分离变量法非齐次方程讲稿.ppt

《分离变量法非齐次方程讲稿.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《分离变量法非齐次方程讲稿.ppt（32页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、分离变量法非齐次方程第一页，讲稿共三十二页哦令其中(1)(2)第二页，讲稿共三十二页哦令 为待定函数.并将 按特征函数系展为级数 其中 (3)(4)(1)第三页，讲稿共三十二页哦将(3),(4)代入方程得两端比较将(3)代入初始条件第四页，讲稿共三十二页哦Laplace变换所以第五页，讲稿共三十二页哦例1.求解具有热源 ，两端绝热，初始温度为零的杆的热传导问题。征函数为 设 解：第六页，讲稿共三十二页哦代入方程得 比较系数得：由初始条件得：从而 所以 第七页，讲稿共三十二页哦例在环形区域 内求解下列定解问题解考虑极坐标变换:第八页，讲稿共三十二页哦定解问题可以转化为:相应的齐次问题的特征函数系

2、为:第九页，讲稿共三十二页哦于是可以设原问题的解为:代入方程，整理得 第十页，讲稿共三十二页哦比较两端 和 的系数可得 第十一页，讲稿共三十二页哦由边界条件，得 所以 第十二页，讲稿共三十二页哦由边界条件，可知 满足的方程是齐次欧拉方程，其通解的形式为第十三页，讲稿共三十二页哦下面求 .方程的通解为 由端点的条件，得 原问题的解为：第十四页，讲稿共三十二页哦2.5 2.5 非齐次边界条件的处理非齐次边界条件的处理 处理非齐次边界条件问题的基本原则基本原则是:选取一个辅助函数 ,通过函数之间的代换:使得对新的未知函数 边界条件为齐次的.第十五页，讲稿共三十二页哦例1振动问题（I）解：取 故要求满

3、足(I)的边界条件，即解得思路:作代换选取w(x,t)使v(x,t)的边界条件化为齐次第十六页，讲稿共三十二页哦代入(I)，得 的定解问题(II)令第十七页，讲稿共三十二页哦如果仍取 的线性函数作为 ，则有 此时除非 ，否则这两式互相矛盾。当x0和x=l 满足第二类边界条件注意：应取第十八页，讲稿共三十二页哦例 定解问题其中A,B为常数.解:令第十九页，讲稿共三十二页哦代入方程，得 选 满足 它的解为第二十页，讲稿共三十二页哦于是 满足的方程为：第二十一页，讲稿共三十二页哦利用分离变量法，求解得 其中从而，原定解问题的解为 第二十二页，讲稿共三十二页哦一.选择适当的坐标系.原则:边界条件的表达

4、式最简单.二.若边界条件是非齐次的,引进辅助函数把边界条件化为齐次的。三.对于齐次边界条件、非齐次方程的定解问题，可将问题分解为两个,其 一是方程齐次,并具有原定解条件的定解问题(分离变量法)；其二是具有齐次定解条件的非齐次方程的定解问题(特征函数法).一般的定解问题的解法一般的定解问题的解法一般的定解问题的解法一般的定解问题的解法第二十三页，讲稿共三十二页哦例例 求下列定解问题的解求下列定解问题的解其中其中 为常数。为常数。解解 1 1）边界条件齐次化，令）边界条件齐次化，令 第二十四页，讲稿共三十二页哦于是 满足如下定解问题2）将问题分解为两个定解问题。设第二十五页，讲稿共三十二页哦第二十

5、六页，讲稿共三十二页哦3）求解问题）求解问题(I),(II)。首先，利用分离变量法求解问题首先，利用分离变量法求解问题(I)。特征值及相应的特征函数特征值及相应的特征函数第二十七页，讲稿共三十二页哦则则利用初始条件确定系数利用初始条件确定系数计算可得计算可得第二十八页，讲稿共三十二页哦其次，利用特征函数法求解问题其次，利用特征函数法求解问题(II)将将 按问题（按问题（I）的特征函数系进行傅立叶展开）的特征函数系进行傅立叶展开代入问题（代入问题（II）的方程及初始条件，得）的方程及初始条件，得第二十九页，讲稿共三十二页哦问题转化为求解下列常微分方程的初值问题问题转化为求解下列常微分方程的初值问

6、题解得解得所以，所以，第三十页，讲稿共三十二页哦4）综合上述结果）综合上述结果,得到原问题的解得到原问题的解第三十一页，讲稿共三十二页哦 对于二维拉普拉斯方程的边值问题而言对于二维拉普拉斯方程的边值问题而言,应根据求解区域应根据求解区域的形状适当的选取坐标系的形状适当的选取坐标系,使得在此坐标系下边界条件的使得在此坐标系下边界条件的表达方式最简单表达方式最简单,便于求解便于求解.例如例如,对于圆域、圆环可对于圆域、圆环可以采用极坐标。应当指出以采用极坐标。应当指出,只有当求解区域非常规范时，只有当求解区域非常规范时，才可以应用分离变量法求解拉普拉斯方程的定解问题，才可以应用分离变量法求解拉普拉斯方程的定解问题，或利用特征函数法求解泊松方程的定解问题或利用特征函数法求解泊松方程的定解问题.注：注：圆域内的周期性条件及有界性条件在题目中是不给圆域内的周期性条件及有界性条件在题目中是不给出的，这些条件需根据对题目的分析自己写出出的，这些条件需根据对题目的分析自己写出.第三十二页，讲稿共三十二页哦