微积分不定积分教案.ppt

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1、关于微积分不定积分教案1现在学习的是第1页，共93页2例例第一节第一节 不定积分的概念不定积分的概念一、原函数与不定积分的概念一、原函数与不定积分的概念定义定义不定积分又称不定积分又称反导数反导数,它是求导运算的逆运算它是求导运算的逆运算.本章所讲的内容就是导数的逆运算。本章所讲的内容就是导数的逆运算。现在学习的是第2页，共93页3原函数存在定理：原函数存在定理：简言之：连续函数一定有原函数简言之：连续函数一定有原函数.问题：问题：(1)原函数是否存在？原函数是否存在？(2)是否唯一？是否唯一？因此初等函数在其定义域内都有原函数因此初等函数在其定义域内都有原函数。(但原函数不一定是初等函数但原

2、函数不一定是初等函数)现在学习的是第3页，共93页4唯一性？唯一性？现在学习的是第4页，共93页5任任意意常常数数积积分分号号被被积积函函数数被被积积表表达达式式积积分分变变量量记为记为定义定义 现在学习的是第5页，共93页6例例1 1 求求解解解解例例2 2 求求现在学习的是第6页，共93页7由不定积分的定义，可知由不定积分的定义，可知结论结论：微分运算与求不定积分的运算是微分运算与求不定积分的运算是互逆互逆互逆互逆的的.或或或或现在学习的是第7页，共93页8实例实例启示启示能否根据求导公式得出积分公式？能否根据求导公式得出积分公式？二、二、基本积分表基本积分表现在学习的是第8页，共93页9

3、基本积分表(k是常数是常数);说明：说明：现在学习的是第9页，共93页10基本积分表(k是常数是常数);现在学习的是第10页，共93页11基本积分表现在学习的是第11页，共93页12例例3 3 求积分求积分解解根据积分公式（根据积分公式（2）现在学习的是第12页，共93页13例例4 4 设曲线通过点设曲线通过点(1,3),且其上任一点处的切线斜且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程.解解设曲线方程为设曲线方程为根据题意知根据题意知由曲线通过点由曲线通过点(1,3)所求曲线方程为所求曲线方程为-2-1O 12x-2-112 yyx2+2yx

4、2(1,3)现在学习的是第13页，共93页14证证等式成立等式成立.（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）第二节第二节 不定积分的运算法则不定积分的运算法则现在学习的是第14页，共93页15例例1 1例例2 2例例3 3直直接接积积分分法法现在学习的是第15页，共93页16例例4 4例例5 5现在学习的是第16页，共93页17例例8 8例例9 9例例1010现在学习的是第17页，共93页18问题问题第三节第三节 换元积分法换元积分法一、第一类换元法一、第一类换元法(凑微分法凑微分法)凑微分现在学习的是第18页，共93页19 凑微分法的关键是凑微分法的关

5、键是“凑凑”,凑的目的是把被积函数凑的目的是把被积函数的中间变量变得与积分变量相同的中间变量变得与积分变量相同.现在学习的是第19页，共93页20例例1例例2 运用运用 d(x+k)=dx现在学习的是第20页，共93页21例例3 运用运用 d(ax+b)=a dx现在学习的是第21页，共93页22例例4 运用运用 d(x2)=2x dx现在学习的是第22页，共93页23(1)(1)根据被积函数复合函数的特点和基本积分公式的形式根据被积函数复合函数的特点和基本积分公式的形式,依据恒等变形的原则依据恒等变形的原则,把把 d dx x凑成凑成d d(x x).).如如(2)(2)把被积函数中的某一因

6、子与把被积函数中的某一因子与d dx x凑成一个新的微分凑成一个新的微分d d(x x).).如如“凑微分凑微分”的方法有的方法有:方法方法1 1较简单较简单,而方法而方法2 2则需一定的技巧则需一定的技巧,请同学们务必记请同学们务必记牢以下常见的凑微分公式！牢以下常见的凑微分公式！现在学习的是第23页，共93页24常用凑微分公式：常用凑微分公式：等等等等.现在学习的是第24页，共93页25例例5 5例例6 6例例7 7现在学习的是第25页，共93页26例例7 7例例8 8现在学习的是第26页，共93页27例例9 9例例1010现在学习的是第27页，共93页28练练习习一一现在学习的是第28页

7、，共93页296.6.7.7.8.8.现在学习的是第29页，共93页30例例1111另：另：例例1212类似地，类似地，现在学习的是第30页，共93页31例例1313练练习习说明说明当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇次项当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇次项去凑微分去凑微分.现在学习的是第31页，共93页32例例1414例例1515或解或解现在学习的是第32页，共93页33例例1616例例1717例例1818现在学习的是第33页，共93页34例例1919解法解法1解法解法2解法解法3现在学习的是第34页，共93页35例例2020现在学习的是第35页，共93页36解解例例2121 设设 求求 .

8、令令现在学习的是第36页，共93页37第一类换元积分法在积分中是经常使用的方第一类换元积分法在积分中是经常使用的方法，不过如何适当地选取代换却没有一般的法，不过如何适当地选取代换却没有一般的规律可循，只能规律可循，只能具体问题具体分析具体问题具体分析。要掌握。要掌握好这种方法，需要好这种方法，需要熟记熟记一些函数的微分公式，一些函数的微分公式，并善于根据这些微分公式对被积表达式做并善于根据这些微分公式对被积表达式做适适当的微分变形当的微分变形，拼凑出合适的微分因子。，拼凑出合适的微分因子。现在学习的是第37页，共93页38二、第二类换元法二、第二类换元法回代回代,得得 问题问题解决解决方法方法

9、“根式替换根式替换”现在学习的是第38页，共93页39称为称为第二换元法第二换元法回 代现在学习的是第39页，共93页40例例1 1解解“根式替换根式替换”现在学习的是第40页，共93页41例例2 2解解现在学习的是第41页，共93页42指数替换指数替换现在学习的是第42页，共93页43例例5 5 求求解解 令令注意：根式替换与指数替换可以结合使用注意：根式替换与指数替换可以结合使用现在学习的是第43页，共93页44例例4 4解解三角替换三角替换正弦替换正弦替换现在学习的是第44页，共93页45例例5 5解解正切替换正切替换现在学习的是第45页，共93页46例例6 6解解正割替换正割替换现在学

10、习的是第46页，共93页47说明说明：以上几例所使用的均为以上几例所使用的均为三角代换三角代换,目的是化掉根式目的是化掉根式.一般规律如下：当被积函数中含有一般规律如下：当被积函数中含有可令可令可令可令可令可令 但是否一定采用三角代换并不是绝对的但是否一定采用三角代换并不是绝对的,有时可灵活有时可灵活采用别的方法采用别的方法.注意：所作代换的单调性。对三角代换而言，注意：所作代换的单调性。对三角代换而言，掌握着取单调区间即可。掌握着取单调区间即可。现在学习的是第47页，共93页48例例7 7解解或解：或解：倒倒数数代代换换现在学习的是第48页，共93页49例例8 8解解或解：或解：（练习）（练

11、习）现在学习的是第49页，共93页50若被积函数包含根式若被积函数包含根式可考虑如下替换：可考虑如下替换：现在学习的是第50页，共93页51现在学习的是第51页，共93页52基本积分表现在学习的是第52页，共93页53现在学习的是第53页，共93页54例例9 9例例1010现在学习的是第54页，共93页55例例1111例例1212现在学习的是第55页，共93页56凑微分分部积分公式问题问题解决思路解决思路利用两个函数乘积的求导法则利用两个函数乘积的求导法则.第四节第四节 分部积分法分部积分法分部积分的过程：分部积分的过程：现在学习的是第56页，共93页57 在两个被积函数中选择一个先积出来，使

12、得原在两个被积函数中选择一个先积出来，使得原来的较难积出的不定积分转移为另一个比较容易积来的较难积出的不定积分转移为另一个比较容易积出的不定积分，这种新的积分技巧，被称为出的不定积分，这种新的积分技巧，被称为 “分分部积分法部积分法”。分部积分法中先积函数（分部积分法中先积函数（v(x)）的选择，一般）的选择，一般可以遵照可以遵照 “指三幂对反指三幂对反”的先积原则，也就是排的先积原则，也就是排在前面的函数，作为在前面的函数，作为v（与与dx凑微分后成凑微分后成dv）为好。为好。现在学习的是第57页，共93页58例例1 1注注积分更难进行积分更难进行.例例2 2现在学习的是第58页，共93页5

13、9例例3 3例例4 4分部积分法可多次使用分部积分法可多次使用.现在学习的是第59页，共93页60练习练习总结总结 若被积函数是幂函数和正若被积函数是幂函数和正(余余)弦函数弦函数或幂函数和指数函数的乘积或幂函数和指数函数的乘积,就考虑设幂函就考虑设幂函数为数为 ,使其降幂一次使其降幂一次(假定幂指数是正整数假定幂指数是正整数)现在学习的是第60页，共93页61例例6 6现在学习的是第61页，共93页62例例7 7例例8 8现在学习的是第62页，共93页63例例9 9例例1010练习练习现在学习的是第63页，共93页64例例1111现在学习的是第64页，共93页65所以所以例例1212现在学习

14、的是第65页，共93页66例例1313解解现在学习的是第66页，共93页67例例1313分部积分法与换元法结合分部积分法与换元法结合:解解现在学习的是第67页，共93页68例例1414现在学习的是第68页，共93页69解解例例1 15 5由题意由题意,现在学习的是第69页，共93页70说明说明:分部积分题目的类型:1)直接分部化简积分;2)分部产生循环式,由此解出积分式;(注意:两次分部选择的 u,v 函数类型不变,解出积分后加 C)现在学习的是第70页，共93页71思考与练习思考与练习1.下述运算错在哪里?应如何改正?得 0=1答答:不定积分是原函数族,相减不应为 0.求此积分的正确作法是用

15、换元法.现在学习的是第71页，共93页72第五节第五节 几种特殊类型函数的积分几种特殊类型函数的积分一、有理函数的积分一、有理函数的积分现在学习的是第72页，共93页73假定分子与分母之间没有公因式假定分子与分母之间没有公因式有理函数是有理函数是真分式真分式；有理函数是有理函数是假分式假分式；利用多项式除法利用多项式除法,假分式可以化成一个多项假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和式和一个真分式之和.例例要点要点将有理函数化为将有理函数化为部分分式之和部分分式之和.以下只考虑真分式的积分以下只考虑真分式的积分.现在学习的是第73页，共93页74將分母作因式分解，按照多项式的性质得知，得到的因

16、式只可能出現下面四种可能 ：现在学习的是第74页，共93页75（1）分母分母中若有因式中若有因式 ，则分解后有，则分解后有有理函数化为部分分式之和的一般规律：有理函数化为部分分式之和的一般规律：特殊地：特殊地：分解后为分解后为现在学习的是第75页，共93页76（2）分母分母中若有因式中若有因式 ，其中，其中则分解后有则分解后有特殊地：特殊地：分解后为分解后为现在学习的是第76页，共93页77真分式化为部分分式之和的真分式化为部分分式之和的待定系数法待定系数法例例1 1现在学习的是第77页，共93页78代入特殊值来确定系数代入特殊值来确定系数例例2 2现在学习的是第78页，共93页79例例3 3

17、现在学习的是第79页，共93页80真分式可分为以下四种类型的分式之和：真分式可分为以下四种类型的分式之和：这四类分式均可积分这四类分式均可积分,且原函数为初等函数且原函数为初等函数.因此因此,有理函有理函数的原函数都是初等函数数的原函数都是初等函数.现在学习的是第80页，共93页81四种典型部分分式的积分四种典型部分分式的积分:变分子为 再分项积分 现在学习的是第81页，共93页82例例4 4例例5 5现在学习的是第82页，共93页83例例6 6例例7 7现在学习的是第83页，共93页84例例8.求解解:原式思考思考:如何求提示提示:变形方法同例8,并利用 递推公式。现在学习的是第84页，共9

18、3页85注意注意 以上介绍的虽是有理函数积分的普遍方法，但对以上介绍的虽是有理函数积分的普遍方法，但对一个具体问题而言，未必是最简捷的方法，应首先考虑用其一个具体问题而言，未必是最简捷的方法，应首先考虑用其它的简便方法。它的简便方法。如如使用凑微分法比较简单使用凑微分法比较简单基本思路基本思路尽量使分母简单尽量使分母简单降幂、拆项、同乘等降幂、拆项、同乘等化部分分式，写成分项积分化部分分式，写成分项积分可考虑引入变量代换可考虑引入变量代换现在学习的是第85页，共93页86例例8 8灵活运用其它方法：灵活运用其它方法：例例9 9现在学习的是第86页，共93页87二、三角函数有理式的积分二、三角函

19、数有理式的积分万能代换公式：万能代换公式：化为有理函数的积分化为有理函数的积分.现在学习的是第87页，共93页88例例1010 求积分求积分解解现在学习的是第88页，共93页89或解或解所以所以现在学习的是第89页，共93页90万能代换不一定是最佳方法万能代换不一定是最佳方法,三角有理式积分的计三角有理式积分的计算应先考虑其它手段算应先考虑其它手段,不得已才用万能代换不得已才用万能代换.例例1111例例1212现在学习的是第90页，共93页91例例1313例例1414现在学习的是第91页，共93页92 对初等函数来说对初等函数来说,在其定义域内原函数一定存在在其定义域内原函数一定存在,但原函数不一定是初等函数但原函数不一定是初等函数,如如 等等均不是初等函数等等均不是初等函数.现在学习的是第92页，共93页感感谢谢大大家家观观看看现在学习的是第93页，共93页