复变函数论精选PPT.ppt

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1、复变函数论第1页，讲稿共59张，创作于星期日定义定义6.1 设设f(z)以有限点以有限点a为孤立奇点，即为孤立奇点，即 f(z)在点在点a的的某去心邻域某去心邻域0|z-a|R内解析，则称积分内解析，则称积分为为f(z)在点在点a的留的留(残残)数数(residue),记为：记为：1.留数的定义及留数定理留数的定义及留数定理将将f(z)在点在点a去心邻域内展成洛朗级数，有：去心邻域内展成洛朗级数，有：即即2第2页，讲稿共59张，创作于星期日 定理定理6.1(柯西留数定理柯西留数定理)f(z)在围线或复围线在围线或复围线C所围区域所围区域D内内,除除a1,a2,an外解析外解析,在闭域在闭域=D

2、+C上除上除a1,a2,an外外连续连续,则则证证 作圆周作圆周 使其全含于使其全含于内且两两不相交，取逆时针方向，则由复合闭路内且两两不相交，取逆时针方向，则由复合闭路定理有定理有注注 留数定理的重要意义在于把复变函数的闭合曲线积分转化为计留数定理的重要意义在于把复变函数的闭合曲线积分转化为计算被积函数在孤立奇点处的留数。由于一般被积函数在相应的区算被积函数在孤立奇点处的留数。由于一般被积函数在相应的区域中只有少数几个孤立奇点，求这些孤立奇点的留数相对较容易，域中只有少数几个孤立奇点，求这些孤立奇点的留数相对较容易，因此留数定理是计算复变函数闭合曲线积分的非常有效的方法。因此留数定理是计算复

3、变函数闭合曲线积分的非常有效的方法。3第3页，讲稿共59张，创作于星期日2.2.留数的求法留数的求法(1)常规方法常规方法:不过，有时洛朗级数可能不容易求出或太复杂，但如不过，有时洛朗级数可能不容易求出或太复杂，但如果知道果知道奇点的类型奇点的类型，对求留数更有指导作用。，对求留数更有指导作用。(1)常规方法常规方法:将将f(z)在在a点的某去心邻域内展成洛朗级数，点的某去心邻域内展成洛朗级数，利用利用洛朗系数洛朗系数公式和留数定义可得计算留数的公式公式和留数定义可得计算留数的公式 ，即负幂项，即负幂项 的系数。的系数。(3)a为本性奇点时，将为本性奇点时，将f(z)在在a点的某去心邻域内展点

4、的某去心邻域内展成洛朗级数来求成洛朗级数来求(2)a为有限可去奇点时为有限可去奇点时:运用留数定理计算复变函数闭合曲线积分，首先必须运用留数定理计算复变函数闭合曲线积分，首先必须求出被积函数在相应区域中的孤立奇点及其留数。求出被积函数在相应区域中的孤立奇点及其留数。(4)a为极点时，有如下结论为极点时，有如下结论.4第4页，讲稿共59张，创作于星期日其中其中(z)在点在点a解析解析,(a)0，则则:定理定理6.2 设设a为为f(z)的的n级极点级极点,即即推论推论6.36.3 设设a为为f(z)的一级极点的一级极点,则则推论推论6.46.4 设设a为为f(z)的二级极点的二级极点,则定理定理6

5、.5 设设a为为的一级极点的一级极点 5第5页，讲稿共59张，创作于星期日例例1 求求在在的留数的留数.解解6第6页，讲稿共59张，创作于星期日例例2 求求在在的留数的留数.分析分析是是的三级零点的三级零点由定理由定理6.2得得计算较麻烦计算较麻烦.7第7页，讲稿共59张，创作于星期日如果利用洛朗展开式求如果利用洛朗展开式求较方便较方便:解解8第8页，讲稿共59张，创作于星期日说明说明:如如 为为 n 级极点，当级极点，当 n 较大而导数又难以计算时较大而导数又难以计算时,可直接展开洛朗级数求可直接展开洛朗级数求来计算留数来计算留数.2.在应用定理在应用定理6.2时时,取得比实际的级数高取得比

6、实际的级数高.级数高反而使计算方便级数高反而使计算方便.1.在实际计算中应灵活运用计算规则在实际计算中应灵活运用计算规则.为了计算方便一般不要将为了计算方便一般不要将n但有时把但有时把n取得比实际的取得比实际的如上例取如上例取9第9页，讲稿共59张，创作于星期日例例3 计算积分计算积分C为正向圆周为正向圆周:解解为一级极点为一级极点,为二级极点为二级极点,10第10页，讲稿共59张，创作于星期日11第11页，讲稿共59张，创作于星期日 设设 ,求留数求留数 计算积分计算积分 逆时逆时针方向。针方向。计算积分计算积分 逆时逆时针方向。针方向。练习练习 求求 在在 的留数的留数,其中其中a,b是实

7、常数是实常数.12第12页，讲稿共59张，创作于星期日3.函数在无穷远点的留数函数在无穷远点的留数定义定义6.2 设设为f(z)的一个孤立奇点，即的一个孤立奇点，即f(z)在去心在去心邻域域N-：0r|z|+内解析，则称内解析，则称为为f(z)在点在点的留数的留数,记为,其中其中-是顺时针方向是顺时针方向.设设f(z)在在0r|z|0.(*)定理定理6.8 设设 ，其中，其中P(z)及及Q(z)是互质多是互质多项式且满足条件项式且满足条件(1)Q(z)的次数比的次数比P(z)的次数高；的次数高；定理的证明类似于定理定理的证明类似于定理6.7.32第32页，讲稿共59张，创作于星期日例例6 计算

8、积分计算积分解解 在上半平面只有二级极点在上半平面只有二级极点又又33第33页，讲稿共59张，创作于星期日注意注意 以上两型积分中被积函数中的以上两型积分中被积函数中的Q(x)在实轴在实轴上无孤立奇点上无孤立奇点.34第34页，讲稿共59张，创作于星期日4.计算计算上连续上连续,且且型积分型积分Sr引理引理6.3 设设f(z)在圆弧在圆弧于Sr上一致成立,则有证证 因因 ,于是有于是有分析类似于引理分析类似于引理6.1.（小圆弧引理）（小圆弧引理）35第35页，讲稿共59张，创作于星期日例例6 计算积分计算积分分析分析 因因在实轴上有一级极点在实轴上有一级极点应使封闭路应使封闭路线不经过奇点线

9、不经过奇点,所以可取图示路线所以可取图示路线:36第36页，讲稿共59张，创作于星期日解解 封闭曲线封闭曲线C:由柯西由柯西-古萨定理得古萨定理得:由由37第37页，讲稿共59张，创作于星期日38第38页，讲稿共59张，创作于星期日当当 充分小时充分小时,总有总有 39第39页，讲稿共59张，创作于星期日即即40第40页，讲稿共59张，创作于星期日例例7证证 如图路径，如图路径，41第41页，讲稿共59张，创作于星期日42第42页，讲稿共59张，创作于星期日令两端实部与虚部分别相等，得令两端实部与虚部分别相等，得菲涅耳菲涅耳(fresnel)积分积分43第43页，讲稿共59张，创作于星期日5.

10、多值函数的积分多值函数的积分其中其中s为实数为实数,Q(x)为单值函数为单值函数.取被积函数为取被积函数为辅助路径辅助路径 上的积分用上的积分用大圆弧引理，大圆弧引理，上的积分上的积分当然需要满足如下条件：当然需要满足如下条件：在中，有在中，有CRR围道如图所示围道如图所示.用小圆弧引理，用小圆弧引理，44第44页，讲稿共59张，创作于星期日第三节第三节 辐角原理及其应用辐角原理及其应用6.3.1 对数留数对数留数6.3.2 辐角原理辐角原理6.3.3 儒歇定理儒歇定理45第45页，讲稿共59张，创作于星期日定义：形如定义：形如的积分称为的积分称为f(z)的的对数留数对数留数。注注:函数函数f

11、(z)的零点和奇点都可能是的零点和奇点都可能是 的奇点的奇点.6.3.1 对数留数对数留数引理引理6.4 (1)设设a为为f(z)的的n级零点级零点(极点）极点）,(2)设设b为为f(z)的的m级极点，则级极点，则b则则a必为函数必为函数的一级极点一级极点,且必为函数必为函数 的一级极点的一级极点,且且46第46页，讲稿共59张，创作于星期日 定理定理6.9 设设C是一条围线，是一条围线，f(z)满足条件满足条件:(1)f(z)在在C的的内部是亚纯的内部是亚纯的;(2)f(z)在在C上解析且不为零；则有上解析且不为零；则有式中式中N(f,C)与与P(f,C)分别表示分别表示f(z)在在C内部的

12、零点与极点内部的零点与极点的个数的个数.例例1 计算积分计算积分47第47页，讲稿共59张，创作于星期日.不一定为简单闭曲线不一定为简单闭曲线,其可按正向或负向绕原其可按正向或负向绕原点若干圈点若干圈.1.对数留数的几何意义对数留数的几何意义6.3.2 辐角原理辐角原理48第48页，讲稿共59张，创作于星期日单值函数单值函数等于零49第49页，讲稿共59张，创作于星期日结论结论:(k总为整数总为整数)对数留数的对数留数的几何意义几何意义是是 绕原点的绕原点的回转次数回转次数k50第50页，讲稿共59张，创作于星期日由定理一及对数留数的几何意义得由定理一及对数留数的几何意义得可计算f(z)在C内

13、零点的个数此结果称为辐角原理51第51页，讲稿共59张，创作于星期日如如f(z)在围线在围线C上及上及C内部均解析内部均解析,且且f(z)在在C上不为零上不为零,则则辐角原理辐角原理(2)f(z)在在C内是亚纯的内是亚纯的(3)f(z)在在C上连续且不为零上连续且不为零,则则设设(1)C是一条围线是一条围线52第52页，讲稿共59张，创作于星期日定理定理6.10(儒歇儒歇(Rouche)定理定理)6.3.3 儒歇儒歇(Rouche)定理定理设设C是一条围线是一条围线,函数函数f(z)及及g(z)满足条件满足条件:(1)它们在它们在C的内部均解析的内部均解析,且连续到且连续到C;(2)在在C上上,|f(z)|g(z)|则则f(z)与与 f(z)+g(z)在在C内部有同样多的零点内部有同样多的零点,即即53第53页，讲稿共59张，创作于星期日证证在C内部解析54第54页，讲稿共59张，创作于星期日55第55页，讲稿共59张，创作于星期日证毕证毕56第56页，讲稿共59张，创作于星期日例例1 试证方程试证方程证证57第57页，讲稿共59张，创作于星期日在圆内的零点数为n在圆内的零点数也为n58第58页，讲稿共59张，创作于星期日感谢大家观看2023/4/2第59页，讲稿共59张，创作于星期日