利用球坐标计算三重积分讲稿.ppt

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1、关于利用球坐标计算三重积分第一页，讲稿共十九页哦回顾回顾 三重积分的概念三重积分的概念 类似二重积分解决问题的思想,采用 引例引例:设在空间有限闭区域 内分布着某种不均匀的物质,求分布在 内的物质的可得“分割分割,近似近似,求和求和,取极限取极限”解决方法解决方法:质量 M.密度函数为第二页，讲稿共十九页哦定义定义.设存在,称为体积元素体积元素,若对 作任意分割任意分割:任意取点任意取点则称此极限为函数在上的三重积分三重积分.在直角坐标系下常写作下列“乘积和式”极限记作记作第三页，讲稿共十九页哦1.利用直角坐标计算三重积分利用直角坐标计算三重积分方法方法1.投影法(“先一后二”)方法方法2.截

2、面法(“先二后一”)先假设连续函数 并将它看作某物体 通过计算该物体的质量引出下列各计算最后,推广到一般可积函数的积分计算.的密度函数,方法:第四页，讲稿共十九页哦方法方法1.1.投影法(“先一后二”)找 及在 面投影区域D。过D上一点 “穿线”确定 的积分上下限，完成了“先一”这一步（定积分）；进而按照二重积分的计算步骤计算投影区域D上的二重积分，完成”后二“这一步。第五页，讲稿共十九页哦方法方法2.2.截面法截面法 (“(“先二后一先二后一”)为底,d z 为高的柱形薄片质量为该物体的质量为面密度记作第六页，讲稿共十九页哦2.2.利用柱坐标计算三重积分利用柱坐标计算三重积分 就称为点M 的

3、柱坐标.直角坐标与柱面坐标的关系:坐标面分别为圆柱面半平面平面第七页，讲稿共十九页哦 如图所示,在柱面坐标系中体积元素为，在二重积分的时候我们讲过极坐标的转化 面积微元为 因此其中适用范围适用范围:1)积分域积分域表面用柱面坐标表示时方程简单方程简单;2)被积函数被积函数用柱面坐标表示时变量互相分离变量互相分离.体积微元第八页，讲稿共十九页哦其中为由例例1.1.计算三重积分所围解解:在柱面坐标系下及平面柱面成半圆柱体.先二后一第九页，讲稿共十九页哦例例2.2.计算三重积分解解:在柱面坐标系下所围成.与平面其中由抛物面原式=第十页，讲稿共十九页哦例例3.3.计算三重积分解解:在柱面坐标系下所围立

4、体.其中 与球面注：这个式子虽容易写出，但是要求积分结果非常难，我们能不能找到更加简便的方法来研究这道题目呢？第十一页，讲稿共十九页哦3.3.利用球坐标计算三重积分利用球坐标计算三重积分 就称为点M 的球坐标.直角坐标与球面坐标的关系坐标面分别为球面半平面锥面第十二页，讲稿共十九页哦如图所示,在球面坐标系中体积元素为因此有其中适用范围适用范围:1)积分域积分域表面用球面坐标表示时方程简单方程简单;2)被积函数被积函数用球面坐标表示时变量互相分离变量互相分离.第十三页，讲稿共十九页哦例例5.5.计算三重积分解解:在球面坐标系下所围立体.其中 与球面这种方法简单多了！第十四页，讲稿共十九页哦内容小

5、结内容小结积分区域多由坐标面被积函数形式简洁,或坐标系 体积元素 适用情况直角坐标系柱面坐标系球面坐标系*说明说明:三重积分也有类似二重积分的换元积分公式换元积分公式:对应雅可比行列式为变量可分离.围成;第十五页，讲稿共十九页哦（1）若空间闭区域关于平面 对称,即即被积函数关于z为偶函数时，即被积函数关于z 为奇函数时,则当当其中 是 位于 平面上侧的部分.积分区域关于其它坐标平面：对称，且被积函数分别是 的奇、偶函数，也有上述类似的结论 一、利用空间区域的对称性或被积函数的奇偶性计算三重积分 第十六页，讲稿共十九页哦（2）若空间区域具有轮换对称性，即则也就是三字母轮换积分区域不改变，第十七页，讲稿共十九页哦和球面所围成,计算提示提示:利用对称性用球坐标 第十八页，讲稿共十九页哦感感谢谢大大家家观观看看4/1/2023第十九页，讲稿共十九页哦