图像正交变换精选PPT.ppt
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1、关于图像正交变换第1页,讲稿共78张,创作于星期日变换问题的引入 频率域 幅值与频率 空间域 灰度第2页,讲稿共78张,创作于星期日什么是图像变换将图像看成是线性叠加系统图像在空域上相关性很强图像变换是将图像从空域变换到其它域如频域的数学变换q常用的变换:傅立叶变换、沃尔什变换、哈达玛变换、离散余弦变换、离散K-L变换、小波变换第3页,讲稿共78张,创作于星期日11.1 傅立叶变换 傅立叶变换的作用(1)可以得出信号在各个频率点上的强度。(2)可以将卷积运算化为乘积运算。(3)傅氏变换和线性系统理论是进行图像恢复 和重构的重要手段。(4)傅立叶变换能使我们从空间域与频率域两个不同的角度来看待图
2、像的问题,有时在空间域无法解决的问题在频域却是显而易见的。第4页,讲稿共78张,创作于星期日 傅立叶变换的定义若f(x)为一维连续实函数,则它的傅里叶变换可定义为:傅立叶逆变换定义如下:第5页,讲稿共78张,创作于星期日 函数f(x)和F(u)被称为傅立叶变换对。即对于任一函数f(x),其傅立叶变换F(u)是惟一的;反之,对于任一函数F(u),其傅立叶逆变换f(x)也是惟一的。第6页,讲稿共78张,创作于星期日傅里叶变换的条件傅里叶变换的条件 傅里叶变换在数学上的定义是严密的,它需要满足如下狄利克莱条件:(1)具有有限个间断点;(2)具有有限个极值点;(3)绝对可积;第7页,讲稿共78张,创作
3、于星期日F(u)可以表示为如下形式:|F(u)|称为F(u)的模,也称为函数f(x)的傅立叶谱,称为F(u)的相角。第8页,讲稿共78张,创作于星期日称为函数f(x)的能量谱或功率谱。第9页,讲稿共78张,创作于星期日傅立叶变换在图像滤波中的应用 首先,我们来看Fourier变换后的图像,中间部分为低频部分,越靠外边频率越高。因此,我们可以在Fourier变换图中,选择所需要的高频或是低频滤波。第10页,讲稿共78张,创作于星期日 傅立叶变换在卷积中的应用 直接进行时域中的卷积运算是很复杂的。傅立叶变换将时域的卷积变换为频域的乘积。第11页,讲稿共78张,创作于星期日离散傅立叶变换 离散傅立叶
4、变换的定义 要要在在数数字字图图像像处处理理中中应应用用傅傅立立叶叶变变换换,还还需需要要解解决决两两个个问问题题:一一是是在在数数学学中中进进行行傅傅立立叶叶变变换换的的f f(x x)为为连连续续(模模拟拟)信信号号,而而计计算算机机处处理理的的是是数数字字信信号号(图图像像数数据据);二二是是数数学学上上采采用用无无穷穷大大概概念念,而而计计算算机机只只能能进进行行有有限限次次计计算算。通通常常,将将受受这这种种限限制制的的傅傅立立叶叶变变换换称称为离散傅立叶变换(为离散傅立叶变换(Discrete Fourier TransformDiscrete Fourier Transform,
5、DFT)DFT)。第12页,讲稿共78张,创作于星期日离散傅立叶正变换离散傅立叶正变换:离散傅立叶逆变换离散傅立叶逆变换:第13页,讲稿共78张,创作于星期日二维傅立叶变换1.二维连续函数傅立叶变换的定义二维傅立叶正变换二维傅立叶正变换:二维傅立叶逆变换二维傅立叶逆变换:第14页,讲稿共78张,创作于星期日第15页,讲稿共78张,创作于星期日2.二维离散函数傅立叶变换的定义 根据一维离散傅立叶变换的定义和二维连续傅立叶变根据一维离散傅立叶变换的定义和二维连续傅立叶变换理论,对于一个具有换理论,对于一个具有MNMN个样本值的二维离散序列个样本值的二维离散序列f(xf(x,y)y),(,(x=0,
6、1,2,3,x=0,1,2,3,M-1,M-1;y=0,1,2,3,y=0,1,2,3,N-1,N-1)其傅立)其傅立叶变换为:叶变换为:(1)二维离散傅立叶正变换第16页,讲稿共78张,创作于星期日(2)二维离散傅立叶逆变换若已知频率二维序列F(u,v)(u=0,1,2,3,M-1;v=0,1,2,3,N-1),则二维离散序列F(u,v)的傅立叶逆变换定义为:第17页,讲稿共78张,创作于星期日 x、y和u、v,分别为空间域采样间隔和频率域采样间隔 两者之间满足如下关系:第18页,讲稿共78张,创作于星期日 式中序列R(u,v)和I(u,v)分别表示离散序列F(u,v)的实序列和虚序列。二维
7、序列f(x,y)的频谱(傅立叶幅度谱)、相位谱和能量谱(功率谱)分别如下:F(u,v)可以表示为如下形式:第19页,讲稿共78张,创作于星期日(1)(1)线性特性线性特性 二维离散傅立叶变换的性质(2)(2)比例性质比例性质 =第20页,讲稿共78张,创作于星期日(3)(3)平移性质平移性质 二维傅立叶变换的移位特性表明,当用 乘以f(x,y),然后再进行乘积的离散傅里叶变换时,可以使空间频率域u-v平面坐标系的原点从(0,0)平移到(u0,v0)的位置。第21页,讲稿共78张,创作于星期日先对行做变换:然后对列进行变换f(x,y)(0,0)(N-1,M-1)xyF(x,v)(0,0)(N-1
8、,M-1)xvF(x,v)(0,0)(N-1,M-1)xvF(u,v)(0,0)(N-1,M-1)uv(4)(4)可分离性可分离性 第22页,讲稿共78张,创作于星期日 二维傅立叶变换的可分离特性表明,一个二维傅立叶变换可通过二次一维傅立叶变换来完成,即:第一次先对y进行一维傅立叶变换 在此基础上对x进行一维傅立叶变换第23页,讲稿共78张,创作于星期日 若已知频率二维序列F(u,v),则二维可分离性对傅立叶逆变换同样适应 逆变换的分离性也同样可以分解为两次一维傅立叶变换 第24页,讲稿共78张,创作于星期日(5)(5)周期性周期性 如果二维离散函数f(x,y)的傅里叶变换为F(u,v),则傅
9、立叶变换及其逆变换存在如下周期特性:第25页,讲稿共78张,创作于星期日(6)(6)共轭对称性共轭对称性 第26页,讲稿共78张,创作于星期日半周期的傅里叶频谱全周期的傅里叶频谱二维图像的傅里叶频谱中心化的傅里叶频谱第27页,讲稿共78张,创作于星期日 做代换有:如果 被旋转 ,则 被旋转同一角度。即有傅立叶变换对:(7)(7)旋转不变性旋转不变性 第28页,讲稿共78张,创作于星期日(8)(8)微分性质微分性质 第29页,讲稿共78张,创作于星期日(9)(9)平均值性质平均值性质 平均值定义如下平均值定义如下 平均值性质如下:平均值性质如下:即:即:结论:二维离散函数的平均值等于其傅立叶变换
10、在频率原点处值的1/MN。第30页,讲稿共78张,创作于星期日(1010)卷积定理:卷积定理:f(x,y)*h(x,y)F(u,v)H(u,v)f(x,y)h(x,y)F(u,v)*H(u,v)第31页,讲稿共78张,创作于星期日二维傅立叶变换二维傅立叶变换(幅值及相位幅值及相位)意义意义 第32页,讲稿共78张,创作于星期日n左边一列左边一列:上方为原始图像,下方为本图的相关说明说明;n中间一列中间一列:上图幅值谱,下图为根据幅值谱的傅立叶逆变换(忽略相位信息,设相位为0);n右边一列右边一列:上图相位谱,下图为根据相位谱的傅立叶逆变换(忽略幅值信息,设幅值为某一常数);图像的说明图像的说明
11、 第33页,讲稿共78张,创作于星期日第34页,讲稿共78张,创作于星期日Fourier 变换示意图第35页,讲稿共78张,创作于星期日Fourier变换的频率特性 返回第36页,讲稿共78张,创作于星期日Fourier变换的低通滤波返回第37页,讲稿共78张,创作于星期日Fourier变换的高通滤波返回第38页,讲稿共78张,创作于星期日Fourier变换的压缩原理另一幅图像效果压缩率为:1.7:1压缩率为:2.24:1压缩率为:3.3:1第39页,讲稿共78张,创作于星期日Fourier变换的压缩原理 返回压缩率为:8.1:1压缩率为:10.77:1压缩率为:16.1:1第40页,讲稿共7
12、8张,创作于星期日快速傅里叶变换问题的提出:离散傅里叶变换已成为数字信号处理的重要工具。然而,它的计算量较大,运算时间长,在某种程度上却限制了它的使用范围。第41页,讲稿共78张,创作于星期日 二维离散傅立叶变换具有可分离性,即它可由两次一维二维离散傅立叶变换具有可分离性,即它可由两次一维离散傅立叶变换计算得到,因此,仅研究一维离散傅立叶离散傅立叶变换计算得到,因此,仅研究一维离散傅立叶变换的快速算法即可。改写公式:变换的快速算法即可。改写公式:式中,式中,W W=e=e-j2-j2N N ,称为旋转因子。,称为旋转因子。W=e e-j2-j2N N=cos(22N N)-j )-j sin(
13、22N N)()(以以N N为周期为周期)式中很多式中很多W Wuxux系数相同,不必进行多次重复计算。系数相同,不必进行多次重复计算。第42页,讲稿共78张,创作于星期日 FFT FFT的推导过程:的推导过程:设设N N为为2 2的正整数次幂,的正整数次幂,即即 令令M M=N/2,=N/2,离散傅立叶变换可改写成如下形式:离散傅立叶变换可改写成如下形式:偶离散点偶离散点奇离散点奇离散点第43页,讲稿共78张,创作于星期日 定义定义 第44页,讲稿共78张,创作于星期日于是于是 将将一一个个N N点点的的离离散散傅傅立立叶叶变变换换分分解解成成两两个个N N2 2短短序序列列的的离离散散傅傅
14、立立叶叶变变换换,即即分分解解为为偶偶数数和和奇奇数数序序列列的的离离散散傅傅立立叶叶变变换换F Fe e(u u)和和F Fo o(u u)。设设N=2N=23 37.2.2 7.2.2 快速离散傅立叶变换快速离散傅立叶变换第45页,讲稿共78张,创作于星期日7.2.2 7.2.2 快速离散傅立叶变换快速离散傅立叶变换第46页,讲稿共78张,创作于星期日蝶形运算单元蝶形运算单元 7.2.2 7.2.2 快速离散傅立叶变换快速离散傅立叶变换第47页,讲稿共78张,创作于星期日Fe(0)Fe(1)Fe(2)Fe(3)Fo(0)Fo(1)Fo(2)Fo(3)08W18W28W38W08W18W28
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