量子力学第二章课件.ppt

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1、量子力学课件第二章第1页，此课件共101页哦第二章 波函数和 Schrdinger 方程l1 波函数的统计解释波函数的统计解释 l2 态叠加原理态叠加原理 l3 力学量的平均值和算符的引进力学量的平均值和算符的引进 l4 Schrdinger 方程方程 l5 粒子流密度和粒子数守恒定律粒子流密度和粒子数守恒定律 l6 定态定态Schrdinger方程方程 123456第2页，此课件共101页哦1 波函数的统计解释（一）波函数（一）波函数 （二）波粒二象性的再分析（二）波粒二象性的再分析（三）波函数的统计解释（三）波函数的统计解释（四）波函数的性质（四）波函数的性质（五）（五）平面波归一化平面波

2、归一化返回返回第3页，此课件共101页哦 3 3个个问题？如果粒子处于如果粒子处于随时间和位置变化的力场随时间和位置变化的力场中运动，它的动量和能量中运动，它的动量和能量不再是常量（或不同时为常量），粒子的状态就不能用平面波描写，不再是常量（或不同时为常量），粒子的状态就不能用平面波描写，而必须用较复杂的波描写，一般记为：而必须用较复杂的波描写，一般记为：描写粒子状态的描写粒子状态的波函数波函数，它通常是一个它通常是一个复函数复函数，描写体系的量子状态描写体系的量子状态（量子态）（量子态）描写自由粒子描写自由粒子的平的平 面面 波波称为德布罗意波。此式称为自由粒子的波函数。称为德布罗意波。此式

3、称为自由粒子的波函数。(2)(2)是怎样描述粒子的状态呢？是怎样描述粒子的状态呢？(1)(1)如何体现波粒二象性的？如何体现波粒二象性的？(3)(3)描写的是什么样的波呢？描写的是什么样的波呢？（一）波函数第4页，此课件共101页哦1 1 两种错误的看法两种错误的看法(1).(1).波由粒子组成波由粒子组成如如水波，声波水波，声波，由分子密度疏密变化而形成由分子密度疏密变化而形成的一种分布的一种分布。O(二）波粒二象性的再分析二）波粒二象性的再分析这种看法是与实验矛盾的，它这种看法是与实验矛盾的，它不能解释长时间不能解释长时间单个电子衍射实验单个电子衍射实验。第5页，此课件共101页哦电子双缝

4、实验电子双缝实验-一个电子多次重复性行为一个电子多次重复性行为第6页，此课件共101页哦电子一个一个地通过小孔，但只要时间电子一个一个地通过小孔，但只要时间足够长，底片上照样呈现出衍射花纹。这说明足够长，底片上照样呈现出衍射花纹。这说明电子的波动性并不是许多电子电子的波动性并不是许多电子在空间聚集在一起时才有的现象，在空间聚集在一起时才有的现象，单个电子就单个电子就具有波动性具有波动性。波由粒子组成的看法波由粒子组成的看法夸大了粒子性的一面，夸大了粒子性的一面，而抹杀了粒子的波动性的一面，具有片面性。而抹杀了粒子的波动性的一面，具有片面性。O事实上，正是由于单个电子具有波动性，事实上，正是由于

5、单个电子具有波动性，才能理解氢原子才能理解氢原子（只含一个电子！）中电子运（只含一个电子！）中电子运动的稳定性以及能量量子化这样一些量子现动的稳定性以及能量量子化这样一些量子现象。象。第7页，此课件共101页哦(2)粒子由波组成l电子是波包电子是波包。把电子波看成是电子的某种实际结构，。把电子波看成是电子的某种实际结构，是三维空间中连续分布的某种物质波包，因此呈现出是三维空间中连续分布的某种物质波包，因此呈现出干涉和衍射等波动现象，并且认为波包的大小即电子干涉和衍射等波动现象，并且认为波包的大小即电子的大小，波包的群速度即电子的运动速度。的大小，波包的群速度即电子的运动速度。l什么是波包？什么

6、是波包？波包是各种波数（波长）平面波的波包是各种波数（波长）平面波的迭加，强度只在空间有限区域中不为零。迭加，强度只在空间有限区域中不为零。第8页，此课件共101页哦对于非相对论情况的自由粒子对于非相对论情况的自由粒子波包的群速度：波包的群速度：自由粒子的物质波包发生扩散自由粒子的物质波包发生扩散随时间的推移，粒子将越来越随时间的推移，粒子将越来越“胖胖”第9页，此课件共101页哦 实验上观测到的电子，总是处于一个小区域内。例实验上观测到的电子，总是处于一个小区域内。例如在一个原子内，其广延不会超过原子大小如在一个原子内，其广延不会超过原子大小1 电子在晶体表面的衍射后，在空间不同方向观电子在

7、晶体表面的衍射后，在空间不同方向观测到测到 的总是一个一个的电子，各具有确定的质的总是一个一个的电子，各具有确定的质量和电荷，而不是仅为量和电荷，而不是仅为“电子的一部分电子的一部分”与实验事实相矛盾！与实验事实相矛盾！第10页，此课件共101页哦“电子既不是粒子也不是波电子既不是粒子也不是波”，既不是，既不是经典的粒子也不是经典的波，经典的粒子也不是经典的波，我们也可以说，我们也可以说，“电子既是粒子也是波，电子既是粒子也是波，它是粒子和波动二重性矛盾的统一它是粒子和波动二重性矛盾的统一。”这个波不再是经典概念的波，粒子也不这个波不再是经典概念的波，粒子也不是经典概念中的粒子。是经典概念中的

8、粒子。电子究竟是什么东西呢？是粒子？还电子究竟是什么东西呢？是粒子？还是波？是波？核心问题核心问题：经典粒子和微观粒子的差别第11页，此课件共101页哦经典概念中粒子意味着：经典概念中粒子意味着：1.有一定质量、电荷等有一定质量、电荷等“颗粒性颗粒性”或或“原子性原子性”的属性的属性;2有确定的运动轨道，可以准确预言每一时刻有确定的运动轨道，可以准确预言每一时刻的位置和速度（动量），的位置和速度（动量），决定性的描述决定性的描述。经典概念中波意味着：经典概念中波意味着：1.实在的物理量的空间分布作周期性的变化实在的物理量的空间分布作周期性的变化;2.干涉、衍射现象，其本质在于干涉、衍射现象，其

9、本质在于相干叠加性相干叠加性第12页，此课件共101页哦少女？少女？老妇？老妇？两种图象不会两种图象不会同时出现在你同时出现在你的视觉中。的视觉中。第13页，此课件共101页哦1）.入射电子流强度小，开始显示电子的微粒入射电子流强度小，开始显示电子的微粒 性，长时间亦显示衍射图样性，长时间亦显示衍射图样;电子源电子源感感光光屏屏QQOPP我们再看一下电子的圆孔衍射实验我们再看一下电子的圆孔衍射实验2）.入射电子流强度大，很快显示衍射图样入射电子流强度大，很快显示衍射图样（三）波函数的统计解释（三）波函数的统计解释M.Born 1926年物质波是描述粒子在空间的概率分布的概率波物质波是描述粒子在

10、空间的概率分布的概率波第14页，此课件共101页哦电子双缝实验电子双缝实验1961年琼森（年琼森（Claus Jnsson）将一束电子加速）将一束电子加速到到50Kev，让其通过一缝宽为，让其通过一缝宽为a=0.5 10-6m，间，间隔为隔为d=2.0 10-6m的双缝的双缝,当电子撞击荧光屏时当电子撞击荧光屏时,发现了类似于双缝衍射的衍射花样发现了类似于双缝衍射的衍射花样.大量电子一次性行为大量电子一次性行为第15页，此课件共101页哦电子双缝实验电子双缝实验-一个电子多次重复性行为一个电子多次重复性行为第16页，此课件共101页哦7个电子在观察屏个电子在观察屏上的图像上的图像100个电子在

11、屏个电子在屏上的图像上的图像屏上出现的电屏上出现的电子说明电子的子说明电子的粒子性。粒子性。单个电子的去向是单个电子的去向是概率性概率性的，但随着电子数目的增多的，但随着电子数目的增多显示出显示出统计规律性统计规律性。第17页，此课件共101页哦l结论：结论：衍射实验所揭示的电子的波动性是：衍射实验所揭示的电子的波动性是：许多电子在同一个实验中的许多电子在同一个实验中的统计结果统计结果，或者是一个电子在，或者是一个电子在许多次相同实验中的许多次相同实验中的统计结果统计结果。l波函数波函数正是为了描述粒子的这种行为而引进的，在此基正是为了描述粒子的这种行为而引进的，在此基础上，础上，Born 提

12、出了波函数意义的统计解释。提出了波函数意义的统计解释。该点附近感光点的数目，该点附近感光点的数目，该点附近出现的电子数目，该点附近出现的电子数目，电子出现在电子出现在 r 点附近的点附近的概率概率。在电子衍射实验中，在电子衍射实验中，照相底片上照相底片上r r 点点附近衍射花样的强度附近衍射花样的强度 第18页，此课件共101页哦物质波的强物质波的强度大度大光强度大光强度大光波光波振幅平方振幅平方大大光子在该处出现光子在该处出现 的的概率概率大大（微粒观点）（微粒观点）波函数波函数振幅平方振幅平方大大单个粒子在该处出现的单个粒子在该处出现的概率概率大大（波动观点）（波动观点）（微粒观点）（微粒

13、观点）类比类比光光的干涉实验的干涉实验（波动观点）（波动观点）光子在某处出现的光子在某处出现的概率概率和该处光和该处光振幅振幅的的平方平方成正比成正比粒子在某处出现的粒子在某处出现的概率概率和该处波函数和该处波函数振幅振幅的的平方平方成正比成正比第19页，此课件共101页哦据此，描写粒子的物质波是概率波，反映微观客据此，描写粒子的物质波是概率波，反映微观客体运动的一种体运动的一种统计规律性统计规律性，波函数，波函数(r)有时也称为概率波有时也称为概率波幅（概率幅）。幅（概率幅）。波函数在空间某点的强度（振幅绝对值的平波函数在空间某点的强度（振幅绝对值的平方）和在这点找到粒子的概率成比例，方）和

14、在这点找到粒子的概率成比例，由波函数还可以得到由波函数还可以得到体系的各种性质体系的各种性质。这就是首先由这就是首先由 Born 提出的提出的波函数的统计波函数的统计解释解释。假设衍射波波幅用假设衍射波波幅用(r)描述，与光学相似，描述，与光学相似，衍射花样的强度则用衍射花样的强度则用|(r)|2 描述，但意义与经典描述，但意义与经典波不同。波不同。|(r)|2 的意义是代表粒子出现在的意义是代表粒子出现在r点附近概率的大小，点附近概率的大小，确切地说，确切地说，|(r)|2xyz 表示在表示在r点处，体点处，体积元积元xyz中找到粒子的概率。中找到粒子的概率。量子力学的第一条基本假定（或公设

15、）量子力学的第一条基本假定（或公设）第20页，此课件共101页哦根本性差别根本性差别：微观粒子：微观粒子：统计性规律统计性规律，波粒二象性，波粒二象性经典力学系统：经典力学系统：决定性规律决定性规律力学量力学量：位矢，动量（或速度），角动量，位矢，动量（或速度），角动量，动能，势能，电场，磁场等实验测量的对象，动能，势能，电场，磁场等实验测量的对象，也就是对物理系统进行实验研究所具体对待的也就是对物理系统进行实验研究所具体对待的物理量物理量对于微观系统而言，仍然沿用这些力学量来进对于微观系统而言，仍然沿用这些力学量来进行描述行描述。第21页，此课件共101页哦（四）波函数的性质（四）波函数的性

16、质l在在 t 时刻，时刻，r 点，点，d=dxdydz 体积内，找到体积内，找到由波函数由波函数 (r,t)描写的粒子的概率是描写的粒子的概率是:dW(r,t)=C|(r,t)|2 d 其中，其中，C是比例系数。是比例系数。（1）概率和概率密度）概率和概率密度在在 t 时刻时刻 r 点，单位体积内找到粒子的概率点，单位体积内找到粒子的概率是：是：(r,t)=dW(r,t)/d=C|(r,t)|2 称为概率密度。称为概率密度。第22页，此课件共101页哦在体积在体积 V 内，内，t 时刻找到粒子的概率为：时刻找到粒子的概率为：W(t)=VdW=V(r,t)d=CV|(r,t)|2 d（2）平方可

17、积由于粒子在空间总要出现（不讨论粒子产生和湮灭情况由于粒子在空间总要出现（不讨论粒子产生和湮灭情况），所以在全空间找到粒子的概率应为一，即：），所以在全空间找到粒子的概率应为一，即：从而得常数从而得常数 C 之值为：之值为：这即是要求描写粒子这即是要求描写粒子量子状态的波函数量子状态的波函数必须是绝对值平方必须是绝对值平方可积的函数。可积的函数。第23页，此课件共101页哦若若这是没有意义的。这是没有意义的。注意：自由粒子波函数注意：自由粒子波函数 不满足这一要求。关于自由粒子波函数如何归一化问题，不满足这一要求。关于自由粒子波函数如何归一化问题，以后再予以讨论。以后再予以讨论。则则第24页，

18、此课件共101页哦（3）归一化波函数 (r,t)和和 C(r,t)所描写状态的所描写状态的相对概率相对概率是相同的，是相同的，这里的这里的 C 是常数。是常数。因为在因为在 t 时刻，空间任意两点时刻，空间任意两点 r1 和和 r2 处找到粒子的相处找到粒子的相对概率之比是：对概率之比是：可见，可见，(r,t)和和 C(r,t)所描述状态的相对概率相同。所描述状态的相对概率相同。第25页，此课件共101页哦l这这与经典波不同与经典波不同。经典波波幅增大一倍（原来的。经典波波幅增大一倍（原来的 2 倍）倍），则相应的波动能量将为原来的，则相应的波动能量将为原来的 4 倍，因而代表完全不倍，因而代

19、表完全不同的波动状态。经典波无归一化问题。同的波动状态。经典波无归一化问题。由于粒子在全空间出现的概率等于一，所以粒子在空间由于粒子在全空间出现的概率等于一，所以粒子在空间各点出现的概率只取决于波函数在空间各点强度的各点出现的概率只取决于波函数在空间各点强度的相对相对比例比例，而不取决于强度的绝对大小，因而，将波，而不取决于强度的绝对大小，因而，将波函数乘上一个常数后，所描写的粒子状态不变，即函数乘上一个常数后，所描写的粒子状态不变，即 (r,t)和和 C(r,t)描述同一状态，描述同一状态，所以波函数有一常数所以波函数有一常数因子不定性因子不定性第26页，此课件共101页哦归一化常数归一化常

20、数l若若(r,t)没有归一化，没有归一化，|(r,t)|2 d=C（C 是大于零的常数，与时间无关），则是大于零的常数，与时间无关），则有有 l|(C)-1/2(r,t)|2 d=1 l注意：对归一化波函数仍有一个注意：对归一化波函数仍有一个模为一的因子不定性模为一的因子不定性（相位不定性相位不定性）。若。若(r,t)是归一化波函数，那么，是归一化波函数，那么，expi(r,t)也是归一化波函数（其中也是归一化波函数（其中是实常数），与是实常数），与前者描述同一概率波。前者描述同一概率波。lexpi称为相因子，任何物理的结果都不会与实常称为相因子，任何物理的结果都不会与实常数数发生关系发生关系

21、也就是说，也就是说，(C)-1/2(r,t)是归一化的波函数，与是归一化的波函数，与(r,t)描写同一概率波，描写同一概率波，(C)-1/2 称为归一化因子称为归一化因子。第27页，此课件共101页哦（4 4）多粒子系的波函数）多粒子系的波函数对于一个由对于一个由N个粒子组成的体系个粒子组成的体系粒子1出现在()中同时同时粒子2出现在()中同时同时粒子N出现在()中的几率表示第28页，此课件共101页哦思考题1 设粒子波函数为 ，求在(x,x+dx)范围中找到粒子的几率。思考题2 N粒子系的波函数为 ，求在()中找到粒子1的几率(其他粒子的位置不限)。？第29页，此课件共101页哦（5）平面波

22、归一化）平面波归一化I Dirac 函数函数定义一：定义一：或等价地表示为：对在或等价地表示为：对在x=x0 邻域连续邻域连续的任何函数的任何函数 f（x）有：）有：函数亦可写成函数亦可写成 Fourier 积分形式：积分形式：0 x0 x定义二：定义二：第30页，此课件共101页哦 k=p k=px x/,dk=dp,dk=dpx x/,则则第31页，此课件共101页哦 一些简单性质：一些简单性质：符号注记：符号注记：第32页，此课件共101页哦II II 平面波归一化平面波归一化写成分量形式写成分量形式t=0 t=0 时的平面波时的平面波考虑一维积分考虑一维积分第33页，此课件共101页哦

23、取取 A12 2 =1，则，则 A1=2-1/2,于是于是平面波可归一化为平面波可归一化为函数函数第34页，此课件共101页哦三维情况：三维情况：其中其中注意：注意：这样归一化后的平面波其模的平方仍不表示概率密度，这样归一化后的平面波其模的平方仍不表示概率密度，依然只是表示平面波所描写的状态在空间各点找到粒子的概依然只是表示平面波所描写的状态在空间各点找到粒子的概率相同。率相同。第35页，此课件共101页哦第36页，此课件共101页哦2 态叠加原理原理l（一）（一）态叠加原理态叠加原理 l（二）（二）动量空间（表象）的波函数动量空间（表象）的波函数返回返回第37页，此课件共101页哦（一）（一

24、）态叠加原理态叠加原理量子态:微观体系的状态,可以由波函数加以完全的描述,因为波函数 给定后,微观粒子的所有力学量的观测值的分布概率都确定了波函数:态函数,概率幅第38页，此课件共101页哦l微观粒子具有波动性，会产生衍射图样。而干涉和衍微观粒子具有波动性，会产生衍射图样。而干涉和衍射的本质在于射的本质在于波的相干叠加性波的相干叠加性，即可相加性，两，即可相加性，两个相干波干涉的结果产生衍射。个相干波干涉的结果产生衍射。因此，同光因此，同光学中波的叠加原理一样，学中波的叠加原理一样，量子力学中也存在波量子力学中也存在波叠加原理叠加原理。因为量子力学中的波，即波函数完全描。因为量子力学中的波，即

25、波函数完全描述体系的状态，称波函数为状态波函数，或叫态函述体系的状态，称波函数为状态波函数，或叫态函数数,所以量子力学的波叠加原理称为所以量子力学的波叠加原理称为态叠加原理态叠加原理。惠更斯-菲涅耳原理:空间任意一点P的光强可以由前一时刻波前上所有各点传播出来的光波在P点线性迭加起来而得出.第39页，此课件共101页哦考虑电子双缝衍射 l=C11+C22 也是电子的可能状态也是电子的可能状态,C1和和C2是复常数是复常数。l空间找到电子的概率则是：空间找到电子的概率则是：l|2=|C11+C22|2 l =(C1*1*+C2*2*)(C11+C22)l =|C1 1|2+|C22|2+C1*C

26、21*2+C1C2*12*P1 12 2S1S2电子源电子源感感光光屏屏电子穿过狭缝电子穿过狭缝出现在点的概出现在点的概率密度率密度电子穿过狭缝电子穿过狭缝出现在点的概出现在点的概率密度率密度相干项相干项 ,正是由于相干项正是由于相干项的出现，才产生了衍射的出现，才产生了衍射花纹花纹。一个电子有一个电子有 1 1 和和 2 2 两种可能的状两种可能的状态，态，是这两种是这两种状态的叠加。状态的叠加。第40页，此课件共101页哦l其中其中C1 和和 C2 是复常数，这就是量子力学的是复常数，这就是量子力学的态叠加原理态叠加原理。态叠加原理的一般表述：态叠加原理的一般表述：若若1，2,.,n,.是

27、体系的一系列可能的状态，则是体系的一系列可能的状态，则这些态的线性叠加这些态的线性叠加 =C11+C22+.+Cnn+.(其中其中 C1,C2,.,Cn,.为复常数为复常数),也是体系的一个可能状态。也是体系的一个可能状态。也可以这样说也可以这样说:处于处于态的体系，部分的处于态的体系，部分的处于 1态，态，部分的处于部分的处于2态态.，部分的处于，部分的处于n，.导致迭加态下导致迭加态下观测观测结果的不确定性结果的不确定性。一般情况下，如果一般情况下，如果1和和2 是体系的可能状态，那末它们的是体系的可能状态，那末它们的线性叠加线性叠加=C11+C22 也是该体系的一个可能状态，也是该体系的

28、一个可能状态，称线性迭加态。称线性迭加态。第41页，此课件共101页哦涉及态随时间的演化时，波函数还是时间变量t的函数，简称运动状态设 和 分别描述粒子的两个可能的运动状态，则它们的线性迭加 也代表粒子的一个可能的运动状态波函数随时间演化的方程（即波动方程）必须是线性方程线性方程。态迭加原理是态迭加原理是“波的迭加性波的迭加性”和和“波函数完全波函数完全描述一个体系的量子态描述一个体系的量子态”两个概念的概括。两个概念的概括。第42页，此课件共101页哦例：入射的电子波包在晶体表面反射后，入射的电子波包在晶体表面反射后，电子可能以各种不同的动量电子可能以各种不同的动量 p p 运动。运动。具有

29、确定动量的运动状态用具有确定动量的运动状态用dedeBroglie Broglie 平面波表示平面波表示根据态叠加原理，在晶体表面反射后，电子的状态根据态叠加原理，在晶体表面反射后，电子的状态可表可表示成示成 p p 取各种可能值的平面波的线性叠加，即取各种可能值的平面波的线性叠加，即衍射图样正是这些平面波叠加干涉的结果。衍射图样正是这些平面波叠加干涉的结果。dp p第43页，此课件共101页哦（二）动量空间（表象）的波函数（二）动量空间（表象）的波函数任何一个波函数任何一个波函数(r,t)(r,t)可以看作是各种不同动量的平可以看作是各种不同动量的平面波的迭加。面波的迭加。令令则则 可按可按

30、p p 展开展开第44页，此课件共101页哦l 是以坐标是以坐标 r r 为自变量的波函数，为自变量的波函数，坐标空间波函数，坐标空间波函数，坐标表象坐标表象波函数；波函数；l 是以动量是以动量 p p 为自变量的波函数，为自变量的波函数，动量空间波函数，动量空间波函数，动量表象动量表象波函数；波函数；l二者描写同一量子状态。二者描写同一量子状态。显然,二式互为Fourier变换式,故而总是成立的,所以 与 一一对应,是同一量子态的两种不同描述方式。第45页，此课件共101页哦若 已归一化，则 也是归一化的第46页，此课件共101页哦第47页，此课件共101页哦3 力学量的平均值和算符的引进l

31、（一）力学量平均值（一）力学量平均值 l（1）坐标平均值）坐标平均值 l（2）动量平均值）动量平均值 l（二）力学量算符（二）力学量算符 l（1）动量算符）动量算符 l（2）动能算符）动能算符 l（3）角动量算符）角动量算符 l（4）Hamilton 算符算符返回返回第48页，此课件共101页哦l在统计物理中知道在统计物理中知道,l当可能值为离散值时当可能值为离散值时:一个物理量的平均值一个物理量的平均值等于物理量出现的各种可能值乘上相应的等于物理量出现的各种可能值乘上相应的概率概率求和；（求和；（加权平均加权平均）l当可能值为连续取值时：当可能值为连续取值时：一个物理量出现的各一个物理量出现

32、的各种可能值乘上相应的种可能值乘上相应的概率密度求积分。概率密度求积分。l基于波函数的概率含义，基于波函数的概率含义，我们马上可以得到粒我们马上可以得到粒子坐标和动量的平均值。先考虑一维情况，然子坐标和动量的平均值。先考虑一维情况，然后再推广至三维。后再推广至三维。(一)力学量平均值 第49页，此课件共101页哦（1）坐标平均值）坐标平均值为简单计，舍去时间变量（或者说，先不考虑随时间的变为简单计，舍去时间变量（或者说，先不考虑随时间的变化）化）设设(x)是归一化波函数，是归一化波函数，|(x)|2 是粒子出现在是粒子出现在x点的概率密度，点的概率密度，则则对三维情况对三维情况，设，设(r)(

33、r)是归一化波函数，是归一化波函数，|(r)|(r)|2 2是粒子是粒子出现在出现在 r r 点的概率密度，则点的概率密度，则x x的平均值为的平均值为第50页，此课件共101页哦（2）动量平均值）动量平均值一维情况一维情况：令：令(x)(x)是归一化波函数，相应动量表象波函是归一化波函数，相应动量表象波函数为数为粒子动量为Px的概率密度，则第51页，此课件共101页哦（二）力学量算符l简言之，由于量子力学和经典力学完全不同，它是用波函数简言之，由于量子力学和经典力学完全不同，它是用波函数描写状态，所以力学量也必须改造成与经典力学不同的算符描写状态，所以力学量也必须改造成与经典力学不同的算符形

34、式（称为第一次量子化）。形式（称为第一次量子化）。（1 1）动量算符）动量算符(x)(x)是归一化波函数，与相应的动量表象波函数是归一化波函数，与相应的动量表象波函数c c(p(px x)一一 一一 对应，相互等价地描述粒子的同一状态，那对应，相互等价地描述粒子的同一状态，那么动量的平均值也应可以在坐标表象用么动量的平均值也应可以在坐标表象用(x)(x)表示出来。表示出来。但是但是(x)(x)不含不含p px x变量，为了能由变量，为了能由(x)(x)来确定动量平均值，来确定动量平均值，动量动量 p px x必须改造成只含自变量必须改造成只含自变量 x x 的形式，这种形式称为动的形式，这种形

35、式称为动量量 p px x的算符形式，记为的算符形式，记为第52页，此课件共101页哦一维情况：第53页，此课件共101页哦第54页，此课件共101页哦比较上面二式得两点结论：比较上面二式得两点结论：1）体系状态用坐标表象中的波函数）体系状态用坐标表象中的波函数(r)描写时，坐描写时，坐标标 x 的算符就是其自身，即的算符就是其自身，即说明力学量在自身表象中的算符形式最简单。说明力学量在自身表象中的算符形式最简单。2）动量）动量 px 在坐标表象（非自身表象）中的形式必须改造在坐标表象（非自身表象）中的形式必须改造成动量算符形式：成动量算符形式：动量平均值与波函数的梯度密切相关动量平均值与波函

36、数的梯度密切相关第55页，此课件共101页哦三维情况：三维情况：劈形算符劈形算符（该动量算符只适用于直角坐标系该动量算符只适用于直角坐标系）第56页，此课件共101页哦由归一化波函数由归一化波函数(r)求力学量求力学量 F 的平均值时，必须的平均值时，必须把该力学量把该力学量 F 的算符夹在的算符夹在*(r)和和(r)之间之间,对全空间积分，对全空间积分，即即F 是任一力学量是任一力学量算符算符第57页，此课件共101页哦第58页，此课件共101页哦（2）动能算符（3）角动量算符）角动量算符第59页，此课件共101页哦（4）Hamilton 算符算符问题:势能V(r)对应的算符仍为V(r)?第

37、60页，此课件共101页哦4 Schrdinger 方程（一）（一）引言引言（二）（二）引进方程的基本考虑引进方程的基本考虑（三）（三）自由粒子满足的方程自由粒子满足的方程（四）（四）势场势场 V(r)中运动的粒子中运动的粒子（五）（五）多粒子体系的多粒子体系的Schrdinger方程方程返回返回第61页，此课件共101页哦l这些问题在这些问题在1926年年Schrdinger 提出波动方程之后得到了圆满提出波动方程之后得到了圆满解决。解决。微观粒子量子状态用波函数完全描述，波函数确定之后，微观粒子量子状态用波函数完全描述，波函数确定之后，粒子的任何一个力学量的平均值及其测量的可能值和相应的几

38、粒子的任何一个力学量的平均值及其测量的可能值和相应的几率分布也都被完全确定，波函数完全描写微观粒子的状态。因率分布也都被完全确定，波函数完全描写微观粒子的状态。因此量子力学最核心的问题就是要解决以下两个问题：此量子力学最核心的问题就是要解决以下两个问题：(1)(1)在各种情况下，找出描述系统的各种可能的波函数；在各种情况下，找出描述系统的各种可能的波函数；(2)(2)波函数如何随时间演化。波函数如何随时间演化。（一）引言返回返回第62页，此课件共101页哦（二）引进方程的基本考虑l从牛顿方程，人们可以确定以后任何时刻从牛顿方程，人们可以确定以后任何时刻 t t 粒子的状态粒子的状态 r r 和

39、和 p p 。因为初始条件知道的是坐标及其对时间的一阶导数，所以。因为初始条件知道的是坐标及其对时间的一阶导数，所以方程是时间的二阶常微分方程。方程是时间的二阶常微分方程。让我们先回顾一下经典粒子运动方程，看是否能给我们让我们先回顾一下经典粒子运动方程，看是否能给我们以启发。以启发。（1 1）经典情况）经典情况第63页，此课件共101页哦（2）量子情况3第三方面，方程第三方面，方程不能包含状态参量不能包含状态参量，如，如 p,E等，否则等，否则方程只能被粒子特定的状态所满足，而不能为各种可方程只能被粒子特定的状态所满足，而不能为各种可能的状态所满足。能的状态所满足。1 1因为，因为，t=tt=

40、t0 0 时刻，已知的初态是时刻，已知的初态是(r,t(r,t0 0)且只知道且只知道这样一个初条件，所以，描写粒子状态的波这样一个初条件，所以，描写粒子状态的波函数所满足的方程函数所满足的方程只能含只能含对时间的一阶导数对时间的一阶导数。2 2要满足态叠加原理要满足态叠加原理，即，若，即，若1 1(r,t)(r,t)和和2 2(r,t)(r,t)是方是方程的解，那么程的解，那么,(r,t)=C(r,t)=C1 11 1(r,t)+C(r,t)+C2 22 2(r,t)(r,t)也应是该方程的解。这就要求方程应是线性的，也就是说方也应是该方程的解。这就要求方程应是线性的，也就是说方程中只能包含

41、程中只能包含,对时间的一阶导数对时间的一阶导数和和对坐标各阶导数的对坐标各阶导数的一次项一次项，不能含它们的平方或开方项。，不能含它们的平方或开方项。第64页，此课件共101页哦（三）自由粒子满足的方程l这不是所要寻找的方程，因为它包含状态参这不是所要寻找的方程，因为它包含状态参量量 E。将。将对坐标二次微商，得：对坐标二次微商，得：描写自由粒子的波函数描写自由粒子的波函数:应是所要建立的方程的解。将上式对将上式对 t t 微商，得：微商，得：第65页，此课件共101页哦第66页，此课件共101页哦满足上述构造方程的满足上述构造方程的三个条件三个条件(1)(2)式式第67页，此课件共101页哦

42、讨论：讨论：通过引出自由粒子波动方程的过程可以看出，如果能量通过引出自由粒子波动方程的过程可以看出，如果能量关系式关系式 E=p2/2 写成如下方程形式：写成如下方程形式：做做算符替换（算符替换（4）即得自即得自由粒子满足的方程（由粒子满足的方程（3）容易验证容易验证,不是方程的解第68页，此课件共101页哦（四）势场 V(r)中运动的粒子l该方程称为该方程称为 Schrdinger 方程，也常称为波动方程。方程，也常称为波动方程。l量子力学的第二条基本假定量子力学的第二条基本假定（或公设）（或公设）若粒子处于势场若粒子处于势场 V(r)中运动，则能量和动量关系变为：中运动，则能量和动量关系变

43、为：将其作用于将其作用于波函数得：波函数得：做做（4）式的算符替换得：式的算符替换得：拉普拉斯算符拉普拉斯算符(直角坐标系)第69页，此课件共101页哦（五）多粒子体系的 Schrdinger 方程l设体系由设体系由 N 个粒子组成，个粒子组成，l质量分别为质量分别为 i(i=1,2,.,N)l体系波函数记为体系波函数记为 (r1,r2,.,rN;t)l第第i个粒子所受到的外场个粒子所受到的外场 Ui(ri)l粒子间的相互作用粒子间的相互作用 V(r1,r2,.,rN)l则多粒子体系的则多粒子体系的 Schrdinger 方程可表示为：方程可表示为：第70页，此课件共101页哦多粒子体系 Ha

44、milton 量对有对有 Z 个电子的原子，电子间相互作用为个电子的原子，电子间相互作用为 Coulomb 排斥作排斥作用：用：而原子核对第而原子核对第 i 个电子的个电子的 Coulomb 吸引能为：吸引能为：假定原子核位于坐标原点，无穷远为势能零点。假定原子核位于坐标原点，无穷远为势能零点。例如：例如：第71页，此课件共101页哦5 粒子流密度和粒子数守恒定律（一）定域几率守恒（一）定域几率守恒 （二）再论波函数的性质（二）再论波函数的性质返回返回第72页，此课件共101页哦（一）定域的几率守恒l考虑低能非相对论实物粒子情况，因没有粒子的产生和考虑低能非相对论实物粒子情况，因没有粒子的产生

45、和湮灭问题，粒子数保持不变。对一个粒子而言，在全空湮灭问题，粒子数保持不变。对一个粒子而言，在全空间找到它的几率总和应不随时间改变，即间找到它的几率总和应不随时间改变，即 在讨论了状态或波函数随时间变化的规律后，我们在讨论了状态或波函数随时间变化的规律后，我们进一步讨论粒子在一定空间区域内出现的几率将怎样随时间变进一步讨论粒子在一定空间区域内出现的几率将怎样随时间变化。粒子在化。粒子在 t t 时刻时刻 r r 点周围单位体积内粒子出现的几率即几点周围单位体积内粒子出现的几率即几率密度是：率密度是：第73页，此课件共101页哦证明：证明：考虑考虑 Schrdinger 方程及其共轭形式：方程及

46、其共轭形式：取复共轭取复共轭第74页，此课件共101页哦?课后练习课后练习第75页，此课件共101页哦在空间闭区域在空间闭区域中将上式积分，则有：中将上式积分，则有：第76页，此课件共101页哦闭区域闭区域上找到粒子上找到粒子的总几率在单位时间的总几率在单位时间内的增量内的增量J J是几率流是几率流(粒子流粒子流)密度，是一矢量。密度，是一矢量。所以所以(7)(7)式是几率（粒子数）守恒的积分表示式。式是几率（粒子数）守恒的积分表示式。其微分形式与流体力学中连续其微分形式与流体力学中连续性方程的形式相同性方程的形式相同单位时间内通过单位时间内通过的封闭表的封闭表面面 S S 流入（面积分前面的

47、流入（面积分前面的负号）负号）内的几率内的几率S 使用使用 Gauss 定理定理微分表示式为微分表示式为量子力学的连续性方程量子力学的连续性方程第77页，此课件共101页哦令令 Eq.（7）趋于趋于，即让积分对全空间进行，考虑到任，即让积分对全空间进行，考虑到任何真实的波函数应该是平方可积的，波函数在无穷远处为何真实的波函数应该是平方可积的，波函数在无穷远处为零，则式右面积分趋于零，于是零，则式右面积分趋于零，于是 Eq.（7）变为：）变为：表明，波函数归一化不随时间改变，其物理意义表明，波函数归一化不随时间改变，其物理意义是粒子既未产生也未消灭。是粒子既未产生也未消灭。第78页，此课件共10

48、1页哦讨论：讨论：(1)(1)这里的几率守恒具有定域性质，当空间某处几率减这里的几率守恒具有定域性质，当空间某处几率减少了，必然另外一些地方几率增加，使总几率不变，并少了，必然另外一些地方几率增加，使总几率不变，并伴随着某种流来实现这种变化。伴随着某种流来实现这种变化。(2)连续性意味着某种流的存在连续性意味着某种流的存在抽刀断水水更流抽刀断水水更流?J:几率流几率流密度密度,单位时间内通过单位横截面积的几率单位时间内通过单位横截面积的几率连续连续连续？连续？思考：思考：第79页，此课件共101页哦（3）以以乘连续性方程等号两边，得到：乘连续性方程等号两边，得到：量子力学的质量守恒定律量子力学

49、的质量守恒定律时刻时刻t在在 点的质量密度点的质量密度质量流密度质量流密度第80页，此课件共101页哦（4）以以e乘连续性方程等号两边，得到：乘连续性方程等号两边，得到：量子力学的电荷守恒定律量子力学的电荷守恒定律,表表明电荷总量不随时间改变明电荷总量不随时间改变电荷密度电荷密度电流密度电流密度第81页，此课件共101页哦（二）再论波函数的性质l1).1).由由 Born Born 的统计解释可知，描写粒子的波函数的统计解释可知，描写粒子的波函数 已知后，就知道了粒子在空间的几率分布，即已知后，就知道了粒子在空间的几率分布，即 d(r,t)=|(r,t)|d(r,t)=|(r,t)|2 2 d

50、 d l2).2).已知已知 (r,t)(r,t)，则任意力学量的平均值、可能值及则任意力学量的平均值、可能值及相应的几率就都知道了，也就是说，描写粒子状态的一切相应的几率就都知道了，也就是说，描写粒子状态的一切力学量就都知道了。所以波函数又称为状态波函数或态函力学量就都知道了。所以波函数又称为状态波函数或态函数。数。l3).3).知道体系所受力场和相互作用及初始时刻体系的状态后，知道体系所受力场和相互作用及初始时刻体系的状态后，由由Schrdinger方程即可确定以后时刻的状态。方程即可确定以后时刻的状态。1 波函数完全描述微观粒子的状态波函数完全描述微观粒子的状态第82页，此课件共101页