误差理论的基本知识课件.ppt

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1、误差理论的基本知识第1页，此课件共35页哦误差误差:（Error)（真误差）（真误差）：观测值观测值L与真值与真值X的差值。的差值。=L =L X X真值真值X X：反映一个量真正大小的绝对准确的数值。：反映一个量真正大小的绝对准确的数值。1 1、误差的概念误差的概念 概述概述第2页，此课件共35页哦观测误差产生的原因观测误差产生的原因人为因素人为因素-观测者感觉器官的鉴别力的局限观测者感觉器官的鉴别力的局限仪器因素仪器因素-测量仪器与测量方法给观测结果带来误差测量仪器与测量方法给观测结果带来误差客观环境客观环境-客观环境给观测结果带来的影响客观环境给观测结果带来的影响第3页，此课件共35页哦

2、误差的分类误差的分类粗差粗差(Appreciable Arror)(Appreciable Arror)：由测量人员粗心大意或仪器故障所造由测量人员粗心大意或仪器故障所造成的差错，称为粗差。成的差错，称为粗差。系统误差系统误差(Regular Error)(Regular Error)：在相同的观测条件下，对某一量进行在相同的观测条件下，对某一量进行多次的观测，如果出现的误差在符号和数值上都相同，或按一定多次的观测，如果出现的误差在符号和数值上都相同，或按一定的规律变化，这种误差称为的规律变化，这种误差称为“系统误差系统误差”。偶偶然然误误差差(Irregular(Irregular Erro

3、r)Error)：在在相相同同的的观观测测条条件件下下，对对某某一一量量进进行行多多次次的的观观测测，如如果果误误差差出出现现的的符符号号和和数数值值大大小小都都不不相相同同，从从表表面面上上看看没没有有任何规律性，这种误差称为任何规律性，这种误差称为“偶然误差偶然误差”。第4页，此课件共35页哦偶然误差的统计特性偶然误差的统计特性 在在相相同同的的观观测测条条件件下下，独独立立地地观观测测了了817个个三三角角形形的的全全部部内内角角。由由于于观观测测结结果果中中存存在在着着偶偶然然误误差差，三三角角形形的的三三个个内内角角观观测测值值之之和和不不等等于于三三角角形形内内角角和和的的理理论论

4、值值（真真值值）。设设三三角角形形内内角角和和的的真真值值为为X，观观测测值值为为Li，则则三三角角形形内内角角和和的的真真误误差差（或或简简称称误误差差）为为 i=Li-X（i一一1，2，n）对于每个三角形来说，对于每个三角形来说，i是每个三角形内角和的真误差，是每个三角形内角和的真误差，Li是每是每个三角形三个内均观测值之和，个三角形三个内均观测值之和，X为为180。现将。现将817个真误差按每个真误差按每0.5为一区间，以误差值的大小及其正负号，分别统计出在各误差区为一区间，以误差值的大小及其正负号，分别统计出在各误差区间内的个数间内的个数v，及相对个数，及相对个数v817。第5页，此课

5、件共35页哦i=Li-X(i=1,2,n)第6页，此课件共35页哦偶然误差的概率分布偶然误差的概率分布偶然误差分布曲线偶然误差分布曲线2:方差:标准差 Standard Error第7页，此课件共35页哦i=Li-X(i=1,2,n)偶然误差的特性偶然误差的特性有界性：有界性：聚中性：聚中性：对称性：对称性：抵偿性：抵偿性：第8页，此课件共35页哦对偶然误差分布曲线形状的影响对偶然误差分布曲线形状的影响f()O0.6830.683愈小，曲线顶点愈愈小，曲线顶点愈高，误差分布比较密高，误差分布比较密集；反之较离散。集；反之较离散。第9页，此课件共35页哦 当当观观测测次次数数愈愈来来愈愈多多，误

6、误差差出出现现在在各各个个区区间间的的相相对对个个数数的的变变动动幅幅度度就就愈愈来来愈愈小小。当当n具具有有足足够够大大时时，误误差差在在各各个个区区间间出出现现的的相相对对个个数数就就趋趋于于稳稳定定。当当观观测测次次数数足足够够多多时时，如如果果把把误误差差的的区区间间间间隔隔无无限限缩缩小小，则则图图中中各各长长方方形形顶顶边边所所形形成成的的折折线线将将变变成成一一条条光光滑滑曲曲线线，称称为为误误差差分分布曲线。其方程（称概率密度）为布曲线。其方程（称概率密度）为 式中参数式中参数 是观测误差的标准差（方根差或是观测误差的标准差（方根差或均方根差均方根差）第10页，此课件共35页哦

7、评定精度的指标评定精度的指标在在一一定定的的观观测测条条件件下下进进行行一一组组观观测测，它它对对应应着着一一定定的的误误差差分分布布。如如果果该该组组误误差差值值总总的的说说来来偏偏小小些些，即即误误差差分分布布比比较较密密集集，则则表表示示该该组组观观测测质质量量好好些些，这这时时标标准准差差的的值值也也较较小小；反反之之，如如果果该该组组误误差差值值偏偏大大，即即误误差差分分布布比比较较分分散散，则则表表示示该该组组观观测测质质量量差差些些，这这时时标标准准差差的的值值也也就就较较大大。因因此此，一一组组观观测测误误差差所所对对应应的的标标准准差差值的大小，反映了该组观测结果的精度。值的

8、大小，反映了该组观测结果的精度。所所以以在在评评定定观观测测精精度度时时，可可用用该该组组误误差差所所对对应应的的标标准准差差的的值。值。第11页，此课件共35页哦1、中误差、中误差在在测测量量工工作作中中，观观测测个个数数总总是是有有限限的的，为为了了评评定定精精度度，一般采用下述公式：一般采用下述公式：第12页，此课件共35页哦例：设对某个三角形用两种不同的精度分别对它进行了10次观测，试求这两组观测值的中误差。第13页，此课件共35页哦2 2、平均误差、平均误差 在在测测量量工工作作中中，对对于于评评定定一一组组同同精精度度观观测测值值的的精精度度来来说说，为为了了计计算上的方便或别的原

9、因，在某些精度评定时也采用下述精度指标：算上的方便或别的原因，在某些精度评定时也采用下述精度指标：称为平均误差，它是误差绝对值的平均值。称为平均误差，它是误差绝对值的平均值。第14页，此课件共35页哦3 3、或然误差、或然误差 在某些国家，也有将一组误差按其绝对值的大小顺序排在某些国家，也有将一组误差按其绝对值的大小顺序排列，取居中的一个误差值作为精度指标，并称为或然误差，列，取居中的一个误差值作为精度指标，并称为或然误差，以以表示，在误差理论中可以证明，对于同一组观测误差来表示，在误差理论中可以证明，对于同一组观测误差来说，当说，当n时，求得的中误差时，求得的中误差m、平均误差、平均误差和或

10、然误差和或然误差之间都有一定的数量关系。之间都有一定的数量关系。第15页，此课件共35页哦4 4、相对中误差、相对中误差对于评定精度来说，有时利用中误差还不能反映测量的精度。为此，利用中误差与观测值的比值，即miLi来评定精度，通常称此比值为相对中误差。相对中误差都要求写成分子为1的分式，即1N。上例为即前者的精度比后者高。第16页，此课件共35页哦在在实实际际工工作作中中有有许许多多未未知知量量不不能能直直接接观观测测而而求求其其值值，需需要要由由观观测测值值间间接接计计算算出出来来。例例如如某某未未知知点点B B的的高高程程H HB B，是是由由起起始始点点A A的的高高程程H HA A加

11、加上上从从A A点点到到B B点点间间进进行行了了若若干干站站水水准准测测量量而而得得来来的的观观测测高高差差h h1 1hhn n求求和和得得出出的的。这这时时未未知知点点B B的的高高程程H H。是是各各独独立立观观测测值值的的函函数数。那那么么如如何何根根据据观观测测值值的的中中误误差差去去求求观观测测值值函函数数的的中中误误差差呢呢？阐阐述述观观测测值值中中误误差差与与观观测测值值函函数数中中误误差差之之间间关关系系的的定定律律，称称为误差传播定律。为误差传播定律。10-4 10-4 误差传播定律误差传播定律 第17页，此课件共35页哦 一、倍数的函数一、倍数的函数设有函数设有函数：Z

12、为为观观测测值值的的函函数数，K为为常常数数，X为为观观测测值值，已已知知其其中中误误差差为为mx，求，求Z的中误差的中误差mZ。第18页，此课件共35页哦即即，观观测测值值与与常常数数乘乘积积的的中中误误差差，等等于于观观测测值值中中误误差差乘乘常数。常数。第19页，此课件共35页哦例例：在在1：500比比例例尺尺地地形形图图上上，量量得得A、B两两点点间间的的距距离离SAB=23.4mm，其其中中误误差差msab=土土0.2mm，求求A、B间的实地距离间的实地距离SAB及其中误差及其中误差msAB。解：解：SAB=500*Sab=500X23.4=11700mm=11.7m 得得 msAB

13、500*mSab500*（士（士0.2）=100mm 最后答案为最后答案为SAB=11.7m0.1m第20页，此课件共35页哦设有函数：设有函数：Z为为x、y的的和和或或差差的的函函数数，x、y为为独独立立观观测测值值，已已知知其其中中误误差差为为mx、my，求，求Z的中误差的中误差mZ。设设x、y和和z的真误差分别为的真误差分别为x、y和和z则则 二、和或差的函数二、和或差的函数第21页，此课件共35页哦由由于于x、y均均为为偶偶然然误误差差，其其符符号号为为正正或或负负的的机机会会相相同同，因因为为x、y为为独独立立误误差差，它它们们出出现现的的正正、负负号号互互不不相相关关，所所以以其其

14、乘乘积积xy也也具具有有正正负负机机会会相相同同的的性性质质，在在求求xy时时其其正正值值与与负负值值有有互互相相抵抵消消的的可可能能；当当n愈愈大大时时，上上式式中中最最后后一一项项xy/n将将趋趋近近于于零零，即即求和，并除以求和，并除以n，得，得 第22页，此课件共35页哦将将满满足足上上式式的的误误差差x、y称称为为互互相相独独立立的的误误差差，简简称称独独立立误误差差，相相应应的的观观测测值值称称为为独独立立观观测测值值。对对于于独独立立观观测测值值来来说说，即即使使n是是有有限限量量，由由于于 式式残残存存的的值值不不大大，一一般般就就忽忽视视它它的的影影响响。根根据据中中误误差差

15、定定义义，得得即，两两观观测测值值代代数数和和的的中中误误差差平平方方，等等于于两两观观测测值值中误差的平方之和。中误差的平方之和。第23页，此课件共35页哦当z是一组观测值X1、X2Xn代数和（差）的函数时，即可以得出函数可以得出函数Z的中误差平方为的中误差平方为 式中式中m mxixi是观测值是观测值x xi i的中误差。的中误差。n n个观测值代数和（差）的中误差平方，等于个观测值代数和（差）的中误差平方，等于n n个观测值中个观测值中误差平方之和误差平方之和。第24页，此课件共35页哦例例：设设用用长长为为L的的卷卷尺尺量量距距，共共丈丈量量了了n个个尺尺段段，已已知知每每尺尺段段量距

16、的中误差都为量距的中误差都为m，求全长，求全长S的中误差的中误差ms。解：因为全长S=LLLl（式中共有n个L）。而L的中误差为m。量距的中误差与丈量段数量距的中误差与丈量段数n的平方根成正比的平方根成正比。第25页，此课件共35页哦例例：以以30m30m长长的的钢钢尺尺丈丈量量 90m90m的的距距离离，当当每每尺尺段段量距的中误差为量距的中误差为5mm5mm时，全长的中误差为时，全长的中误差为第26页，此课件共35页哦 当当使使用用量量距距的的钢钢尺尺长长度度相相等等，每每尺尺段段的的量量距距中中误误差差都都为为mL，则则每每公公里里长长度度的的量量距距中中误误差差mKm也也是是相相等等的

17、的。当当对对长长度度为为S公公里里的的距距离离丈丈量量时时，全全长长的的真真误误差差将将是是S个个一一公公里里丈丈量量真真误误差的代数和，于是差的代数和，于是S公里的中误差为公里的中误差为式中，式中，S的单位是公里。的单位是公里。即即：在在距距离离丈丈量量中中，距距离离S的的量量距距中中误误差差与与长长度度S的的平平方方根根成成正正比。比。第27页，此课件共35页哦例例：为为了了求求得得A、B两两水水准准点点间间的的高高差差，今今自自A点点开开始始进进行行水水准准测测量量，经经n站站后后测测完完。已已知知每每站站高高差差的的中中误误差差均均为为m站站，求求A、B两点间高差的中误差。两点间高差的

18、中误差。解解：因因为为A、B两两点点间间高高差差hAB等等于于各各站站的的观观测测高高差差hi（i=l，2n）之和，）之和，即即hAB=HB-HA=h1+h2+.+hn 即，即，水准测量高差的中误差，与测站数水准测量高差的中误差，与测站数n的平方根成正比。的平方根成正比。第28页，此课件共35页哦 当当水水准准路路线线通通过过平平坦坦地地区区时时，每每公公里里的的水水准准测测量量高高差差的的中中误误差差可可以以认认为为相相同同，设设为为mkm。当当A、B两两点点间间的的水水准准路路线线为为S公里时，公里时，A、B点间高差的中误差为点间高差的中误差为即，即，水准测量高差的中误差与距离水准测量高差

19、的中误差与距离S的平方根成正比。的平方根成正比。例如，已知用某种仪器，按某种操作方法进行水准测量时，例如，已知用某种仪器，按某种操作方法进行水准测量时，每公里高差的中误差为每公里高差的中误差为20mm，则按这种水准测量进行了，则按这种水准测量进行了25km后，测得高差的中误差为后，测得高差的中误差为 或第29页，此课件共35页哦设有线性函数：设有线性函数：则有则有例例 设有线性函救设有线性函救观测量的中误差分别为，观测量的中误差分别为，求求Z的中误差的中误差 三、线性函救第30页，此课件共35页哦四、一般函数当当xi具有真误差具有真误差时，函数时，函数Z相应地产生真误差相应地产生真误差z。这些

20、真误。这些真误差都是一个小值，由数学分析可知，变量的误差与函数的误差差都是一个小值，由数学分析可知，变量的误差与函数的误差之间的关系，可以近似地用函数的全微分来表达。之间的关系，可以近似地用函数的全微分来表达。第31页，此课件共35页哦式式中中 （i=l，2n）是是函函数数对对各各个个变变量量所所取取的的偏偏导导数数，以以观观测测值值代代人人所所算算出出的的数数值值，它它们们是是常常数数，因因此此上式是线性函数可为：上式是线性函数可为：第32页，此课件共35页哦 例例：设设有有某某函函数数z=Ssin式式中中S=150.11m，其其中中误误差差ms=士士005m；=1194500，其其中中误误

21、差差m=20.6；求求z的的中中误误差差mz。解：因为解：因为z=Ssin，所以，所以z是是S及及a的一般函数。的一般函数。第33页，此课件共35页哦求观测值函数的精度时，可归纳为如下三步：求观测值函数的精度时，可归纳为如下三步：1 1）按问题的要求写出函数式：）按问题的要求写出函数式：2 2）对对函函数数式式全全微微分分，得得出出函函数数的的真真误误差差与与观观测测值值真真误误差差之之间间的的关系式：关系式：式中，式中，是用观测值代入求得的值。是用观测值代入求得的值。3 3）写出函数中误差与观测值中误差之间的关系式：）写出函数中误差与观测值中误差之间的关系式：第34页，此课件共35页哦例例如如，设设有有函函数数z=xy，而而y=3x，此此时时，。因为。因为x与与y不是独立观测值，因为不论不是独立观测值，因为不论n值多少，恒有值多少，恒有因此，应把因此，应把Z化成独立观测值的函数，即化成独立观测值的函数，即z=x+3x=4x上上式式中中X与与3X两两项项是是由由同同一一个个观观测测值值X组组成成的的，必必须须先先并并项项为为z=4x 而后求其中误差，即而后求其中误差，即mz=4mx第35页，此课件共35页哦