卡尔曼滤波讲稿.ppt

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1、卡卡尔曼曼滤波波2023/4/11第一页，讲稿共三十六页哦6.1 信号模型信号模型Rudolf Emil Kalman匈牙利数学家匈牙利数学家BS&MS at MITPhD at Columbia1960年年发发表的表的论论文文A New Approach to Linear Filtering and Prediction Problems（线线性性滤滤波与波与预测问题预测问题的新方法）的新方法）被引用次数：被引用次数：194062023/4/12第二页，讲稿共三十六页哦6.1 信号模型信号模型 维纳滤维纳滤波的模型：信号可以波的模型：信号可以认为认为是由白噪声是由白噪声 激励一个激励一个线

2、线性系性系统统的响的响应应，假，假设设响响应应和激励的和激励的时时域关系可以用下式表示：域关系可以用下式表示：上式也就是一上式也就是一阶阶AR模型。模型。l6.1.1 状状态态方程和量方程和量测测方程方程2023/4/13第三页，讲稿共三十六页哦6.1 信号模型信号模型 在卡在卡尔尔曼曼滤滤波中信号被称波中信号被称为为是状是状态变态变量，用矢量，用矢量的形式表示量的形式表示为为，激励信号也用矢量表示，激励信号也用矢量表示为为 ，激励和响，激励和响应应之之间间的关系用的关系用传递传递矩矩阵阵来表示，来表示，得得出出状状态态方程方程：上式表示的含上式表示的含义义就是在就是在k时时刻的状刻的状态态可

3、以由它的前一个可以由它的前一个时时刻的状刻的状态态 来求得，即来求得，即认为认为k-1时时刻以前的各状刻以前的各状态态都已都已记忆记忆在状在状态态 中了中了。2023/4/14第四页，讲稿共三十六页哦 在卡尔曼滤波中，在卡尔曼滤波中，用表示量测到的信号矢量序列，用表示量测到的信号矢量序列，表示量测时引入的误差矢量，则表示量测时引入的误差矢量，则量测矢量量测矢量 与状态矢量与状态矢量 之间的关系可以写成之间的关系可以写成6.1 信号模型信号模型卡尔曼滤波是根据系统的量测数据（即观测数据）对卡尔曼滤波是根据系统的量测数据（即观测数据）对系统的运动进行估计的，所以除了状态方程之外，还需系统的运动进行

4、估计的，所以除了状态方程之外，还需要量测方程。要量测方程。2023/4/15第五页，讲稿共三十六页哦6.1 信号模型信号模型上式和上式和维纳滤维纳滤波的概念上是一致的，也就是波的概念上是一致的，也就是说说卡卡尔尔曼曼滤滤波波的一的一维维信号模型和信号模型和维纳滤维纳滤波的信号模型是一致的。波的信号模型是一致的。把上式推广就得到更普遍的把上式推广就得到更普遍的多多维维量量测测方程方程 上式中上式中 称称为为量量测测矩矩阵阵，它的引入原因是，它的引入原因是,量量测测矢矢量量 维维数不一定与状数不一定与状态态矢量矢量 的的维维数相同，因数相同，因为为我我们们不一定能不一定能观测观测到所有需要的状到所

5、有需要的状态态参数。参数。2023/4/16第六页，讲稿共三十六页哦6.1 信号模型信号模型l6.1.2 信号模型信号模型 状态方程状态方程 量测方程量测方程2023/4/17第七页，讲稿共三十六页哦6.1 信号模型信号模型【例例6-1】设设卡卡尔尔曼曼滤滤波中量波中量测测方程方程为为，已知信号的自相关函数的，已知信号的自相关函数的z变换为变换为：噪声的自相关函数噪声的自相关函数为为，信号和噪声，信号和噪声统计统计独立。独立。求卡求卡尔尔曼曼滤滤波信号模型中的波信号模型中的 和。和。2023/4/18第八页，讲稿共三十六页哦6.1 信号模型信号模型解：根据等式解：根据等式可以求得可以求得变换变

6、换到到时时域得：域得：因此因此又因又因为为 ，所以所以1。2023/4/19第九页，讲稿共三十六页哦6.2 卡尔曼滤波方法卡尔曼滤波方法l6.2.1卡卡尔尔曼曼滤滤波的一步波的一步递递推法模型推法模型 把把状态方程和量测方程状态方程和量测方程重新给出：重新给出：假设信号的上一个估计值假设信号的上一个估计值 已知，现在的问题已知，现在的问题就是如何来求当前时刻的估计值就是如何来求当前时刻的估计值 。2023/4/110第十页，讲稿共三十六页哦6.2 卡尔曼滤波方法卡尔曼滤波方法 如果不考虑噪声如果不考虑噪声 和和 状态方程和量测方程状态方程和量测方程变换如下：变换如下：必然，观测值必然，观测值

7、和估计值和估计值 之间有误差，它们之之间有误差，它们之间的差间的差 称为称为新息（新息（innovation）：显然，新息的产生是由于我们前面忽略了显然，新息的产生是由于我们前面忽略了 与与 所引起的。所引起的。2023/4/111第十一页，讲稿共三十六页哦6.2 卡尔曼滤波方法卡尔曼滤波方法 用新息乘以一个修正矩用新息乘以一个修正矩阵阵 ，用它来代替式，用它来代替式中中 来来对对进进行估行估计计：通通过过上式可以画出卡上式可以画出卡尔尔曼曼滤滤波波对对进进行估行估计计的的递递推推模型。模型。2023/4/112第十二页，讲稿共三十六页哦6.2 卡尔曼滤波方法卡尔曼滤波方法 输入为观测值输入为

8、观测值 ，输出为信号估计值，输出为信号估计值 。卡尔曼滤波的一步递推法模型卡尔曼滤波的一步递推法模型2023/4/113第十三页，讲稿共三十六页哦6.2 卡尔曼滤波方法卡尔曼滤波方法l6.2.2卡卡尔尔曼曼滤滤波的波的递递推公式（推公式（感感兴兴趣自学趣自学）卡尔曼滤波的一步递推公式：卡尔曼滤波的一步递推公式：2023/4/114第十四页，讲稿共三十六页哦6.2 卡尔曼滤波方法卡尔曼滤波方法pp.91,【例例6-2】2023/4/115第十五页，讲稿共三十六页哦6.3 卡尔曼滤波器的应用卡尔曼滤波器的应用【例例6-3】已已知知条条件件和和例例6-2一一样样，状状态态方方程程和和测测量量方方程程

9、为为：，其中，其中 ，信信号号和和噪噪声声统统计计独独立立。求卡求卡尔尔曼曼滤滤波器的波器的稳态稳态 和和 。2023/4/116第十六页，讲稿共三十六页哦6.3 卡尔曼滤波器的应用卡尔曼滤波器的应用 解：根据函数解：根据函数调调用用sysss(A,B,C,D,1)，得到离散卡，得到离散卡尔尔曼状曼状态态模型，采模型，采样样周期周期这这里里设为设为1。A,C已知，由于函数已知，由于函数调调用中是用中是设计设计了两个了两个观测观测信号的，我信号的，我们这们这里只有一个里只有一个观测观测信号，所以信号，所以B取取0 1，后一个，后一个1表示噪声表示噪声 的系数。的系数。D取取0。实际实际的的语语句

10、如下：句如下：sys=ss(A,B,C,D,1)然后然后调调用函数用函数S,L,H,kalman(sys,Q,R)，设计设计离散卡离散卡尔尔曼曼滤滤波器。波器。实际语实际语句句和和计计算算结结果如下：果如下：S,L,H,=kalman(sys,0.36,1)L=0.3000 =0.6000H=0.3750 =0.3750这这里省略了里省略了输输出的出的S，它表示的信息是达到，它表示的信息是达到稳态稳态后系后系统统状状态态模型，模型，H和和 表示表示系系统稳态统稳态的最的最终值终值。2023/4/117第十七页，讲稿共三十六页哦6.3 卡尔曼滤波器的应用卡尔曼滤波器的应用有了修正矩有了修正矩阵阵

11、和均方和均方误误差，代入下式就可以根据差，代入下式就可以根据观测观测信号得信号得到卡到卡尔尔曼曼滤滤波的估波的估计值计值了。了。从上面例从上面例题题知道，只要确定了状知道，只要确定了状态态模型，就可以模型，就可以调调用函数很用函数很快快设计设计出卡出卡尔尔曼曼滤滤波器。波器。2023/4/118第十八页，讲稿共三十六页哦6.3 卡尔曼滤波器的应用卡尔曼滤波器的应用实现实现代代码码clearA=0.8;B=0 1;C=1;D=0;sys=ss(A,B,C,D,1);S L s1 H s=kalman(sys,0.36,1)N=1000;%阶数阶数n=1:N;s=exp(-0.002*n).*si

12、n(pi*n/50);%仿真信号仿真信号 w=0.36*randn(1,N);%白噪声，系数代表噪声相对强度白噪声，系数代表噪声相对强度x=s+w;%仿真信号仿真信号for i=1:N h(i)=0.5.i;endss=filter(h,1,x);figure;subplot(2,2,1);plot(n,s);title(信号信号);subplot(2,2,2);plot(n,w);title(噪声噪声);subplot(2,2,3);plot(n,x);title(观测值观测值);subplot(2,2,4);plot(n,ss);title(信号估计信号估计);figure;plot(n,

13、ss-s);title(估计误差估计误差);error=mean(ss-s).2)SYS=SS(A,B,C,D)creates a SS object SYS representing the continuous-time state-space model dx/dt=Ax(t)+Bu(t)y(t)=Cx(t)+Du(t)You can set D=0 to mean the zero matrix of appropriate dimensions.If one or more of the matrices A,B,C,D have uncertainty,SS returns an

14、uncertain state-space(USS)model(Robust Control Toolbox only).SYS=SS(A,B,C,D,Ts)creates a discrete-time state-space model with sample time Ts(set Ts=-1 if the sample time is undetermined).2023/4/119第十九页，讲稿共三十六页哦6.3 卡尔曼滤波器的应用卡尔曼滤波器的应用结结果果图图指数正弦衰减信号，指数正弦衰减信号，N=1000，最小均方误差，最小均方误差error=0.2731。指数正弦衰减信号，指数

15、正弦衰减信号，N=2000，最小均方误差，最小均方误差error=0.2350。2023/4/120第二十页，讲稿共三十六页哦6.3 卡尔曼滤波器的应用卡尔曼滤波器的应用结结果果图图指数正弦衰减信号，指数正弦衰减信号，N=3000，最小均方误差，最小均方误差error=0.1997。指数正弦衰减信号，指数正弦衰减信号，N=4000，最小均方误差，最小均方误差error=0.2017。2023/4/121第二十一页，讲稿共三十六页哦6.3 卡尔曼滤波器的应用卡尔曼滤波器的应用结结果果图图实际心电信号，实际心电信号，N=1000，最小均方误差，最小均方误差error=0.2808。实际心电信号，实

16、际心电信号，N=2000，最小均方误差，最小均方误差error=0.2913。2023/4/122第二十二页，讲稿共三十六页哦6.3 卡尔曼滤波器的应用卡尔曼滤波器的应用结结果果图图实际心电信号，实际心电信号，N=3000，最小均方误差，最小均方误差error=0.2946。实际心电信号，实际心电信号，N=4000，最小均方误差，最小均方误差error=0.3054。2023/4/123第二十三页，讲稿共三十六页哦6.3 卡尔曼滤波器的应用卡尔曼滤波器的应用卡卡尔尔曼曼滤滤波在波在诱发脑电诱发脑电位提取中的位提取中的应应用用（1）自）自发电发电位模型位模型(EEG)和和诱发电诱发电位位(EP)

17、模型的建立模型的建立（2）卡）卡尔尔曼状曼状态态方程和量方程和量测测方程的建立方程的建立（3）卡）卡尔尔曼曼滤滤波器的数据波器的数据处处理理结结果果2023/4/124第二十四页，讲稿共三十六页哦本章小结本章小结1、掌握：信号模型；、掌握：信号模型；2、熟悉：卡尔曼滤波原理和方法；、熟悉：卡尔曼滤波原理和方法；3、了解：卡尔曼滤波的应用。、了解：卡尔曼滤波的应用。2023/4/125第二十五页，讲稿共三十六页哦本章习题本章习题pp.95,习题习题6-12023/4/126第二十六页，讲稿共三十六页哦下集预告下集预告第七章第七章 随机信号的参数建模法随机信号的参数建模法2023/4/127第二十

18、七页，讲稿共三十六页哦实验实验4详解详解function h,e=WH(Rss,Rww,M)%求解维纳求解维纳-霍夫方程的函数，其中霍夫方程的函数，其中M为信号的长度为信号的长度e1=10;e0=0;N=0;%给给e1,e0,N 赋初值赋初值while abs(e0-e1)1e-6%e1和和e0不够接近则循环不够接近则循环 N=N+1;e0=e1;Rxs=Rss(M:(M+N-1);Rxx=Rww(M:(M+N-1)+Rss(M:(M+N-1);R_xx=zeros(N);for j=1:N for n=1:N R_xx(j,n)=Rxx(abs(j-n)+1);end end h=inv(R

19、_xx)*Rxs;e1=Rss(M)-h*Rxs;endN%显示显示N的最终值的最终值e=e1;程序如下：程序如下：%主程序主程序clear;clc;M=input(信号的长度信号的长度 M=);n=1:M;s=exp(-0.002*n).*sin(pi*n/50);%仿真信号，可以自己生成，仿真信号，可以自己生成，任意形式任意形式%load ecgdata;%实际心电信号实际心电信号%s=ecgdata(1:M);%load eegdata;%实际脑电信号实际脑电信号%s=eegdata(1:M);w=0.4*randn(1,M);%白噪声，系数代表噪声相对强度白噪声，系数代表噪声相对强度x

20、=s+w;%仿真信号仿真信号Rss=xcorr(s,s);%估计信号自相关函数估计信号自相关函数Rww=xcorr(w,w);%估计噪声自相关函数估计噪声自相关函数h,e=WH(Rss,Rww,M);ss=filter(h,1,x);%用维纳滤波器滤波用维纳滤波器滤波figure;subplot(2,2,1);plot(n,s);title(信号信号);subplot(2,2,2);plot(n,w);title(噪声噪声);subplot(2,2,3);plot(n,x);title(观测值观测值);subplot(2,2,4);plot(n,ss);title(信号估计信号估计);figu

21、re;plot(n,ss-s);title(估计误差估计误差);error=mean(ss-s).2)2023/4/128第二十八页，讲稿共三十六页哦实验实验4详解详解1、s为指数正弦衰减信号，为指数正弦衰减信号，w为强度为为强度为0.4白噪声，白噪声，M=1024N=264，最小均方误差，最小均方误差error=0.0068。2023/4/129第二十九页，讲稿共三十六页哦实验实验4详解详解2、s为实际心电信号，为实际心电信号，w为强度为为强度为0.4白噪声，白噪声，M=1024N=99，最小均方误差，最小均方误差error=0.0236。2023/4/130第三十页，讲稿共三十六页哦实验实

22、验4详解详解3、s为实际脑电信号，为实际脑电信号，w为强度为为强度为0.4白噪声，白噪声，M=1024N=59，最小均方误差，最小均方误差error=0.1414。2023/4/131第三十一页，讲稿共三十六页哦实验实验4详解详解4、s为指数正弦衰减信号，为指数正弦衰减信号，w为强度为为强度为0.4、1和和2白噪声，白噪声，M=1024N=264，最小均方误差，最小均方误差error=0.0068。N=121，最小均方误差，最小均方误差error=0.0287。N=135，最小均方误差，最小均方误差error=0.0740。2023/4/132第三十二页，讲稿共三十六页哦实验实验4详解详解5、

23、s为实际心电信号，为实际心电信号，w为强度为为强度为0.4、1和和2白噪声，白噪声，M=1024N=99，最小均方误差，最小均方误差error=0.0236。N=276，最小均方误差，最小均方误差error=0.0333。N=420，最小均方误差，最小均方误差error=0.0421。2023/4/133第三十三页，讲稿共三十六页哦实验实验4详解详解6、s为实际脑电信号，为实际脑电信号，w为强度为为强度为0.4、1和和2白噪声，白噪声，M=1024N=59，最小均方误差，最小均方误差error=0.1414。N=770，最小均方误差，最小均方误差error=0.4268。N=452，最小均方误

24、差，最小均方误差error=0.7617。2023/4/134第三十四页，讲稿共三十六页哦实验实验4详解详解7、s为指数正弦衰减信号，为指数正弦衰减信号，w为强度为为强度为0.4白噪声，白噪声，M=1024abs(e0-e1)1e-6，N=264，最小均方误差，最小均方误差error=0.0068。abs(e0-e1)1e-7，N=210，最小均方误差，最小均方误差error=0.0066。2023/4/135第三十五页，讲稿共三十六页哦实验实验4详解详解8、s为实际心电信号，为实际心电信号，w为强度为为强度为0.4白噪声，白噪声，M=1024abs(e0-e1)1e-6，N=99，最小均方误差，最小均方误差error=0.0236。abs(e0-e1)1e-7，N=499，最小均方误差，最小均方误差error=0.0166。2023/4/136第三十六页，讲稿共三十六页哦