一个量，作为一个量，究竟是不是究竟是不是0？6第6页，此课件共35页哦 如果是0，上式左端当 成无穷小后分母为0，就没有意义了。如果不是0，上式右端的 就不能任意去掉。在推出上式时，假定了 才能做除法，所以上式的成立是以 为前提的。那么，为什么又可以让 而求得瞬时速度呢？因此，牛顿的这一套运算方法，就如同从 出发，两端同除以0，得出5=3一样的荒谬。（*）7第7页，此课件共35页哦 贝克莱还讽刺挖苦说：即然贝克莱还讽刺挖苦说：即然 和和 都变成都变成“无穷小无穷小”了，而无穷小作为一个量，既不了，而无穷小作为一个量，既不是是0，又不是非，又不是非0，那它一定是，那它一

5、定是“量的鬼魂量的鬼魂”了。了。这就是著名的这就是著名的“贝克莱悖论贝克莱悖论”。对牛顿微积分的这一责难并不是由数学家对牛顿微积分的这一责难并不是由数学家提出的，但是，提出的，但是，8第8页，此课件共35页哦贝克莱的质问是击中要害的贝克莱的质问是击中要害的数学家在将近数学家在将近200年的时间里，不能彻底反驳年的时间里，不能彻底反驳贝克莱的责难。贝克莱的责难。直至柯西创立极限理论，才较好地反驳了贝克莱直至柯西创立极限理论，才较好地反驳了贝克莱的责难。的责难。直至魏尔斯特拉斯创立直至魏尔斯特拉斯创立“”语言，才彻语言，才彻底地反驳了贝克莱的责难。底地反驳了贝克莱的责难。9第9页，此课件共35页哦

6、 3）实践是检验真理的唯一标准）实践是检验真理的唯一标准 应当承认，贝克莱的责难是有道理的。应当承认，贝克莱的责难是有道理的。“无穷无穷小小”的方法在概念上和逻辑上都缺乏基础。牛顿和的方法在概念上和逻辑上都缺乏基础。牛顿和当时的其它数学家并不能在逻辑上严格说清当时的其它数学家并不能在逻辑上严格说清“无穷无穷小小”的方法。数学家们相信它，只是由于它使用起的方法。数学家们相信它，只是由于它使用起来方便有效，并且得出的结果总是对的。特别是像来方便有效，并且得出的结果总是对的。特别是像海王星的发现那样鼓舞人心的例子，显示出牛顿的海王星的发现那样鼓舞人心的例子，显示出牛顿的理论和方法的巨大威力。所以，人

7、们不大相信贝克理论和方法的巨大威力。所以，人们不大相信贝克莱的指责。这表明，在大多数人的脑海里，莱的指责。这表明，在大多数人的脑海里，“实践实践是检验真理的唯一标准。是检验真理的唯一标准。”10第10页，此课件共35页哦 2危机的实质危机的实质 第一次数学危机的实质是第一次数学危机的实质是“不是有不是有理数，而是无理数理数，而是无理数”。那么第二次数学危机。那么第二次数学危机的实质是什么？应该说，是的实质是什么？应该说，是极限的概念不清极限的概念不清楚，极限的理论基础不牢固。楚，极限的理论基础不牢固。也就是说，微也就是说，微积分理论缺乏逻辑基础。积分理论缺乏逻辑基础。11第11页，此课件共35

8、页哦 其实，在牛顿把瞬时速度说成“物体所走的无穷小距离与所用的无穷小时间之比”的时候，这种说法本身就是不明确的，是含糊的。当然，牛顿也曾在他的著作中说明，所谓“最终的比”，就是分子、分母要成为0还不是0时的比例如（*）式中的gt，它不是“最终的量的比”，而是“比所趋近的极限”。他这里虽然提出和使用了“极限”这个词，但并没有明确说清这个词的意思。12第12页，此课件共35页哦 德国的莱布尼茨虽然也同时发明了微积德国的莱布尼茨虽然也同时发明了微积分，但是也没有明确给出极限的定义。分，但是也没有明确给出极限的定义。正因为如此，此后近二百年间的数学家，正因为如此，此后近二百年间的数学家，都不能满意地解

9、释贝克莱提出的悖论。都不能满意地解释贝克莱提出的悖论。所以，由所以，由“无穷小无穷小”引发的第二次数学引发的第二次数学危机，危机，实质上是缺少严密的极限概念和极限实质上是缺少严密的极限概念和极限理论作为微积分学的基础。理论作为微积分学的基础。13第13页，此课件共35页哦牛顿莱布尼茨14第14页，此课件共35页哦 3危机的解决危机的解决 1）必要性）必要性 微积分虽然在发展，但微积分逻辑基础微积分虽然在发展，但微积分逻辑基础上存在的问题是那样明显，这毕竟是数学家上存在的问题是那样明显，这毕竟是数学家的一块心病。的一块心病。15第15页，此课件共35页哦 而且，随着时间的推移，研究范围的扩大，而

10、且，随着时间的推移，研究范围的扩大，类似的悖论日益增多。数学家在研究无穷级类似的悖论日益增多。数学家在研究无穷级数的时候，做出许多错误的证明，并由此得数的时候，做出许多错误的证明，并由此得到许多错误的结论。由于没有严格的极限理到许多错误的结论。由于没有严格的极限理论作为基础。数学家们在有限与无限之间任论作为基础。数学家们在有限与无限之间任意通行（不考虑无穷级数收敛的问题）。意通行（不考虑无穷级数收敛的问题）。16第16页，此课件共35页哦 因因此此，进进入入19世世纪纪时时，一一方方面面微微积积分分取取得得的的成成就就超超出出人人们们的的预预料料，另另一一方方面面，大大量量的的数数学学理理论论

11、没没有有正正确确、牢牢固固的的逻逻辑辑基基础础，因因此此不不能能保保证证数数学学结结论论是是正正确确无无误的。误的。历史要求为微积分学说奠基。历史要求为微积分学说奠基。17第17页，此课件共35页哦 2）严格的极限理论的建立）严格的极限理论的建立 到到19世纪，一批杰出数学家辛勤、世纪，一批杰出数学家辛勤、天才的工作，终于逐步建立了严格的极限天才的工作，终于逐步建立了严格的极限理论，并把它作为微积分的基础。理论，并把它作为微积分的基础。应该指出，严格的极限理论的建立是应该指出，严格的极限理论的建立是逐步的、漫长的。逐步的、漫长的。18第18页，此课件共35页哦 在在18世纪时，人们已经建立了极

12、限理论，但那是世纪时，人们已经建立了极限理论，但那是初步的、粗糙的。初步的、粗糙的。达朗贝尔在达朗贝尔在1754年指出，必须用可靠的理论去代替年指出，必须用可靠的理论去代替当时使用的粗糙的极限理论。但他本人未能提供这样的理当时使用的粗糙的极限理论。但他本人未能提供这样的理论。论。19世纪初，捷克数学家波尔查诺开始将严格的世纪初，捷克数学家波尔查诺开始将严格的论证引入数学分析，他写的论证引入数学分析，他写的无穷的悖论无穷的悖论一书中包一书中包含许多真知灼见。含许多真知灼见。19第19页，此课件共35页哦 而做出决定性工作、可称为分析学的而做出决定性工作、可称为分析学的奠基人的是奠基人的是法国数学

13、家柯西法国数学家柯西（A.L.Cauchy,17891857）。他在）。他在18211823年间出版的年间出版的分析教程分析教程和和无穷小计无穷小计算讲义算讲义是数学史上划时代的著作。他对极是数学史上划时代的著作。他对极限给出比较精确的定义，然后用它定义连续、限给出比较精确的定义，然后用它定义连续、导数、微分、定积分和无穷级数的收敛性，导数、微分、定积分和无穷级数的收敛性，已与我们现在教科书上的差不太多了。已与我们现在教科书上的差不太多了。20第20页，此课件共35页哦柯西波尔查诺21第21页，此课件共35页哦 3）严格的实数理论的建立）严格的实数理论的建立 对以往理论的再认识对以往理论的再认

14、识 后来的一些发现，使人们认识到，极限后来的一些发现，使人们认识到，极限理论的进一步严格化，需要实数理论的严格理论的进一步严格化，需要实数理论的严格化。微积分或者说数学分析，是在实数范围化。微积分或者说数学分析，是在实数范围内研究的。但是，下边两件事，表明极限概内研究的。但是，下边两件事，表明极限概念、连续性、可微性和收敛性对实数系的依念、连续性、可微性和收敛性对实数系的依赖比人们想象的要深奥得多。赖比人们想象的要深奥得多。22第22页，此课件共35页哦 一件事是，1874年德国数学家魏尔斯特拉斯（K.T.W.Weirstrass，18151897）构造了一个 “点点连续而点点不可导的函数”。

15、“连续函数”在直观上是“函数曲线没有间断，连在一起”，而“函数在一点可导”直观上是“函数曲线在该点有切线”。所以，在直观上“连续”与“可导”有密切的联系。这之前甚至有人还证明过：函数在连续点上都可导（当然是错误的）。因此根本不可想象，还会有“点点连续而点点不可导的函数”。23第23页，此课件共35页哦 魏尔斯特拉斯魏尔斯特拉斯(18151897)德意志帝国数学家。1815年10月31日生于威斯特法伦州的奥斯滕费尔德，1897年2月19日卒于柏林。1834年入波恩大学学习法律和财政。1838年转学数学。18421856年，先后在几所中学任教。1854年3月31日获得柯尼斯堡大学名誉博士学位。18

16、56年10月受聘为柏林大学助理教授，同年成为柏林科学院成员，1864年升为教授。24第24页，此课件共35页哦 魏尔斯特拉斯魏尔斯特拉斯 关于关于 “点点连续而点点不可导的函数点点连续而点点不可导的函数”的例子是的例子是 其中其中 是奇数，是奇数，使使 。25第25页，此课件共35页哦 另一件事是德国数学家黎曼（B.Riemann，18261866）发现，柯西把定积分限制于连续函数是没有必要的。黎曼证明了，被积函数不连续，其定积分也可能存在。黎曼还造出一个函数，当自变量取无理数时它是连续的，当自变量取有理数时它是不连续的。26第26页，此课件共35页哦 黎曼黎曼 1826年9月17日，黎曼生于

17、德国北部汉诺威的布雷塞伦茨村，父亲是一个乡村的穷苦牧师。他六岁开始上学，14岁进入大学预科学习，19岁按其父亲的意愿进入哥廷根大学攻读哲学和神学，1847年，黎曼转到柏林大学学习，成为雅可比、狄利克莱、施泰纳、艾森斯坦的学生。1849年重回哥廷根大学攻读博士学位，成为高斯晚年的学生。27第27页，此课件共35页哦 这这 些些 例例 子子 使使 数数 学学 家家 们们 越越 来来 越越 明明白白，在在 为为 分分 析析 建建 立立 一一 个个 完完 善善 的的 基基 础础方方 面面，还还 需需 要要 再再 前前 进进 一一 步步：即即需需 要要理解和阐明实数系的更深刻的性质。理解和阐明实数系的更

18、深刻的性质。28第28页，此课件共35页哦 魏尔斯特拉斯的贡献魏尔斯特拉斯的贡献 德德 国国 数数 学学 家家 魏魏 尔尔 斯斯 特特 拉拉 斯斯（K a r l Weierstrass，18151897）的的 努努 力力，终终 于于 使使分分 析析 学学 从从 完完 全全 依依 靠靠 运运 动动 学学、直直 观观 理理 解解 和和 几几 何何 概概念念 中中 解解 放放 出出 来来。他他 的的 成成 功功 产产 生生 了了 深深 远远 的的 影影 响响，主主 要要 表表 现现 在在 两两 方方 面面，一一 方方 面面 是是 建建 立立 了了 实实 数数 系系，另一方面是创造了精确的另一方面是

19、创造了精确的“”语言。语言。29第29页，此课件共35页哦 “”语言的成功，表现在：语言的成功，表现在：这这 一一 语语 言言 给给 出出 极极 限限 的的 准准 确确 描描 述述，消消 除除了了 历历 史史 上上 各各 种种 模模 糊糊 的的 用用 语语，诸诸 如如“最最 终终比比”、“无限地趋近于无限地趋近于”，等等。，等等。这这 样样 一一 来来，分分 析析 中中 的的 所所 有有 基基 本本 概概 念念 都都可可 以以 通通 过过 实实 数数 和和 它它 们们 的的 基基 本本 运运 算算 和和 关关 系系 精精确地表述出来。确地表述出来。30第30页，此课件共35页哦 4）极限的）极

20、限的“”定义及定义及“贝克莱悖贝克莱悖论论”的消除的消除 极限的极限的“”定义定义31第31页，此课件共35页哦 定义：设函数定义：设函数 在在 的附近都有定的附近都有定义，如果有一个确定的实数义，如果有一个确定的实数 （无论多无论多么小的正数么小的正数 ）。）。都都 （都能找到一个正数都能找到一个正数 ，依赖，依赖于于 ），使当），使当 时（时（满足不等式满足不等式 的所有不等于的所有不等于 的的 ），有），有 （这些这些 对应的函数值对应的函数值与与 的差小于预先给定的任意小的的差小于预先给定的任意小的 ）我们就）我们就说说“函数函数 在在 趋近于趋近于 时，有极限时，有极限 ”。记为记为

21、 。32第32页，此课件共35页哦 由由极极限限的的这这个个“”定定义义，可可以以求求出出一一些些基基本本的的极极限限，并并严严格格地地建建立立一一整整套套丰富的极限理论。简单说，例如有丰富的极限理论。简单说，例如有 两两个个相相等等的的函函数数，取取极极限限后后仍仍相相等等；两两个个函函数数，和和的的极极限限等等于于极极限限的的和和。等等。等等。由此再建立严格的微积分理论。由此再建立严格的微积分理论。33第33页，此课件共35页哦 “贝克莱悖论贝克莱悖论”的消除的消除 回到牛顿的（回到牛顿的（*）式上：）式上：（*）这是在这是在 （即（即 ）条件下，得到的等式；它表明）条件下，得到的等式；它

22、表明 时间内物体的平均速度为时间内物体的平均速度为 。（。（*）式等号两边）式等号两边都是的函数。然后，我们把物体在都是的函数。然后，我们把物体在 时刻的瞬时速度时刻的瞬时速度定义为：上述平均速度当定义为：上述平均速度当 趋于趋于0时的极限，即时的极限，即 物体在物体在 时刻的瞬时速度时刻的瞬时速度=。34第34页，此课件共35页哦 下边我们对（下边我们对（*）式的等号两边同时取）式的等号两边同时取极限极限 ，根据，根据“两个相等的函数取极两个相等的函数取极限后仍相等限后仍相等”，得，得 瞬时速度瞬时速度=再根据再根据“两个函数和的极限等于极限的两个函数和的极限等于极限的和和”，得，得然后再求极限得然后再求极限得 35第35页，此课件共35页哦